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ＡＢとＨＩ、ＤＨとＢＣ、ＥＦとＢＣ、ＥＧとＡＣが
それぞれ平行であるとき、
正三角形ＡＢＣの面積は四角形ＥＧＣＦの面積の何倍ですか？
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下の図のように、
四角形EGCFは１辺が１ｃｍの正三角形２つ分、
正三角形ABCは２５個分なので、
２５÷２＝１２．５倍
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半径１２ｃｍと半径６ｃｍの１/４円が図のように重なっています。
BとCはAからDまでの円弧を３等分する点です。
このとき、色部分の面積は何㎠ですか。
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△OBPと△OCQは９０°、６０°、３０°の直角三角形なので、
BP＝CQ＝１２×１/２＝６ｃｍ
△BEOと△CFOの面積は、６×６÷２＝１８㎠
求める面積＝
１８×２＋１２×１２×３．１４×３０/３６０－６×６×３．１４×１/４
＝３６＋１２×３．１４－９×３．１４
＝３６＋（１２－９）×３．１４
＝３６＋３×３．１４
＝４５．４２㎠
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下の図は、正十二角形に対角線を引いて作った図形です。
色のついた図形の周囲の長さが７２ｃｍのとき、
色のついた図形の面積は何㎠ですか？
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正十二角形の１つの内角は１５０°
六角形、AHIJKLの内角の和は７２０°なので、
∠PAL＝（７２０－１５０×４）÷２＝６０°より、
∠PAB＝９０°
したがって、△ABXは正三角形、
四角形ABQPは正方形になります。
六角形QRSTUは正六角形なので、
内部の水色の正三角形６個を緑部分に移動すると、
求める面積は、正方形６個分になります。
正十二角形の１辺の長さは、
７２÷２４＝３ｃｍなので、
求める面積は、３×３×６＝５４㎠
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下の図において、四角形ＡＢＣＤは正方形で,、
ＢＥ＝ＥＦ＝ＦＣ、ＣＧ＝ＧＤです。
（１）三角形ＡＩＪと四角形ＡＢＣＤの面積比を
最も簡単な整数の比で答えなさい。
（２）四角形ＨＩＪＫと四角形ＡＢＣＤの面積比を
最も簡単な整数の比で答えなさい。
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（１）△黄と△緑は相似で相似比は、６：２＝３：１
正方形の１辺の長さを１とすると、
△緑の面積比は、２/３×１/（３＋１）×１/２＝１/１２
△茶と△赤も相似で相似比は、２：５
△茶の面積比は、１×２/（２＋５）×１/２＝１/７
△AIJの面積比は、
２/３×１×１/２－（１/１２＋１/７）
＝１/３－１９/８４
＝９/８４＝３/２８
△AIJ：□ABCD＝３：２８
（２）△ABKと△DKMも相似で、相似比は２：３
△ABKの面積比は、１×２/（２＋３）×１/２＝１/５
DK：KB＝３：２
DH：HB＝３：１
比の合計をそろえると、
DK：KB＝３：２＝１２：８
DH：HB＝３：１＝１５：５
すると、KH＝８－５＝３ となるので、
△AHKの面積比は、
1/５×３/８＝３/４０
□HIJKの面積比は、
３/２８－３/４０＝（１２０－８４）/１１２０＝３６/１１２０＝９/２８０
△HIJK：□ABCD＝９：２８０
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ある本数の苗があります。
この苗を、Ａ、Ｂ、Ｃの３人が１０分交代で１人ずつ
学校の畑に植える作業をしようとすると、次のようになります。
ただし、最後に作業をする人は、
１０分たっていなくても作業を終えることにします。
ア➡Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，・・・の順に植えると、
最後にＢが５分植えたところですべて植え終わります。
イ➡Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ，・・・の順に植えると、
すべて植え終わるのに アのときよりも６分長くかかります。
ウ➡ Ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｂ，・・・の順に植えると、
すべて植え終わるのに アのときよりも５分長くかかります。
また、Ａ、Ｂ、Ｃが１分間に植える本数はそれぞれ一定であるものとします。
（１）Ｂが１分間で植える苗の本数と、Ｃが１分間で植える苗の本数の比を、
最も簡単な整数の比で表しなさい。
（２）Ａが１分間で植える苗の本数と、Ｃが１分間で植える苗の本数の比を、
最も簡単な整数の比で表しなさい。
（３）Ａだけで苗を植えると、すべて植え終わるのに１時間３４分かかりま
す。
Ａ、Ｂ、Ｃの３人が同時に苗を植えると、
すべて植え終わるのに何分かかりますか。
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３人の順番がどうでも、３人が１０分ずつ仕事をすると、
３０分ごとの苗の本数は同じになります。
アもイもウも３人ずつ作業をして、最後に、
アは、A×１０＋B×５→１５分
イは、B×１０＋C×１０＋A×１→２１分
ウは、C×１０＋A×１０→２０分 かかったことになります。
（１）アとウを比べると、
A×１０は同じなので、
B×５＝C×１０ となり、
B：C＝１０：５＝２：１
（２）イのB×１０はC×２０なので、
C×２０＋C×１０＋A×１＝C×１０＋A×１０ より、
C×２０＝A×９
A：C＝２０：９
（３）仕事量の比が、A：B：C＝２０：１８：９ なので、
１分間の仕事量を、A：B：C＝１/９：１/１０：１/２０ とすると、
１時間３４分＝９４分 より、
１/９×９４÷（１/９＋１/１０＋１/２０）
＝９４/９÷４７/１８０
＝４０分
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正六角形ＡＢＣＤＥＦの対角線 ＡＣ，ＣＥ，ＡＥ，ＢＤ，ＤＦ，ＢＦ を結び、
それらの交点を図のようにＧ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌとします。
すると、正六角形ＧＨＩＪＫＬができます。
この正六角形の対角線 ＧＩ，ＩＫ，ＧＫ，ＨＪ，ＪＬ，ＨＬを結び、
それらの交点を図のようにＭ，Ｎ，Ｏ，Ｐ，Ｑ，Ｒとします。
すると、正六角形ＭＮＯＰＱＲができます。
正六角形ＭＮＯＰＱＲの面積が１０であるとき、
正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積を求めなさい。
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面積は、
△緑色＝△黄色＝△水色＝△茶色
△青＝△赤 となるので、
正六角形GHIJKLは正六角形MNOPQRの３倍で３０
正六角形ABCDEFは正六角形GHIJKLの３倍で９０
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下の図の四角形ＢＣＤＥは平行四辺形で、ＡＢ：ＢＣ＝２：３です。
（１）ＤＥ：ＥＦ を、もっともかんたんな整数の比で表しなさい。
（２）三角形ＣＤＨの面積は、三角形ＥＧＨの面積の何倍ですか。
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（１）図の△黄どうし、
△緑どうし、△色どうしは相似です。
EF＝３×③/②＝４．５ なので、
DE：EF＝３：４．５＝２：３
（２）
△黄と△緑は相似で、AC：EF＝５：４．５＝１０：９＝AG：GE
△AIGと△EJGも相似なので、
AI：EJ＝１０：９
△EGHの底辺をEHとした場合の高さを９とすると、
△CDHの底辺をCDとした場合の高さは、
（９＋１０）×３/２＝２８．５
△CDHと△EGHの面積比は、
⑤×２８．５：③×９＝１４２．５：２７
１４２．５÷２７＝５と５/１８倍
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重さが異なる４つのおもり Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがあります。
この４つのおもりからいくつか
選んでてんびんにのせたところ、
下の図のような関係になりました。
４つのおもり Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを解答用紙に左から軽い順に答えなさい。
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一番上と下では、右側が同じなので、
Aの方がBより重いことがわかります。
真ん中では、AとBの差だけ、
DがAより重いことがわかります。
すると、DはAとBの差の２倍Bより重いことがわかります。
一番下では釣り合っているので、DとBの差と同じだけ、
CがBより軽いはずです。
したがって、軽い順に、
CBAD
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６つの角がすべて等しい六角形ＡＢＣＤＥＦと
円の１/４の図形ＯＤＧが、
図のように重なっています。
点Ｏは辺ＢＣの真ん中の点で、点Ｐは円周と辺ＥＦが重なる点です。
また、半径ＯＧは点Ｂと点Ｐを結んだ直線の真ん中の点Ｑで交わっています。
（１）ＯＱの長さを求めなさい。
（２）アの角度は何度ですか。
（３）辺ＡＢの長さが２ｃｍのとき、
六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は三角形ＯＣＤの面積の何倍ですか。
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（１）△緑と△黄は合同なので、OD＝DPになり、
△ODPは正三角形になります。
∠COP＝３０＋６０＝９０°なので、∠BOP＝９０°
QからOPに垂線を下し、OPとの交点をHとすると、
△BOPと△茶は相似で相似比は２：１
OP：HP＝２：１より、OH＝HP
したがって、△ピンクと△茶は合同になり、
QO＝QP＝BQ より△赤は二等辺三角形になり、
∠BOQ＝１８０－（３０＋９０）＝６０°より、
∠QBO＝６０°になって、△赤は正三角形になります。
OQ＝BO＝OC＝４ｃｍ
（２）∠BPO＝３０°より、
∠BPE＝３０＋６０＋３０＝１２０°なので、
AFとBPは平行になり、
∠ア＝∠GQP=∠BQO＝６０°
（３）
AB＝２ｃｍなので、
図のように、△RBAのような、１辺が２ｃｍの正三角形に分割できます。
正三角形△赤の中には４個、
正六角形QOCDEPの中には、４×６＝２４個
四角形ABPFの中には、図のように７個
六角形ABCDEFの中に合計、４＋７＋２４＝３５個
△OCDの中には４個なので、
３５/４倍
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ビーカーの中に３％の食塩水が入っています。
これを熱して、濃度が９％になるまで水分を蒸発させました。
次に、５％の食塩水を２００ｇ加えたところ、
濃度が５．８％になりました。
最初にビーカー の中に入ってい食塩水は何ｇですか？
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てんびん図で表すと、
てんびんの長さは①：④なので、
食塩水の重さは逆比になって、４：１ になるので、
９％の食塩水は２００÷４＝５０ｇ だったことがわかります。
蒸発させた水を０％として、てんびん図で表すと、
てんびんの長さは、①：②になるので、
重さは逆比になり、
蒸発した水分は、５０×２＝１００ｇなので、
３％の食塩水は１５０ｇだったことがわかります。
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下の図形で、青い太線の長さはすべて等しく、
４つ合わせると、１つの円の円周と同じ長さになります。
色をつけた部分の面積は何㎠ですか。
円周率は3.14 です。
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青線を４つ合わせた円は、
１辺が８ｃｍの正方形がぴったり中に入る円なので、
この正方形の対角線が直径になります。
半径を□とすると、
２×□×２×□÷２＝８×８ より、
□×□＝３２
円弧部分４つの面積の和は、
３２×３．１４－６４＝３６．４８㎠
左側の台形部分は、
（１８＋１１）×｛（１８－１１）÷２｝÷２＝５０．７５
右側の長方形は、
１６×１８＝２８８㎠
求める面積＝３６．４８＋５０．７５＋２８８＝３７５，２３㎠
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図のように、１辺の長さがそれぞれ２１ｃｍと２７ｃｍの正三角形が
重なってできる六角形に色をつけました。
色をつけた六角形の向かい合う辺がそれぞれ平行であるとき、
色をつけた
六角形の周りの長さは何ｃｍですか。
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図の水色と赤色の三角形はすべて正三角形になります。
青線は小さい正三角形の１辺に等しく２１ｃｍ
赤線は大きい正三角形の１辺に等しく２７ｃｍになるので、
六角形の周りの長さは、２１＋２７＝４８ｃｍ
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下の図の色部分の面積は何㎠ですか？
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△黄色＝７×９÷２＝３１．５㎠
△水色＝６×５÷２＝１５㎠
求める面積＝３１．５＋１５＝４６．５㎠
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一辺の長さが９ｃｍで、
表が黄色、裏が緑色の正方形の折り紙ＡＢＣＤがあります。
点Ｐを折り紙の上にとり、頂点Ａが点Ｐに重なるように折って、
図１のように緑図形を作ります。
このとき、次の各問い
に答えなさい。
図１
（１）図２のように点Ｐを正方形の対角線ＡＣ上にとり、
緑図形を作ったところ、
緑図形の面積と
表の黄色部分の面積の比が１：２になりました。
ＡＰの長さを求めなさい。
図２
（２）図３のように点Ｐを ＤＰ＝３ｃｍ となるように辺ＣＤ上にとり、
緑図形を作ったところ、ＤＱ＝４ｃｍとなりました。
緑図形の面積を求めなさい。
図３
（３）頂点Ａから点Ｐを出発させ、
緑図形が三角形になるように点Ｐを動かします。
点Ｐの動ける
範囲を解答欄の図に斜線で示しなさい。
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（１）折られた白い三角形の面積比も１なので、
△白＋△緑＝１＋１＝２ となり、
この小さな正方形は正方形ABCDの半分になります。
面積は、９×９÷２＝８１/２ なので、
AP×AP＝８１/２×２＝８１ となり、
AP＝９ｃｍ
（２）
DQ＝４ｃｍなので、AQ＝OQ＝９－４＝５ｃｍ
△DPQは辺の比が３：４：５の直角三角形で、
△DPQと△CGPと△FGEは相似になります。
CG＝（９－３）×３/４＝４．５ｃｍ
BG＝９－４．５＝４．５ｃｍ
BE＝４．５×４/（５＋４）＝２ｃｍ
緑部分＝台形ABEQ＝（２＋５）×９÷２＝３１．５㎠
（３）三角形の１辺は正方形の１辺の長さを超えないので、
AB、ADをそれぞれ固定して考えると
下の図のように、Pの動ける限界線が決まります。
範囲は下の図のように木の葉形になります。
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