中学受験ー算数解き方ポータル

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2018年3月21日 (水)

すべて植え終わるのに何分かかる？（今年　２０１８年　鴎友学園女子中学）

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ある本数の苗があります。

この苗を、Ａ、Ｂ、Ｃの３人が１０分交代で１人ずつ

学校の畑に植える作業をしようとすると、次のようになります。

ただし、最後に作業をする人は、

１０分たっていなくても作業を終えることにします。

ア➡Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，・・・の順に植えると、

　　最後にＢが５分植えたところですべて植え終わります。

イ➡Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ，・・・の順に植えると、

　　すべて植え終わるのにアのときよりも６分長くかかります。

ウ➡ Ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｂ，・・・の順に植えると、

　　すべて植え終わるのにアのときよりも５分長くかかります。

また、Ａ、Ｂ、Ｃが１分間に植える本数はそれぞれ一定であるものとします。

（１）Ｂが１分間で植える苗の本数と、Ｃが１分間で植える苗の本数の比を、

　　最も簡単な整数の比で表しなさい。

（２）Ａが１分間で植える苗の本数と、Ｃが１分間で植える苗の本数の比を、

　　最も簡単な整数の比で表しなさい。

（３）Ａだけで苗を植えると、すべて植え終わるのに１時間３４分かかります。

　　Ａ、Ｂ、Ｃの３人が同時に苗を植えると、

　　すべて植え終わるのに何分かかりますか。

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３人の順番がどうでも、３人が１０分ずつ仕事をすると、

３０分ごとの苗の本数は同じになります。

アもイもウも３人ずつ作業をして、最後に、

アは、A×１０＋B×５→１５分

イは、B×１０＋C×１０＋A×１→２１分

ウは、C×１０＋A×１０→２０分　かかったことになります。

（１）アとウを比べると、

A×１０は同じなので、

B×５＝C×１０　となり、

B：C＝１０：５＝２：１

（２）イのB×１０はC×２０なので、

C×２０＋C×１０＋A×１＝C×１０＋A×１０　より、

C×２０＝A×９

A：C＝２０：９

（３）仕事量の比が、A：B：C＝２０：１８：９　なので、

１分間の仕事量を、A：B：C＝１/９：１/１０：１/２０　とすると、

１時間３４分＝９４分　より、

１/９×９４÷（１/９＋１/１０＋１/２０）

＝９４/９÷４７/１８０

＝４０分

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2018年3月19日 (月)

正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は？（今年　２０１８年　東京学芸大学附属世田谷中学）

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正六角形ＡＢＣＤＥＦの対角線ＡＣ，ＣＥ，ＡＥ，ＢＤ，ＤＦ，ＢＦを結び、

それらの交点を図のようにＧ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌとします。

すると、正六角形ＧＨＩＪＫＬができます。

この正六角形の対角線ＧＩ，ＩＫ，ＧＫ，ＨＪ，ＪＬ，ＨＬを結び、

それらの交点を図のようにＭ，Ｎ，Ｏ，Ｐ，Ｑ，Ｒとします。

すると、正六角形ＭＮＯＰＱＲができます。

正六角形ＭＮＯＰＱＲの面積が１０であるとき、

正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積を求めなさい。

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面積は、

△緑色＝△黄色＝△水色＝△茶色

△青＝△赤　となるので、

正六角形GHIJKLは正六角形MNOPQRの３倍で３０

正六角形ABCDEFは正六角形GHIJKLの３倍で９０

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2018年3月16日 (金)

長さ比と面積比は？（今年　２０１８年　渋谷教育学園幕張中学）

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下の図の四角形ＢＣＤＥは平行四辺形で、ＡＢ：ＢＣ＝２：３です。

（１）ＤＥ：ＥＦ　を、もっともかんたんな整数の比で表しなさい。

（２）三角形ＣＤＨの面積は、三角形ＥＧＨの面積の何倍ですか。

3161

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（１）図の△黄どうし、

△緑どうし、△色どうしは相似です。

EF＝３×③/②＝４．５　なので、

DE：EF＝３：４．５＝２：３

（２）

△黄と△緑は相似で、AC：EF＝５：４．５＝１０：９＝AG：GE

△AIGと△EJGも相似なので、

AI：EJ＝１０：９

△EGHの底辺をEHとした場合の高さを９とすると、

△CDHの底辺をCDとした場合の高さは、

（９＋１０）×３/２＝２８．５

△CDHと△EGHの面積比は、

⑤×２８．５：③×９＝１４２．５：２７

１４２．５÷２７＝５と５/１８倍

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2018年3月13日 (火)

おもりの軽い順に並べて！（今年　２０１８年　筑波大学附属中学）

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重さが異なる４つのおもり　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがあります。

この４つのおもりからいくつか選んでてんびんにのせたところ、

下の図のような関係になりました。

４つのおもりＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄを解答用紙に左から軽い順に答えなさい。

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一番上と下では、右側が同じなので、

Aの方がBより重いことがわかります。

真ん中では、AとBの差だけ、

DがAより重いことがわかります。

すると、DはAとBの差の２倍Bより重いことがわかります。

一番下では釣り合っているので、DとBの差と同じだけ、

CがBより軽いはずです。

したがって、軽い順に、

CBAD

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2018年3月11日 (日)

長さ、角度、面積比は？（今年　２０１８年　慶應義塾湘南藤沢中等部）　

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６つの角がすべて等しい六角形ＡＢＣＤＥＦと円の１/４の図形ＯＤＧが、

図のように重なっています。

点Ｏは辺ＢＣの真ん中の点で、点Ｐは円周と辺ＥＦが重なる点です。

また、半径ＯＧは点Ｂと点Ｐを結んだ直線の真ん中の点Ｑで交わっています。

3111

（１）ＯＱの長さを求めなさい。

（２）アの角度は何度ですか。

（３）辺ＡＢの長さが２ｃｍのとき、

　　六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は三角形ＯＣＤの面積の何倍ですか。

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（１）△緑と△黄は合同なので、OD＝DPになり、

△ODPは正三角形になります。

∠COP＝３０＋６０＝９０°なので、∠BOP＝９０°

QからOPに垂線を下し、OPとの交点をHとすると、

△BOPと△茶は相似で相似比は２：１

OP：HP＝２：１より、OH＝HP

したがって、△ピンクと△茶は合同になり、

QO＝QP＝BQ　より△赤は二等辺三角形になり、

∠BOQ＝１８０－（３０＋９０）＝６０°より、

∠QBO＝６０°になって、△赤は正三角形になります。

OQ＝BO＝OC＝４ｃｍ

（２）∠BPO＝３０°より、

∠BPE＝３０＋６０＋３０＝１２０°なので、

AFとBPは平行になり、

∠ア＝∠GQP=∠BQO＝６０°

（３）

AB＝２ｃｍなので、

図のように、△RBAのような、１辺が２ｃｍの正三角形に分割できます。

正三角形△赤の中には４個、

正六角形QOCDEPの中には、４×６＝２４個

四角形ABPFの中には、図のように７個

六角形ABCDEFの中に合計、４＋７＋２４＝３５個

△OCDの中には４個なので、

３５/４倍

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2018年3月 8日 (木)

食塩水は何ｇ？（今年　２０１８年　武蔵中学）

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ビーカーの中に３％の食塩水が入っています。

これを熱して、濃度が９％になるまで水分を蒸発させました。

次に、５％の食塩水を２００ｇ加えたところ、

濃度が５．８％になりました。

最初にビーカーの中に入ってい食塩水は何ｇですか？

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てんびん図で表すと、

てんびんの長さは①：④なので、

食塩水の重さは逆比になって、４：１　になるので、

９％の食塩水は２００÷４＝５０ｇ　だったことがわかります。

蒸発させた水を０％として、てんびん図で表すと、

てんびんの長さは、①：②になるので、

重さは逆比になり、

蒸発した水分は、５０×２＝１００ｇなので、

３％の食塩水は１５０ｇだったことがわかります。

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2018年3月 6日 (火)

色をつけた部分の面積は？（今年　２０１８年　雙葉中学）

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下の図形で、青い太線の長さはすべて等しく、

４つ合わせると、１つの円の円周と同じ長さになります。

色をつけた部分の面積は何㎠ですか。

円周率は3.14 です。

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青線を４つ合わせた円は、

１辺が８ｃｍの正方形がぴったり中に入る円なので、

この正方形の対角線が直径になります。

半径を□とすると、

２×□×２×□÷２＝８×８　より、

□×□＝３２

円弧部分４つの面積の和は、

３２×３．１４－６４＝３６．４８㎠

左側の台形部分は、

（１８＋１１）×｛（１８－１１）÷２｝÷２＝５０．７５

右側の長方形は、

１６×１８＝２８８㎠

求める面積＝３６．４８＋５０．７５＋２８８＝３７５，２３㎠

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2018年3月 5日 (月)

六角形の周りの長さは？（今年　２０１８年　慶應義塾中等部）

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図のように、１辺の長さがそれぞれ２１ｃｍと２７ｃｍの正三角形が

重なってできる六角形に色をつけました。

色をつけた六角形の向かい合う辺がそれぞれ平行であるとき、

色をつけた六角形の周りの長さは何ｃｍですか。

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図の水色と赤色の三角形はすべて正三角形になります。

青線は小さい正三角形の１辺に等しく２１ｃｍ

赤線は大きい正三角形の１辺に等しく２７ｃｍになるので、

六角形の周りの長さは、２１＋２７＝４８ｃｍ

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2018年3月 3日 (土)

色部分の面積は？（今年　２０１８年　春日部共栄中学）

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下の図の色部分の面積は何㎠ですか？

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△黄色＝７×９÷２＝３１．５㎠

△水色＝６×５÷２＝１５㎠

求める面積＝３１．５＋１５＝４６．５㎠

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2018年3月 1日 (木)

折られた面積は？（今年　２０１８年　早稲田実業学校中等部）

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一辺の長さが９ｃｍで、

表が黄色、裏が緑色の正方形の折り紙ＡＢＣＤがあります。

点Ｐを折り紙の上にとり、頂点Ａが点Ｐに重なるように折って、

図１のように緑図形を作ります。

このとき、次の各問いに答えなさい。

図１

（１）図２のように点Ｐを正方形の対角線ＡＣ上にとり、

緑図形を作ったところ、

緑図形の面積と表の黄色部分の面積の比が１：２になりました。

ＡＰの長さを求めなさい。

図２

（２）図３のように点ＰをＤＰ＝３ｃｍとなるように辺ＣＤ上にとり、

緑図形を作ったところ、ＤＱ＝４ｃｍとなりました。

緑図形の面積を求めなさい。

図３

（３）頂点Ａから点Ｐを出発させ、

緑図形が三角形になるように点Ｐを動かします。

点Ｐの動ける範囲を解答欄の図に斜線で示しなさい。

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（１）折られた白い三角形の面積比も１なので、

△白＋△緑＝１＋１＝２　となり、

この小さな正方形は正方形ABCDの半分になります。

面積は、９×９÷２＝８１/２　なので、

AP×AP＝８１/２×２＝８１　となり、

AP＝９ｃｍ

（２）

DQ＝４ｃｍなので、AQ＝OQ＝９－４＝５ｃｍ

△DPQは辺の比が３：４：５の直角三角形で、

△DPQと△CGPと△FGEは相似になります。

CG＝（９－３）×３/４＝４．５ｃｍ

BG＝９－４．５＝４．５ｃｍ

BE＝４．５×４/（５＋４）＝２ｃｍ

緑部分＝台形ABEQ＝（２＋５）×９÷２＝３１．５㎠

（３）三角形の１辺は正方形の１辺の長さを超えないので、

AB、ADをそれぞれ固定して考えると

下の図のように、Pの動ける限界線が決まります。

範囲は下の図のように木の葉形になります。

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