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2017年12月20日 (水)

直方体の切断(渋谷教育学園渋谷中学 2017年)

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下の図のように、ABとBCの長さが6cm、

AEの長さが24cmの直方体ABCDーEFGHがあります。

辺BC、CDのまん中の点をそれぞれM、Nとします。

12201_2

(1)3点M、N、Hを通る平面でこの直方体を切った場合、

  切り口はどのような図形になり ますか。

(2)3点M、N、Eを通る平面でこの直方体を切った場合、

  この3点M、N、Eを通る平面と辺 BFとが交わった点から

  Fまでの長さは何cmですか。

(3)3点M、N、Eを通る平面でこの直方体を切ったとき、

  頂点Aをふくむ方の立体の体積は何立方cmですか。

  ただし、すい体の体積は、「(底面積) × (高さ) ÷3」で

  求めることができます。

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(1)

M、N、H.、を通る平面はFも通るので、

図のように等脚台形になります、

12202

(2)

Fの方から見ると、M、N、Eを通る平面は

辺BFをPで切断するので、

△黄と△緑は相似になり、相似比は1:2になります。

12203

したがって、PF=24×2/3=16cm

(3)

図のように、Aを含む立体は

三角すいE-PQRと

直方体ABCD-RPSQから、三角すい台CMN-SQPを引いた立体を

たしたものになります。

12204

6×6÷2×16÷3+

6×6×8-(6×6÷2×16÷3-3×3÷2×8÷3)

=96+288-(96-12)

=300立方cm

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