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2018年3月11日 (日)

長さ、角度、面積比は?(今年 2018年 慶應義塾湘南藤沢中等部) 

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6つの角がすべて等しい六角形ABCDEFと 円の1/4の図形ODGが、

図のように重なっています。

点Oは辺BCの真ん中の点で、点Pは円周と辺EFが重なる点です。

また、半径OGは点Bと点Pを結んだ直線の真ん中の点Qで交わっています。

3111

(1)OQの長さを求めなさい。

(2)アの角度は何度ですか。

(3)辺ABの長さが2cmのとき、

  六角形ABCDEFの面積は三角形OCDの面積の何倍ですか。

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3112_2

(1)△緑と△黄は合同なので、OD=DPになり、

△ODPは正三角形になります。

∠COP=30+60=90°なので、∠BOP=90°

QからOPに垂線を下し、OPとの交点をHとすると、

△BOPと△茶は相似で相似比は2:1

OP:HP=2:1より、OH=HP

したがって、△ピンクと△茶は合同になり、

QO=QP=BQ より△赤は二等辺三角形になり、

∠BOQ=180-(30+90)=60°より、

∠QBO=60°になって、△赤は正三角形になります。

OQ=BO=OC=4cm

(2)∠BPO=30°より、

∠BPE=30+60+30=120°なので、

AFとBPは平行になり、

∠ア=∠GQP=∠BQO=60°

(3)

3113

AB=2cmなので、

図のように、△RBAのような、1辺が2cmの正三角形に分割できます。

正三角形△赤の中には4個、

正六角形QOCDEPの中には、4×6=24個

四角形ABPFの中には、図のように7個

六角形ABCDEFの中に合計、4+7+24=35個

△OCDの中には4個なので、

35/4倍

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