折られた面積は？（今年 ２０１８年 早稲田実業学校中等部）

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一辺の長さが９ｃｍで、

表が黄色、裏が緑色の正方形の折り紙ＡＢＣＤがあります。

点Ｐを折り紙の上にとり、頂点Ａが点Ｐに重なるように折って、

図１のように緑図形を作ります。

このとき、次の各問い に答えなさい。

図１

（１）図２のように点Ｐを正方形の対角線ＡＣ上にとり、

緑図形を作ったところ、

緑図形の面積と 表の黄色部分の面積の比が１：２になりました。

ＡＰの長さを求めなさい。

図２

（２）図３のように点Ｐを ＤＰ＝３ｃｍ となるように辺ＣＤ上にとり、

緑図形を作ったところ、ＤＱ＝４ｃｍとなりました。

緑図形の面積を求めなさい。

図３

（３）頂点Ａから点Ｐを出発させ、

緑図形が三角形になるように点Ｐを動かします。

点Ｐの動ける 範囲を解答欄の図に斜線で示しなさい。

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（１）折られた白い三角形の面積比も１なので、

△白＋△緑＝１＋１＝２　となり、

この小さな正方形は正方形ABCDの半分になります。

面積は、９×９÷２＝８１/２　なので、

AP×AP＝８１/２×２＝８１　となり、

AP＝９ｃｍ

（２）

DQ＝４ｃｍなので、AQ＝OQ＝９－４＝５ｃｍ

△DPQは辺の比が３：４：５の直角三角形で、

△DPQと△CGPと△FGEは相似になります。

CG＝（９－３）×３/４＝４．５ｃｍ

BG＝９－４．５＝４．５ｃｍ

BE＝４．５×４/（５＋４）＝２ｃｍ

緑部分＝台形ABEQ＝（２＋５）×９÷２＝３１．５㎠

（３）三角形の１辺は正方形の１辺の長さを超えないので、

AB、ADをそれぞれ固定して考えると

下の図のように、Pの動ける限界線が決まります。

範囲は下の図のように木の葉形になります。

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