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2018年4月

2018年4月30日 (月)

何枚の写真を選び出しましたか?(第6回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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6つの面が異なる色でぬり分けられた立方体が1個あります。

この立方体を、置く面や向きを変えて、

さまざまな角度から写真にとりました。

写真を現像して、

写っている面の色の種類が異なるものをすべて選び出しました。

もっとも多い場合、何枚の写真を選び出しましたか。 

例えば、下の写真の場合、

写っている色の種類が異なれば、異なる種類とします。

 

1_4

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1面だけが写っている写真では、

 

面の数と同じで6通り、

 

2面が写っている写真は、

 

辺の数と同じで12通り、

 

3面が写っている写真では、

 

頂点の数と同じで8通り、

 

合計、6+12+8=26枚

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2018年4月23日 (月)

のりしろは何cm? (今年 2018年 青山学院中等部)

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縦40cm、横64cmの長方形の紙2枚をそれぞれ4cmずつの幅に切り、

これをつないで長いテープ を作ります。

1枚目はAのように切ってのりしろを1cmずつにしたテープを作りました。

2枚目はBのように切って、テープを作ったところ、

2本のテープの 長さは同じになりました。

2枚目はのりしろを何cmにしましたか?

4231

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Aのテープの本数は、40÷4=10本

のりしろは、10-1=9個 なので、

長さは、64×10-1×9=631cm

Bのテープは、64÷4=16本

のりしろは、16-1=15個

40×16-□×15=631 より、

□×15=9

□=0.6

のりしろは、0.6cm

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2018年4月21日 (土)

色部分の面積は?(今年 2018年 市川中学)

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下の図のように、半径の長さが2cmの円があり。

その円周を12等分する 点を反時計回りに点 A、 B、C、・・・Lとします。

このとき、図のを求めなさい。

4211

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4212

中心をOとすると、

∠BOE=∠IOL=90°なので、

求める面積は、

(2×2×3.14×1/4-2×2×1/2)×2

=(3.14-2)×2

=2.28㎠

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2018年4月19日 (木)

選び方は何通り?(今年 2018年 筑波大学附属駒場 中学)

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Aと書かれたカードが何枚かと、

Bと書かれたカードが1枚、Cと書かれたカードが1枚あります。

これらの カードから何枚かを選ぶとき、

その選び方が何通りあるかを考えます。

例えば、Aと書かれたカードが1枚のとき、

選んだカードに書かれた文字を( )に書くことにすると、

カード の選び方は、

(A)(B)(C)(AB)(AC)(BC)(ABC)の7通りです。

次の問いに答えなさい。

なお、A と書かれたカードが2枚以上あるとき、それらは区別しません。

(1)Aと書かれたカードが2枚のとき、選び方は何通りですか。

  また、A と書かれたカードが3枚のとき、選び方は何通りですか。

(2)Aと書かれたカードが100枚のとき、選び方は何通りですか。

(3)Aと書かれたカードが何枚のとき、

  選び方がちょうど3023通りになりますか。

Play072s

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(1)

Aと書かれたカードが2枚のとき、

1枚→(A)(B)(C)

2枚→(AA)(AB)(AC)(BC)

3枚→(AAB)(AAC)(ABC)

4枚→(AABC)

11通り

Aと書かれたカードが3枚のとき、

1枚→(A)(B)(C)

2枚→(AA)(AB)(AC)(BC)

3枚→(AAA)(AAB)(AAC)(ABC)

4枚→(AAAB)(AAAC)(AABC)

5枚→(AAABC)

15通り

(2)

Aが1枚のとき→Aが2枚のとき

7通り→11通り・・・・・4通り増える

Aが2枚のとき→Aが3枚のとき

11通り→15通り・・・・・4通り増える

・・・・・

AがN枚のとき、

7+(N-1)×4 通りになるので、

N=100のとき

7+(100-1)×4=403通り

(3)

7+(N-1)×4=3023

(N-1)×4=3016

N-1=754

N=755枚

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2018年4月17日 (火)

この回転体の体積は?(今年 2018年 駒場東邦中学)

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下の四角形 ABCD を直線 ℓ を軸として

1回転してできる立体の体積は何立方cmか求めなさい。

なお、AC=BC で BC と DA はそれぞれ ACに垂 直な直線です。

BC、DA の長さはそれぞれ15cm、 10cm で円周率は3.14とします。

ただし、円錐の体積は (底面積)×(高さ)÷3で求められます。

4171

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----------------------------------------------------

Gif417

このように、円すいを2つ重ねた立体になります。

重なった部分を引くことになりますが、

下図のように、△黄と△緑は相似で、

相似比は△黄:△緑=10:15=2:3 より、

AH=6cm、CH=9cmになります。

4172

10×10×3.14×15÷3-6×6×3.14×9÷3

15×15×3.14×15÷3-6×6×3.14×6÷3

=(500×3.14-108×3.14)+(1125×3.14-72×3.14)

=392×3.14+1053×3.14

=1445×3.14

=4537.3立方cm

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2018年4月14日 (土)

面積の比は?(今年 2018年 海城中学)

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下の図の三角形 ABC において、

AD:DB=1:2、BE:EC=3:2です。

①三角形ABPと三角形ACPの面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

②三角形ABCと四角形PECFの面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

4141

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①APを共通の底辺と考えれば、

高さの比は3:2なので、面積の比もそのまま3:2

4142

D:DP=1:2なので、△黄と△緑の面積比も1:2になり、

△黄と△(水色+青)の面積比が1:2なので、

DP:PC=1:2より、△赤=2×2=4 より、

△ABCの面積は、2+3+4=9

△(黄+緑):△水色=△赤:△青

3:△水色=4:△青

△青:△水色=4:3

△青=2×4/7=8/7

△PEC=4×2/5=8/5

四角形PECF=8/7+8/5=96/35

△ABC:四角形PECF=9:96/35=315:96=105:32

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2018年4月12日 (木)

長さの比は?(今年 2018年 大妻中学)

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底面が正方形である直方体ABCD-EFGHがあります。

図のように点Aから点Eまで側面に沿って

長さが最も短くなるように糸を2周巻きます。

その後、3点 A、C、Fを通る平面でこの直方体を

巻きついている糸とともに切ります。

点Bを含む立体に巻きついていた糸の長さと、

点Dを含む立体に巻きついていた糸の長さの比を

最も簡単な整数の比で求めなさい。

4121

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

この直方体を横に広げると図のようになり、

最短距離の糸は赤線で示すように直線になります。

切り口は青線です。

6211

△AOCと△NOPは相似で、

ABの長さを2とすると、

AC:NP=4:5 より、AO:ON=4:5

△MSPと△ESFも相似で、

MP:EF=3:6=1:2 より、

MS:SE=1:2

△MRQと△ERF も相似で、

MQ:EF=1:6 より、

MR:RE=1:6

4+5=9、1+2=3、1+6=7 より、

比をそろえるために、AN=ME=9×7=63 とすると、

AO:ON=28:35

MS:SE=21:42

MR:RE=9:54

RS=21-9=12とわかります。

△AFC内の糸の長さは、28+12=40

それ以外の長さは、35+9+42=86

40:86=20:43

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2018年4月10日 (火)

並べ方は何通り?(今年 2018年 開成中学)

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赤球、青球、黄球が2個ずつ6個あります。

同じ色の球がとなり合わないように

6個すべてを左から右ヘー列に並べます。

このような 並べ方は何通りあるか求めなさい。

ただし、同じ色の球は区別しないことにします。

Ball149

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4101

一番左に赤球を置くと、

図のように10通りの並べ方があるので、

並べ方は全部で、10×3=30通り。

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2018年4月 6日 (金)

ぬる方法は何通りありますか?(巣鴨中学 2017年)

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図の立体のすべての面に1色ずつ選んで色をぬるとき、

次の各問いに答えなさい。

ただし、立体のすべての面は形の異なる面で、

どのとなり合う面も同じ色でぬってはいけないものとします。

(1)図の立体の6つの面を赤、青、黄の

   3色すべてを使ってぬる方法は何通りありますか。

(2)図の立体の6つの面を赤、青、黄、緑の

   4色すべてを使ってぬる方法は何通りありますか。

Bandicam_20180406_083800230

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(1)上下を赤にすると、サイドは青黄青黄、黄青黄青の2通り

上下を青、黄にする場合も同様に2通りずつなので、

全部で、2×3=6通り

(2)上面を赤にすると、

①サイドが青黄青黄、黄青黄青、下面が緑の2通り

②サイドが青緑青緑、緑青緑青、下面が黄の2通り

③サイドが青緑青黄、青黄青緑、緑青黄青、黄青緑青、

 下面が赤の4通り

④サイドが緑黄、黄緑黄緑、下面が青の2通り

⑤サイドが緑黄緑青、緑青緑黄、黄緑青緑、青緑黄緑、

 下面が赤の4通り

⑥サイドが黄緑黄青、黄青黄緑、緑黄青黄、青黄緑黄、

 下面が赤の4通り

以上の18通り

上面が青、緑、黄のときも同様に18通りなので、

全部で、18×4=72通り


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2018年4月 5日 (木)

斜線部分の面積は?(今年 2018年 函館ラ・サール中学)

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下の図のように、

直角三角形ABCを点Cを中心に時計回りに90°回転させました。

点Aが点A’、点Bが点B’に移るとき、

斜線部分の面積は何㎠ですか。

ただし、 円周率は3.14とします。


Bandicam_20180405_095416466

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----------------------------------------------------

4051_2

黄色部分を赤部分に移動すると、

求める面積は、中心角90°、半径5cmの扇形から、

中心角90°、半径3cmの扇形を引けばよいことになります。

5×5×3.14×1/4-3×3×3.14×1/4

=(25-9)×3.14×1/4

=4×3.14

=12.56㎠

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2018年4月 3日 (火)

DEの長さは?(今年 2018年 普連十学園中学)

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下の図の四角形ABCDは台形で、点Eは辺 DC 上にあります。

このとき、次の問いに答えなさい。

4031


(1)△AED の面積と△EBC の面積が等しいとき、

   DEの長さは何cm になりますか。

(2) △ABE の面積が92㎠ のとき、DE の長さは何cmですか。

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----------------------------------------------------

(1)DEの長さを□cmとすると、

8×□=12×(18-□)

8×□=216-12×□

20×□=216

□=10.8cm

(2)DEの長さを□cmとすると、

8×□÷2+12×(18-□)÷2=(8+12)×18÷2-92

4×□+108-6×□=88

2×□=20

□=10cm

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2018年4月 1日 (日)

条件に合う6桁の整数は?(今年 2018年 聖光学院 中学)

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1から6までの数字が書かれた6枚のカード

4011 を並べかえて、

6桁の整数をつくります。

つくった6桁の整数の上から2桁が2の倍数、

上か ら3桁が3の倍数、

上から4桁が4の倍数、

上から5桁が5の倍数、

上から6桁が6の倍数になるものを、すべて答えなさい。

Bandicam20180401085019958_2

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----------------------------------------------------

2~6の倍数判定法は次の通りです。

2の倍数

1位の数が、0、2、4、6、8であれば、その数字は2の倍数である。

3の倍数

各位の数字の和が3で割り切れれば、その数字は3の倍数である。

4の倍数

下二桁が4で割り切れれば、その数字は4の倍数である。

5の倍数

1の位の数が、0、5であれば、その数字は5の倍数である。

6の倍数

2の倍数かつ3の倍数であれば、6の倍数である。

1+2+3+4+5+6=21より、

どのようにならべても3の倍数になるので、

下1桁は2、4、6のいずれかになり、

左から2つ目の数も2、4、6のいずれかになります。

□□□□5□ と、5の位置は決まるので、

□2□□5□ の場合、

□2165□・・・・・①

□2365□・・・・・②

□2645□・・・・・③

が考えられますが、

③は下1桁に入る数がないので、不適当、

321654・・・・・①

123654・・・・・②

が決まります。

□4□□5□ の場合、

□4125□

□4165□

□4325□

□4365□

が考えられますが、

下1桁に残る偶数を入れると、

341256

341652

143256

143652

いずれも上から3桁が3の倍数にならないので不適当

□6□□5□ の場合

□6125□

□6245□

□6325□

が考えられますが、

361254→上から3桁が3の倍数にならない。

□6245□→下1桁に入る偶数がない。

163254→上から3桁が3の倍数にならない。

いずれも不適当で、

321654

123654

の2数だけになります。

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