直方体の切断（渋谷教育学園渋谷中学 ２０１７年）

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下の図のように、ＡＢとＢＣの長さが６ｃｍ、

ＡＥの長さが２４ｃｍの直方体ＡＢＣＤーＥＦＧＨがあります。

辺ＢＣ、ＣＤのまん中の点をそれぞれＭ、Ｎとします。

（１）３点Ｍ、Ｎ、Ｈを通る平面でこの直方体を切った場合、

　　切り口はどのような図形になり ますか。

（２）３点Ｍ、Ｎ、Ｅを通る平面でこの直方体を切った場合、

　　この３点Ｍ、Ｎ、Ｅを通る平面と辺 ＢＦとが交わった点から

　　Ｆまでの長さは何ｃｍですか。

（３）３点Ｍ、Ｎ、Ｅを通る平面でこの直方体を切ったとき、

　　頂点Ａをふくむ方の立体の体積は何立方ｃｍですか。

　　ただし、すい体の体積は、「(底面積) × (高さ) ÷３」で

　　求めることができます。

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（１）

M、N、H.、を通る平面はFも通るので、

図のように等脚台形になります、

（２）

Fの方から見ると、M、N、Eを通る平面は

辺BFをPで切断するので、

△黄と△緑は相似になり、相似比は１：２になります。

したがって、PF＝２４×２/３＝１６ｃｍ

（３）

図のように、Aを含む立体は

三角すいE－PQRと

直方体ABCD－RPSQから、三角すい台CMN－SQPを引いた立体を

たしたものになります。

６×６÷２×１６÷３＋

６×６×８－（６×６÷２×１６÷３－３×３÷２×８÷３）

＝９６＋２８８－（９６－１２）

＝３００立方ｃｍ

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