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2017年12月

2017年12月31日 (日)

立方体の切断と体積(東邦大学付属東邦中学 2017)

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図のような、1辺の長さが6cmの立方体ABCDEFGHがあります。

また、点Mは辺AEを2等分する点です。

このとき、次の問いに答えなさい。

Bandicam_20171231_081526574
(1)3点A、C、Fを通る平面でこの立方体を切り分けたとき、

  点Hを含む立体の体積を求めなさい。

(2)(1)で体積を求めた立体を、3点D、F、Mを通る平面で切り分けたとき、

  点Aを含む立体の面の数を求めなさい。

(3)(2)で面の数を求めた立体の体積を求めなさい。

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(1)

Bandicam_20171231_081704836

立方体からオレンジ部分の三角すいを引きます。

6×6×6-6×6÷2×6÷3=180立方cm

(2)

Bandicam_20171231_082358094

切り口DMFNと切り口ACFにはさまれた立体になるので、

面は7つです。

(3)この立体の体積は、底面を長方形AMNCとして、

高さが正方形の対角線の1/2となる四角すい2つ分になります。

対角線の長さを□cmとすると、

この立体の体積=3×□×□/2÷3×2=□×□

□×□=6×6×2=72立方cm

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2017年12月27日 (水)

AEとECの長さの比は?(立教新座中学 2017年)

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三角形ABCの辺AB上に

ADとDBの長さの比が3:1となるような点Dがあります。

辺AC上に点Eをとり、点Dと点Eを結んだ線上に

DFとFEの長さの比が2:1となるように点Fをとります。

12271

次の問いに答えなさい。

(1)点Eが辺ACのまん中の点であるとき,

  三角形FBCの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。

(2)三角形FBCの面積が三角形ABCの面積の29/60倍であるとき、

  AEとECの長さの比を求めなさい。

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(1)

12272

(△緑+△黄)は△ABCの、1/2×3/4=3/8

△黄=2/8

△緑=△赤=1/8

△茶=2/8×1/3=1/12

色部分の合計=

2/8+1/8×2+1/12=12/24+2/24=14/24=7/12

△FBC=1-7/12=5/12 倍

(2)

12273

△黄は△ADEの1/3

△緑は△EDCの1/3

△色部分は△ADCの1/3

△ADCは△ABCの3/4

△色部分は△ABCの3/4×1/3=1/4

△FBCが△ABCの29/60なので、

△色部分は△ABCの15/60

△ABFは△ABCの、60/60-29/60-15/60=16/60

したがって、△ABF:△色部分=⑯:⑮

△ADF=⑯×3/4=⑫

△黄=⑫×1/2=⑥

△緑=⑮-⑥=⑨

AE:EC=⑥:⑨=2:3

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2017年12月25日 (月)

Bの銀メダルは?Aの金メダルは?(世田谷学園中学 2017年)

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2つの国A、Bがオリンピックで獲得したメダルの数を調べました。

Aが 獲得した金メダルはBより5個少なく、

銀メダルはBの半分で、銅メダルは Bと同じ数でした。

獲得したメダルの合計は、Aが15個、Bが22個でした。

A、Bともに金、銀、銅のメダルを

少なくとも1個ずつ獲得したことがわかって いるとき、 

次の問いに答えなさい。

(1)Bの銀メダルは何個ですか。

(2)Bは金メダルが銅メダルより少ないことがわかっています。

     Aの金メダルは多くて何個ですか。

Medals1622902_640

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(1)銅メダル数が同じなので、

22-15=7個の差は、金と銀メダル数の差になります。

金メダルの差は5個なので、

7-5=2個の差は銀メダル数の差になります。

銀メダル数は、A=1/2×Bなので、

B-1/2×B=2 より、

1/2×B=2

B=4個

(2)Bの金+銅は、22-4=18個なので、

18÷2=9個で、金<銅 より、

金メダル数の最大個数は8個

Aの金メダル数は、最多で8-5=3個 です。


 

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2017年12月23日 (土)

出発してから何分後?(大阪星光学院中学 2017年)

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円形のコースがあり、P地点からA君が時計まわりに、

Q地点からB君が反時計まわりに同時に出発し、

このコースをまわりつづけます 。

B君の速さは毎分36mで、出発後4分ではじめて2人は出会い、

それから3分後にA君はQ地点を通過しました。

2人が2回目に出会ったあと、A君は384m進んでちようど1周しました。

9221_2

(1)A君の速さは毎分何mですか?

(2)2人が2回目に出会うのは出発してから何分後ですか?

(3)コース1周の長さは何mですか?

(4)2人がP地点で2回目に出会うのは出発してから

  何時間 何分後ですか?

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12231..

(1)Qから①までは、36×4=144mです。

Aは144mを3分で進んだので、

その速さは、分速 144÷3=48m

(2)Pから①までは、48×4=192m

したがって、Qから②までは384+144+192=720m

B君の速さで、720÷36=20分後です。

(3)AとBの速さの比は、48:36=4:3.なので、

同じ時間に進むキョリも4:3になります。

Bが①から②に進んだ時間は20-4=16分、

同じ16分間にAは、48×16=768m進むので、

1周は、768+192+384=1344m

(4)AがPにもどってくる時間は、

1344÷48=28分毎なので、

28、56、84、112、140、168、196、・・・・

Bが最初にPに来る時間は、(144+192)÷36=9と1/3分後

その後、1344÷36=37と1/3分毎にPに来ます。

2回目にPに来るのは、9と1/3+37と1/3=46と2/3分後、

3回目は、46と2/3+37と1/3=84分後

Aと最初にPで出会います。

37と1/3は3回で整数になるので、

84+(37と1/3)×3=196分となり、

2回目のPでの出会いは、3時間16分後です。

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2017年12月22日 (金)

色部分の面積合計は?(甲陽学院中学 2017年)

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図のように、1辺が10cmの正方形の中に、

交互に円と正方形があります。

色部分の面積の合計は何㎠ですか?

円周率は3.14とします。


12221

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真ん中の正方形の面積は、外側の正方形の1/2

一番内側の正方形の面積は、外側の正方形の1/4

色部分の面積比も、4:2:1 になるので、

(10×10-5×5×3.14)×(4/4+2/4+1/4)

=21.5×7/4

=37.625㎠

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2017年12月21日 (木)

色部分の面積の合計は?(青稜中学 2017年)

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下の図は、半径6cmの円を4つ重ねたものです。

4点A、B、C、Dが円の中心であるとき、

色部分の面積の合計を求めなさい。

ただし、円周率は3.14 とします。

12211

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△ABEは正三角形になるので、

図のように等積移動すると、

半径6cm、中心角60°の扇形が4つできます。

12212

したがって、求める面積は、

6×6×3.14×60/360×4

=75.36㎠

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2017年12月20日 (水)

直方体の切断(渋谷教育学園渋谷中学 2017年)

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下の図のように、ABとBCの長さが6cm、

AEの長さが24cmの直方体ABCDーEFGHがあります。

辺BC、CDのまん中の点をそれぞれM、Nとします。

12201_2

(1)3点M、N、Hを通る平面でこの直方体を切った場合、

  切り口はどのような図形になり ますか。

(2)3点M、N、Eを通る平面でこの直方体を切った場合、

  この3点M、N、Eを通る平面と辺 BFとが交わった点から

  Fまでの長さは何cmですか。

(3)3点M、N、Eを通る平面でこの直方体を切ったとき、

  頂点Aをふくむ方の立体の体積は何立方cmですか。

  ただし、すい体の体積は、「(底面積) × (高さ) ÷3」で

  求めることができます。

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(1)

M、N、H.、を通る平面はFも通るので、

図のように等脚台形になります、

12202

(2)

Fの方から見ると、M、N、Eを通る平面は

辺BFをPで切断するので、

△黄と△緑は相似になり、相似比は1:2になります。

12203

したがって、PF=24×2/3=16cm

(3)

図のように、Aを含む立体は

三角すいE-PQRと

直方体ABCD-RPSQから、三角すい台CMN-SQPを引いた立体を

たしたものになります。

12204

6×6÷2×16÷3+

6×6×8-(6×6÷2×16÷3-3×3÷2×8÷3)

=96+288-(96-12)

=300立方cm

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2017年12月18日 (月)

立方体は何個?(2018年度入試 海陽中等教育学校(特別給費))

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1辺が1cmの透明な立方体を図のように縦8個、横6個、

高さ4個となるように規則正しく直方体となるように積み上げました。

12181

(1)2つの頂点AとBを通るようにレーザー光線で直線を引いたとき、

  直線が内部を 通る立方体は何個ありますか。

  ただし、頂点や辺のみを通る場合は内部を通らない ものとします。

(2)3つの頂点A、C、Dを通る平面で切ったとき、

  2つの立体に分けられる立方体は何個ありますか。

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(1)図のように緑のレーザー光線は、

1段目ではAから数えて2個目で下の段に入っていきます。

Bandicam_20171218_084527050

その間、3個の立方体を貫いています。

2段目では、Aから2~4個目までを通過しています。

Bandicam_20171218_084827330

その間、やはり3個の立方体を貫いています。

Bandicam_20171218_084933905

レーザー光線は直方体の中心を通過するので、

3段目、4段目も同様に3個ずつの立方体を貫きます。

したがって、内部をレーザー光線が通る立方体は、

3×4=12個です。

(2)

Bandicam_20171218_085215308

Bandicam_20171218_085248923

図のように1段目では、

オレンジ線と青線が通る立体がきり分けられるので、

12182

21個

2段目では

Bandicam_20171218_085355960

12183

15個

3段目では、

12184

9個

4段目では

Bandicam_20171218_085532960

3個

合計、21+15+9+3=48個

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2017年12月16日 (土)

できる四角形は?(桐朋中学 2016年)

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下の<図1>のように、点Oで垂直に交わる2つの直線に、

点Oから 1cmの間隔で1から6の目盛りをつけます。

図1

12161

 

4個のさいころA、B、C、D を投げて、出た目の数と同じ目盛りに点をとり、

これらの4つの点を頂点とする四角形をつくります。

たとえば、A、B、C、Dの目がそれぞれ 6、4、3、5のときにできる四角形は、

下の<図2>のようになります。

図2

12162

 

(1) Aの目が1、Cの目が3のときにできる四角形が

 台形となる場合の 面積は何㎠ですか。

 考えられるものをすべて答えなさい。

(2)4個のさいころの目は小さい順に1、3、4、6 でした。

  このときできる四角形のうち、面積が最も大きいものは何㎠ですか。

(3)Aの目が1、Bの目が2のときにできる四角形の面積が

  12㎠となるようなCの目の数とDの目の数の組み合わせを

  すべて答えなさい。

  たとえば、Cの目が1、Dの目が3のときは、(1、3)と書きなさい。

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(1)1つは下図のような台形

12163

面積は、0.5+1.5+4.5+1.5=8㎠

もう1つは下図のような台形

12164

面積は、1+3+9+3=16㎠

(2)下図のようになる場合で、

12165

面積は、1.5+9+12+2=24.5㎠

(3)下図のような3通りで、

12166

CとDは、(2、6)、(3、4)、(5、2)

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2017年12月12日 (火)

すき間部分の体積は?(中央大学附属中学 2017年)

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図のように、底面の半径が6cm、高さが24cmの円柱を、

1辺が24cmの正方形の板からはみ出ないように4つ並べ、

その真ん中に1つ積み上げ ました。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20171212_085642167

(1)5つの円柱と板で囲まれてできたすき間の部分の体積は

  何立方cmですか。

(2)5つの円柱を真上から見たとき、

  見える部分の面積は何㎠ですか。

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すき間の形は図のようになるので、

面積は1辺12cmの正方形から、

半径6cmの円を引いて求められます。

Bandicam_20171212_090410272

(1)

(12×12-6×6×3.14)×24=743.04立方cm

(2)

見える部分は、すき間部分がふさがった状態なので、

(12×12-6×6×3.14)+6×6×3.14×4=483.12㎠

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2017年12月11日 (月)

ABの長さは何cm?(鎌倉学園中学 2016年)

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図のように、四角形ABCD、BEFGはともに長方形で面積は等しく、

CE=4cm、EF=6cmです。

また、BFとCDの交点をHとすると、

三角形BHDの面積は18㎠です。

このとき、ABの長さは何cmですか?

12111

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12112

△DBCと△FBEは面積が等しいので、

緑部分が共通なので、

△BHDと四角形CEFHは面積が等しく、18㎠です。

(CH+6)×4÷2=18 なので、

CH=3cm

△BEFと△BCHは相似で、相似比は6:3=2:1 より

BC=4cm

長方形BEFGの面積=8×6=48㎠

AB=48÷4=12cm

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2017年12月 8日 (金)

穴が開いていない立方体はいくつ?(東海大学付属相模高等学校中等部 2017年)

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下の図のように立方体を積み重ねて大きな立方体を作りました。

黒い円は、上と正面と横からそれぞれ向かいの面まで

穴を通したものです。

このとき、穴が開いていない立方体はいくつありますか。

12081

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図のように上の段は1個

Bandicam_20171208_085645706

真ん中の段は2個

Bandicam_20171208_090049071

下の段は1個

Bandicam_20171208_090226709

合計4個

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2017年12月 7日 (木)

ABが動いた軌跡はどんな形?(お茶の水女子大学附属中学 2016年)

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図のように直線アイの上に直角三角形ABCがあります。

直角三角形ABCを頂点Cを中心にして、

時計の回る方向に辺ACがはじめて直線アイと重なるまで回転させました。

このとき辺ABが動いた部分を作図し、

その部分を ////(斜線)で表しなさい。

ただし、コンパスや定規などでかいた線は消さずに残しておきなさい。

1207

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12071

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2017年12月 4日 (月)

①~⑧の面に接する文字は?(大阪教育大学附属平野中学 2017年)

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図1のようなマス目の上を、スタートからゴールに向けて、

文字が書かれた立方体を マス目に合わせて順番に転がします。

図2は、スタートとゴールの位置に立方体がある様子を示しています。

このとき、立方体を転がし

①~⑧の面に接する文字はそれぞれ何ですか。

図1

12042
図2

12041

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それぞれの文字の対面を調べてみます。

イは②では右側、

③で上、④⑤で左、⑥で下、⑦⑧で右、

ゴールでは下になるので、対面はガ

ロは①で手前、②で下、③で右、④で上、⑤⑥⑦で前、

⑧で下、ゴールでは左になるので、対面はル

コは①で下、②③④で後ろ、⑤で上、⑥で左、⑦で下、

⑧で後ろ、ゴールでも後ろなので、対面はサ

イ-ガ、ロ-ル、コ-サ が対面どうしになります。

①はコが下、

②はロが下

③はイが上になるので、ガが下

⑧はルが上なので、ロが下

⑦はサが上なので、コが下、

④はロが上なので、ルが下

⑤はコがうえなので、サが下

⑥はガが上なので、イが下

①~⑧まで順番に、

コロガルサイコロ

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2017年12月 2日 (土)

正方形の中の正方形(武蔵中学 2017年)

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図1において、

2つの四角形ABCDと四角形EFGHはどちらも正方形で、

AE=6cm、AF=10cmです。


図1

12011

(1)図1に正方形PQRDをかき加えてできたのが図2です。

   SQは何cmですか。

図2

12012

(2) 図1に正方形EFGHと同じ大きさの正方形IJKLを

   かき加えてできたのが図3です。

   図のア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、クの8つの点を頂点とする

   八角形の面積は何㎠ですか。

図3

12014

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(1)

図のように、正方形ABCDの対角線BDは、

正方形PQRDの対角線QDと重なるので、

Qは対角線BD上の点でもあります。

12016

したがって、△赤は直角二等辺三角形になり、

BM=⑤ とすると、QM=⑤

△緑と△黄と△SPEは相似で、

AF:AE=10:6=5:3=QM:FM=SP:EP

⑤+③=⑧=6cm なので、

SQ=16cm-⑤×2=16-6×5/8×2=8.5cm

(2)

正方形IJKLを正方形EFGHと線対象な図形として考えると、

下の図のようになり、

12015

△黄と△緑が相似で、底辺:高さ=⑧:⑤

OX=⑤=6×5/8=3.75cm

OY=8-3.75=4.25cm

ZT=4.25×8/5=6.8cm

求める八角形の面積=6.8×4.25÷2×8=115.6㎠


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