長さ、角度、面積比は?(今年 2018年 慶應義塾湘南藤沢中等部)
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6つの角がすべて等しい六角形ABCDEFと
円の1/4の図形ODGが、
図のように重なっています。
点Oは辺BCの真ん中の点で、点Pは円周と辺EFが重なる点です。
また、半径OGは点Bと点Pを結んだ直線の真ん中の点Qで交わっています。
(1)OQの長さを求めなさい。
(2)アの角度は何度ですか。
(3)辺ABの長さが2cmのとき、
六角形ABCDEFの面積は三角形OCDの面積の何倍ですか。
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(1)△緑と△黄は合同なので、OD=DPになり、
△ODPは正三角形になります。
∠COP=30+60=90°なので、∠BOP=90°
QからOPに垂線を下し、OPとの交点をHとすると、
△BOPと△茶は相似で相似比は2:1
OP:HP=2:1より、OH=HP
したがって、△ピンクと△茶は合同になり、
QO=QP=BQ より△赤は二等辺三角形になり、
∠BOQ=180-(30+90)=60°より、
∠QBO=60°になって、△赤は正三角形になります。
OQ=BO=OC=4cm
(2)∠BPO=30°より、
∠BPE=30+60+30=120°なので、
AFとBPは平行になり、
∠ア=∠GQP=∠BQO=60°
(3)
AB=2cmなので、
図のように、△RBAのような、1辺が2cmの正三角形に分割できます。
正三角形△赤の中には4個、
正六角形QOCDEPの中には、4×6=24個
四角形ABPFの中には、図のように7個
六角形ABCDEFの中に合計、4+7+24=35個
△OCDの中には4個なので、
35/4倍
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