目次

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2018年1月

2018年1月31日 (水)

三角形BCPの面積は?(今年 2018年 灘中学 1日目)

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下の図のように、正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり、

6つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。

三角形ABP、CDP、EFPの面積がそれぞれ3㎠、5㎠、8㎠であるとき,

三角形BCPの面積は何㎠ですか。

1311

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1312

△緑の面積=△黄の面積

△水色の面積=△茶の面積

四角形PBGCの面積=3+5=8㎠

1313

△赤も△青も△桃色も

正六角形の1辺を底辺とする三角形と考えると、

面積の比はそのまま高さの比となります。

△赤の高さを②とすると、

3つの三角形の高さの合計は②×3=⑥

△赤と△青の高さの合計は8、△桃色の高さは8なので、

⑥=8×2=16、③=8

△青の高さは、③-②=① なので、

面積は、8×①/③=8/3㎠

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2018年1月28日 (日)

長方形の面積は?(今年 2018年 愛光中学)

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下の図において、長方形ABCDと長方形AEFGの面積は等しく、

HはACと EFの交点です。

三角形AHFの面積が 60㎠で、BE=10cm、BC=9cmのとき、

三角形CHEの面積は何㎠ですか?

また、長方形ABCDの面積は何㎠ですか?

1281

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1282

長方形GDIFの面積は90㎠なので、

△緑はその半分で45㎠

△黄=60-45=15㎠

△ACIも長方形EBCIの半分なので、45㎠

△HC=45-15=30㎠

△CHE=45-30=15㎠

EHの長さは、15×2÷10=3cm なので、

HIの長さ=9-3=6cm

AEの長さ=15×2÷6=5cm

長方形ABCDの面積=(5+10)×9=135㎠


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2018年1月26日 (金)

3人の計算結果は?(今年、2018年 高槻中学)

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31101

たかし君は、次のように言っています。

「今日は半分走って学校に来たよ。」

それを聞いた3人の友だちが、

たかし君が学校までかかった時間を次のように計算しました。

1261

次の問いに答えなさい。

(1)学校までのすべての道のりを全速力で走ると何分かかりますか。

(2)全速力で走る速さと歩く速さの比を求めなさい。

(3)ゆうき君の計算では、学校まで何分かかったことになりますか。

  分数で答えなさい。

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(1)速さが2倍になるので、かかる時間は半分になり、8分

(2)

1262

全速力で走った時間は4分なので、歩いた時間は14-4=10分

速さの比は逆比になり、10:4=5:2

(3)

1263

学校までの道のりを①とすると、

全速力で走る速さは、①/8

歩く速さは、①/20

かかった時間は、

5/7÷①/8+2/7÷①/20=(40+40)/7=80/7

=11と3/7分

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2018年1月24日 (水)

電灯が消えている部屋は?(今年 2018年 洛南高附属中学)

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下の図のように縦に4部屋、横に4部屋の合計16部屋が並んでいます。

各部屋からは隣り合う部屋に移動する ことができますが、

1部屋通るのに1分かかります。

各部屋には電灯があり、電灯がついている部屋に入ると電灯が消え、

電灯が消えている部屋に入ると電灯がつ きます。

最初、電灯の消えている部屋は図の|緑色で表されています。

Sから入って7分でGから出るとき、次の問いに答え なさい。

1241

 

(1)Gから出たとき、

  各部屋の電灯が次の図のようになる経路を線でかきなさい。

1242

(2)Gから出たとき、電灯が消えている部屋の数はいくつですか。

  考えられる数を すべて答えなさい。

(3)SからGまで行く経路は全部で何通りありますか。

(4)Gから出たときに電灯が消えている部屋は、平均でいくつありますか。

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(1)

1243_2

(2)

消えている部屋を通らない場合➡7+5=12

消えている部屋を1つ通る場合➡6+4=10

消えている部屋を2つ通る場合➡5+3=8

消えている部屋を3つ通る場合➡4+2=6

消えている部屋4つ通る場合はありえないので、以上4つの場合です。

(3)

1244_2

以上20通り。

(4)

消えている部屋を通らない場合➡12×1通り

1245

消えている部屋を1つ通る場合➡10×5通り

1246

消えている部屋を2つ通る場合➡8×10通り

1247

1248

1249

消えている部屋を3つ通る場合➡6×4通り

12410

平均は、

(12×1+10×5+8×10+6×4)÷20=8.3

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2018年1月22日 (月)

点が動く範囲とその面積は?(今年、2018年 灘中学 2日目)

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図1は1辺の長さが8cmの立方体です。

また、I、J、K、Lは各辺の真ん中の点です。

点Pが面AEFB上にあり、点Qが面DHGC上にあるとき、

P、Qを直線で結びその真ん中の点をMとすると、

Mは 4点I、J K Lを通る平面上にあります。

図1

1227

点Pが面AEFB上で点Eからちょうど8cm離れたところを動き、

点Qは面DHGC上で点Gからちようど8cm離れたところを動きます。

このとき、PQの真ん中の点Mが動くことのできる部分を、

例にならって図2にかき入れなさい。

そしてその面積を求めなさい。



1221

図2

1222

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点Mの軌跡のイメージは図のようになります。

1229

PをAに固定してQを動かすとMの軌跡は図のようになります。

1223

次に、PをFに固定してQを動かすとMの軌跡は図のようになります。

1224

次に、QをCに固定してPを動かすとMの軌跡は図のようになります。

1225

次に、QをHに固定してPを動かすとMの軌跡は図のようになります。

1226

色部分がMの動ける範囲で、面積は正方形の半分の32㎠です。.

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2018年1月20日 (土)

切断される立方体の個数は?(今年、2018年 浦和明の星女子中学)

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1辺の長さが1cmである小さな立方体をいくつか組み合わせて、

直方体を作ります。

(ア) 図1のような3辺の長さがそれぞれ2cm、2cm、3cmの直方体を作り、

  3つの頂点A、B、C を通る平面で切断します。

  このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図1

1201

(イ)図2のような3辺の長さがそれぞれ4cm、4cm、6cmの直方体を作り、

  3つの頂点D、E、F を通る平面で切断します。

  このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図2

1203

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(ア)

Bandicam_20180120_080648466

一番上の段は図のように3個、

Bandicam_20180120_080814630_2

2段目も3個、

Bandicam_20180120_080924769

一番下の段は1個

Bandicam_20180120_081019378

合計、3+3+1=7個

(イ)

上の段から順番に数えていきますが、

2段目が難しいですね。

Bandicam_20180120_162931174_2

1段目➡7個

2段目➡9個

3段目➡5個

4段目➡3個

5段目➡3個

6段目➡1個

合計、7+9+5+3+3+1=28個

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2018年1月18日 (木)

色部分の面積の和は?(今年、2018年 神戸女学院中学)

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直径18cmの円の周上に、円周を12等分する点をとります。

図の色部分の面積の和を求めなさい。

円周率は3.14とします。

1181

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----------------------------------------------------

1182

図の△赤と△茶は底辺と高さが等しいので、

面積が等しくなります。

求める面積は、

(半径9cm、中心角30°おうぎ形)+△茶 と、

(半径9cm、中心角30°おうぎ形)-△赤 の和なので、

(半径9cm、中心角30°おうぎ形)×2 になります。

したがって、

9×9×3.14×30/360×2

=81×3.14×1/6

=42.39㎠

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2018年1月17日 (水)

AG:GFは?(今年、2018年 東大寺学園中学)

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下の図の正六角形ABCDEFにおいて、

AF上に点Gをとりました。

三角形BCGの面積と三角形DEGの面積の比が12:13であるとき、

AG:GFを最も簡単な整数の比で答えなさい。


1171

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正六角形の面積を150とすると、

△ABG+△FEG=25

△GCD=50

△緑+△黄=150-(25+50)=75

△緑=36

△黄=39

1172_2

△赤=25なので、

△緑は△赤より36-25=11大きく、

△黄は△赤より39-25=14大きくなります。

底辺は等しいので、面積の違いは高さの違いになり、

AG:GF=11:14

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2018年1月15日 (月)

角アの大きさは?(今年、2018年 灘中学 1日目)

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下の図で、四角形ABCDは長方形で、

辺ABの真ん中の点がMです。

また、2本の直線 CE、MEは垂直です。

このとき、角アの大きさは何度ですか。

1151

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----------------------------------------------------

1152_2

直角三角形MBFとCEFは合同になるので、

BF=EF、MF=CFより、

BC=ME となって、

△黄と△緑は3辺が等しく合同になり、

∠MDC=∠MCD=∠DMA=∠MCE=∠ア

∠ア=(360-90-60)÷3=70°

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2018年1月14日 (日)

色部分の面積は?(今年、2018年 大阪星光学院中学)

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下の図の点B、CはAからDまでの弧を3等分する点です。

このとき、色部分の面積は何㎠ですか?

1141

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1142

△BORも△OSも30°、60°、90°の直角三角形なので、

BR=CS=12×1/2=6cm になります。

求める面積は、色部分から半径6cmの1/4円を引いたものになるので、

(6×6÷2×2+12×12×3.14×30/360)-

6×6×3.14×90/360

=36+12×3.14-9×3.14

=36+(12-9)×3.14

=36+3×3.14

=45.42㎠

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2018年1月13日 (土)

角AEFの大きさは?(栄東中学(東大選抜) 2016年)

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正方形ABCDの辺BC上に点E、辺CD上に点Fをとり、

下の図のような三角形AEFをかきました。

角BAEの大きさは12度、角DAFの大きさは33度 です。

このとき、角AEFの大きさは何度ですか?

1131

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1132

△黄を△緑の位置まで回転させると、

AF=AF'

∠FAE=90-(12+33)=45°=∠F'AE=12+33=45°

AEは共通なので、

△赤と△(緑+水色)は合同になります。

したがって、∠AEF=∠AEB=90-12=78°

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2018年1月10日 (水)

体積は2通り?(2018年度入試 海陽中等教育学校(特別給費))

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次の図は1辺5cmの正方形をつなぎ合わせた図形です。

これを、どの正方形も 重なることなくうまく組み立てると、

体積の異なる2種類の直方体が作れます。

それぞれの直方体の体積を求めなさい。

ただし、点線以外で折ってはいけないことと します。


1101

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

1103

Bandicam_20180110_094329288

5×5×5×5=525㎠

1102

Bandicam_20180110_094441901

5×5×5×6=750㎠

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2018年1月 7日 (日)

底にくる目の数は?(淑徳与野中学 2017年)

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図のように、さいころを矢印の向きにAまでころがします。

Aにきたとき、底の目の数はいくつですか。

ただし、さいころの向かい合う目の和は7になっています。


1071

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図のように、上面が2になるので、

底の面は5です。

1072

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2018年1月 5日 (金)

①、②、③にあてはまる数は?(海城中学 2017年)

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二つの直角三角形ABCとPQRがあります。

図の角アと角イは同じ大きさであり、

AB=8cm、BC=6cm、CA=10cmです。

図のように、この二つの三角形が、頂点Cと項点Pが重なるようにして

一つの直線上に置かれています。

この状態から、三角形 PQRを毎秒1cmの速さで左方向に、

辺ABと辺QRが重なるまで動かしました。

グラフは、三角形 PQRを動かし始め てから止まるまでの時間と、

二つの三角形が重なった部分の面積の関係を表したものです。

①、②、③にあてはまる数を求めなさい。

1052


1051

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----------------------------------------------------

1053

△黄は△ABC、PQRと相似なので、

BH=24/5cm

CH=18/5cm

△黄の面積=24/5×18/5×1/2=8.64㎠

1055

△黄の面積が24㎠から0㎠になる時間は6秒なので、

②=20+6=26(秒)

1056

22秒後には、2秒分の△HQC分だけ面積が減っているので、

HQ=8/3cm より、

③=24-2×8/3×1/2=21と1/3(㎠)

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