目次

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2018年2月

2018年2月27日 (火)

色のついた部分の周の長さは?(今年 2018年 豊島岡女子学園中学)

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下の図は、1辺の長さが6cmの正10角形と、

その頂点を中心とし、半径が6cmの円の一部を組み合わせた図形です。

図の色のついた部分の周の長さの合計は何cmですか。

2271

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----------------------------------------------------

2272

△赤は正三角形になり、

A➡C➡Bの長さは、中心角60°半径6cmの円弧になります。

求める長さは、

6×2×3.14×60/360×10+6×5

=12×3.14×20/12+30

=20×3.14+30

=62.8+30

=92.8cm

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2018年2月26日 (月)

AからBまでの道のりは?(今年 2018年 海城中学)

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一郎君は毎分90mの速さで歩いて、

花子さんは毎分120mの速さで自転車に 乗って、

AからBに向かうことにしました。

花子さんはAを出発して、

AからBまでの道のりのちょうど1/3地点で忘れ物に気づいてAに戻り、

忘れ物を取ってすぐにBに向かいました。

一郎君は、花子さんがはじめにAを出発してから14分後にAを出発して、

花子さんと一度すれちがい、花子さんと同時にBに着きました。

(1)AからBまでの道のりを求めなさい。

(2)一郎君がAを出発してから花子さんとすれちがうまでに何分かかりましたか。

Ilm13_aa08004s2102cs

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2261

(1)

AからBまでの道のりを□mとすると、

(1+1/3×2)×□÷120=□÷90+14

5/3×□÷120=□÷90+14

(5×□)/360=(4×□)/360+14

□/360=14

□=5040m

(2)

AからBまでの1/3は、5040÷3=1680m

花子は14分間に、120×14=1680m進むので、

一郎が出発したのは、花子が忘れ物に気づいた1/3地点

すれ違う時間は、

1680÷(90+120)=8分後

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2018年2月23日 (金)

流れの速さは?(今年 2018年 女子学院中学)

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1周200mの流れるプールがあります。

J子さんは流れにそって、 G子さんは流れに逆らって

同じ地点から同時に泳ぎ始めました。

泳ぎ始めてから2人が最初に出会うまでに泳いだ道のりの差は52mです。

流れのないプールではJ子さんは毎分80m、

G子さんは毎分70mの速さで 泳ぎます。

2人が最初に出会ったのは泳ぎ始めてから何分何 秒後ですか?

また、流れの速さは毎分 何mですか?。



2231

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----------------------------------------------------

2232

G+J=200m

J-G=52m なので、

G=(200-52)÷2=74m

J=74+52=126m

速さの比は、J:G=126:74=63:37

泳ぎの速さの比は、J:G=80:70=8:7

流れの速さを□とすると、

(8+□):(7-□)=63:37

37×(8+□)63×(7-□)

296+37×□=441-63×□

100×□=145

□=1.45

流れの速さは毎分、1.45×10=14.5m

2人が出会ったのは、

126÷(80+14.5)=1と1/3分後

1分20秒後です。


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2018年2月20日 (火)

色部分の面積は?(.今年 2018年 ラ・サール中学).

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1辺が2cm、6cm、12cmの正方形が図のように並んでいます。

ABとCDは辺上の点Eで交わっています。

このとき、色部分の面積を求めなさい。

2201

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----------------------------------------------------

2202

△黄と△ABFは相似で、相似比は2:(2+6+12)=1:10より、

GH=12×1/10=1.2cm

CG=6-1.2=4.8cm

△赤と△緑も相似で、相似比は6:12=1:2

したがって、BD=4.8×2=9.6cm

△緑の面積=9.6×12÷2=57.6㎠

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2018年2月18日 (日)

ゴールしたランナーの順位は?(今年 2018年 早稲田中学)

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ランナー A、B、C、D、E、F、Gの7人が400m競走を行いました。

途中経過は次のようでした。


AさんとCさんの間には2人のランナーがいます。

Gさんはこの時点で4位です。

Bさんのすぐ前にEさんがいます。

DさんはBさんの後方にいて,その間には2人のランナーがいます。


その後, Aさんが3人を追い抜いてゴールしました

ゴールしたランナーを1位から順に書きなさい。

Hasiru

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① AさんとCさんの間には2人のランナーがいます。

②Gさんはこの時点で4位です。

③Bさんのすぐ前にEさんがいます。

④DさんはBさんの後方にいて,その間には2人のランナーがいます。

⑤その後, Aさんが3人を追い抜いてゴールしました。

③と④より、

EB〇〇D・・・・⑥

ここにA〇〇Cあるいは、C〇〇Aをあてはめると、

A〇〇Cでは、②と⑤の条件にあわず、

C〇〇Aが条件に合うのは、

EBCGDAF となって、

ゴールした順位は、

E B A C G D F

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2018年2月15日 (木)

列は全部で何通り?(今年 2018年 麻布中学)

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2つの記号〇、×を並べてできる列のうち、

次の条件にあてはまるものを考 えます。

(条件) ○が3つ以上連続して並ぶことはない。

Apf0107s

例えば,、○○×○○はこの条件にあてはまりますが、

○×○○○××は条件にあてはまりません。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)〇、×を合わせて14個並べるとき、

  ×の個数が最も少なくなる列を1つ書き なさい。

(2)〇、×を合わせて13個並べるとき、

  ×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

(3)〇、×を合わせて12個並べるとき、

  ×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

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(1)

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇

(2)

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×

一番右の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×〇〇××

右から2番目の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×××

右から3番目の×を左にずらすと、

〇〇××××

一番左の×を左にずらすと、

××××

以上の5通り

(3)

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×・・・・・①

(2)と同様に右から順番に×をずらしていきます。

〇〇×〇〇×〇〇××〇・・・・・②

〇〇×〇〇×〇〇××〇・・・・・③

〇〇×〇〇×××〇・・・・・④

〇〇×〇〇×××〇・・・・・⑤

〇〇××××〇・・・・・⑥

〇〇××××〇・・・・・⑦

××××〇・・・・・⑧

××××〇・・・・・⑨

右側が×〇になっている②の変化形が考えられます。

〇〇×〇〇×××〇・・・・・⑩

〇〇××××〇・・・・・⑪

××××〇・・・・・⑫

左側が〇×になっている⑧の変化形が考えられます。

××××〇・・・・・⑬

××××〇・・・・・⑭

××××〇・・・・・⑭’これは⑫と同じなので不可

両側が〇〇×・・・・・×〇になっている

③~⑦の中6つの形でないのが、〇××〇の対象形、

〇〇×〇×××〇・・・・・⑮

この15通りです。

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2018年2月14日 (水)

目の出方は何通り?(今年 2018年 雙葉中学)

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図1 の立体の4つの面は、すべて合同な正三角形です。

図1
Bandicam_20180214_075352080

この立体のそれぞれの面に1、2、3、4の数字を書きました。

ある方向から見ると図2 、別の方向から見ると図3のようになりました。

図2
2141
図3
2142

(1)この立体の展開図を完成させましょう。

  また、向きを考えて2、3、4の数字も書きましょう。

Bandicam_20180214_080912703

(2)この立体を、4と書いた面を下にして置きます。

  ここから、辺を軸にして立体を倒して、下にきた数字を足していきます。

  3回倒して、和が6になるときの下にきた数字の出方をすべて書きましょう。

(3)5回倒して、和が13になるときの下にきた数字の出方は全部で何通りですか。

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----------------------------------------------------

(1)

2144

 

1の右下の頂点は4の右下、

1の上の頂点は2の左下、

2の上の頂点は3の左下、

(2)

1→4

1→2

1→3

2→1

2→3

3→1

3→2

(3)

4が3回になる転がし方は、和が13を超えてしまうので不可、

4が2回の場合、

1+1+3+4+4=13・・・・・①

1+2+2+4+4=13・・・・・②

4が1回の場合、

1+2+3+3+4=13・・・・・③

2+2+2+3+4=13・・・・・④

4がない場合、

2+2+3+3+3=13・・・・・⑤

最初が4でなく、同じ数が連続しない並べ方を考えると、

①の場合

13414、14143、14134、14314、14341

31414、34141 の7通り、

②の場合、

12424、14242

21424、24124、24214、24142、24241 の7通り、

③の場合、

1が最初に来るとき、

12343、14323、13243、13423、13234、13432 の6通り、

2が最初に来るときも、同様に6通り、

3が最初に来るとき、

3□□□3 で6通り、

3□□3□ で6通り、

3□□□ で6通り、

③の場合は合計で、6×5=30通り

④の場合、

23242、24232 の2通り、

⑤の場合、

32323 の1通り、

①+②+③+④+⑤=7+7+30+2+1=47通り


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2018年2月11日 (日)

この立体の体積は?(今年 2018年 開成中学)

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下の図はある立体の展開図です。

B、C、Dは一辺が 6cm の正方形、

A、E、F は直角二等辺三角形、 Gは正三角形です。

この立体の体積を求めなさい。

2111

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組み立てると下のような立体になるので、

Bandicam_20180211_092621119

体積は、

6×6×6-6×6×1/2×6×1/3=180立方cm

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2018年2月 9日 (金)

列車の速さは?コースの長さは?(今年、2018年 武蔵中学)

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おもちゃの列車を走らせる円形のコースがあります。

ただし
コースの一部は長さ 69cmの トンネルになっています。

同じ長さの列車を何両かつなげて、このコースを走らせるときに、

列車の一部または全部が見えている時間を「見える時間」と呼び、

列車がトンネル内にあって、まったく見えない時間を

「見えない時間」と呼ぶことにします。

列車を3両つなげて走らせると、見える時間41秒と

見えない時間7秒をくリ返します。

また、列車を5両つなげて走らせると、見える時間は44秒になります。

列車の速さは一定で、何両つなげても速さは変わりません。

列車の速さは毎秒何cmですか?

また、列車1両の長さとコースの全長はそれぞれ何cmですか?

Toytrain154101_640

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291

図のように、2両増やすと見える時間が3秒増えるので、

列車は1両分進むのに1.5秒かかることがわかります。

3両のとき、トンネルに入り始めて、出かかるまでに、

7+1.5×3=11.5秒かかるので、

列車の速さは、毎秒、69÷11.5=6cm

列車1両の長さは、6×1.5=9cm

コースの長さは、6×(41+7)=288cm

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2018年2月 8日 (木)

切断面の形と糸の動く範囲は?(今年、2018年 駒場東邦中学)

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図のような1辺の長さが6cmの正三角形が4つと、

正方形からできる四角錐O-ABCDについて

辺 AB、OB、CDの真ん中の点をそれぞれL、M、N とします。

281

ただ し、円周率は3.14として、次の問いに答え なさい。

(1)3点L、M、Nを含む平面でこの四角錐 を切り分けます。

 ①切断面はどのような図形か答えなさい。

 ②切断面の周の長さを答えなさい。

282

(2)頂点Oに長さ6cmの糸をつけます。

  もう片方の糸の先端が、

  この四角錐の表面上を動くことができる範囲について考えます。

 ①解答欄の展開図に動くことができる範囲をかき、斜線で示しなさい。

 ②動くことができる範囲の面積を求めなさい。

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(1)

Bandicam_20180208_084818704_2

Bandicam_20180208_084906570

①図のように等脚台形になります。

Bandicam_20180208_085030889

Bandicam_20180208_085053048

②周の長さは、図のように、

6+3×3=15cm

(2)

Bandicam_20180208_085638250

②面積は、

6×6×3.14×(60×4)/360=75.36㎠

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2018年2月 6日 (火)

面積は?(今年、2018年 桜蔭中学)

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半径が3cmの円Aと、1辺の長さが6cmの正方形Bを用いてできる

次の3つの図形をA+A、A+B、B+Bと呼ぶことにします。

261_2

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)A+A、A+B、B+Bの面積はそれぞれ何㎠ですか。

(2)同じように、AとBを合わせて10個用いて、

  下のような図形を作ります


  両端にAを使うとき、 Bをできるだけ少なく使って面積が250㎠ 以上の

  図形を作るには、Bを何個使いますか。

  また、 作った図形の面積は何㎠ですか。


263

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)

2つの図形の面積の和から重なった部分を引きます。

262

緑部分

=3×3-(3×3-3×3×3.14×1/4)×2

=9-(9-7.065)×2

=5.13㎠

円周率が3.14の場合、

木の葉形の面積が正方形の0.57倍になることを知っていれば、

3×3×0.57=5.13㎠

赤部分

=3×3×3.14×1/4

=7.065

青部分

=3×3

=9㎠

A+A

=3×3×3.14×2-5.13

=51.39㎠

A+B

=(3×3×3.14+36)-7.065

=57.195㎠

B+B

=36×2-9

=63㎠

(2)

10個全部Aの場合の面積

=28.26×10-5.13×9

=236.43

したがって、250-236.43=13.57㎠以上増やします。

Bを1つ増やすと、

36-28.26=7.74㎠面積が増えますが、

重なる部分も、(赤-緑)×2=(7.065-5.13)×2=3.87㎠増え、

実際に増える面積は、7.74-3.87=3.87㎠です。

もう1つBを増やしても、両サイドのA+Bは変わらないので、

B+Bなら、9-5.13=3.87㎠増え、

A+B+A+B+Aの並びでも3.87㎠増えることになります。

つまり、Bを1つ増やすごとに3.87㎠増えるので、

13.57÷3.87=3.5・・・ より、

Bは4個使い、

面積は、

236.43+3.87×4=251.91㎠

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2018年2月 5日 (月)

正三角形の1辺の長さは?(今年、2018年 筑波大学附属駒場中学)

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正三角形 ABC の内側に点Pがあり、

Pから辺BC、AC、ABにそれぞれ垂直な線を引き、

交わった点を順に D、E、Fとします。

AFの長さは7cm、BD の長さは8cm、CE の長さは10cmです。

このとき、正三角形の一辺の長さを求めなさい。

251

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図のように、Pを通り、正三角形の各辺に平行な線を引きます。

252

3つできた正三角形、△黄、△緑、△赤の1辺の和が

△ABCの1辺の長さに等しくなることがわかります。

△黄の1辺の長さ=2×ア

△赤の1辺の長さ=2×イ

△緑の1辺の長さ=2×ウ とすると、

8-イ=2×ア・・・・・①

7-ア=2×ウ・・・・・②

10-ウ=2×イ・・・・・③

①と②より、

ア=7-2×ウ なので、

8-イ=2×(7-2×ウ)=14-4×ウ

4×ウ-イ=6・・・・・④

③と④より、

ウ=10-2×イ なので、

4×(10-2×イ)-イ=6

40-8×イ-イ=6

9×イ=34

イ=34/9

ウ=10-2×34/9=22/9

ア=7-2×22/9=19/9

2×(ア+イ+ウ)=2×(34+22+19)/9=150/9=50/3

=16と2/3cm

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2018年2月 2日 (金)

新しい正六角形の面積は?(今年、2018年 開成中学)

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面積が9㎠である正六角形 ABCDEF の

各辺の中点(真ん中の点)を結んで新しい正六角形を作ります。

新しい正六角形の面積を求めなさい。

下の図の点0は対称の中心です。


221

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図のように新しい正六角形は、

正六角形ABCDEFの6/8=3/4 になります。

222

求める面積=9×3/4=6.75㎠

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2018年2月 1日 (木)

玉は全部で何個?(今年 2018年 大阪星光学院中学)

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下の図のように正六角形状に玉を並べます。

一番外側にある玉の数が156個のとき、

玉は全部で何個ありますか?


211

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212

内側から2番目は、1×6=6個

3番目は、2×6=12個

156個は、156÷6=26 より、

内側から26+1=27番目になります。

個数の合計は、

1+1×6+2×6+・・・・・+26×6

=1+(1+2+・・・・・+26)×6

=1+(27×26÷2)×6

=1+2106

=2107

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