中学受験ー算数解き方ポータル

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2017年12月27日 (水)

ＡＥとＥＣの長さの比は？（立教新座中学　２０１７年）

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三角形ＡＢＣの辺ＡＢ上に

ＡＤとＤＢの長さの比が３：１となるような点Ｄがあります。

辺ＡＣ上に点Ｅをとり、点Ｄと点Ｅを結んだ線上に

ＤＦとＦＥの長さの比が２：１となるように点Ｆをとります。

次の問いに答えなさい。

（１）点Ｅが辺ＡＣのまん中の点であるとき,

　　三角形ＦＢＣの面積は三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか。

（２）三角形ＦＢＣの面積が三角形ＡＢＣの面積の２９/６０倍であるとき、

　　ＡＥとＥＣの長さの比を求めなさい。

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（１）

（△緑＋△黄）は△ABCの、１/２×３/４＝３/８

△黄＝２/８

△緑＝△赤＝１/８

△茶＝２/８×１/３＝１/１２

色部分の合計＝

２/８＋１/８×２＋１/１２＝１２/２４＋２/２４＝１４/２４＝７/１２

△FBC＝１－７/１２＝５/１２　倍

（２）

△黄は△ADEの１/３

△緑は△EDCの１/３

△色部分は△ADCの１/３

△ADCは△ABCの３/４

△色部分は△ABCの３/４×１/３＝１/４

△FBCが△ABCの２９/６０なので、

△色部分は△ABCの１５/６０

△ABFは△ABCの、６０/６０－２９/６０－１５/６０＝１６/６０

したがって、△ABF：△色部分＝⑯：⑮

△ADF＝⑯×３/４＝⑫

△黄＝⑫×１/２＝⑥

△緑＝⑮－⑥＝⑨

AE：EC＝⑥：⑨＝２：３

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2017年12月25日 (月)

Bの銀メダルは？Aの金メダルは？（世田谷学園中学　２０１７年）

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２つの国Ａ、Ｂがオリンピックで獲得したメダルの数を調べました。

Ａが獲得した金メダルはＢより５個少なく、

銀メダルはＢの半分で、銅メダルはＢと同じ数でした。

獲得したメダルの合計は、Ａが１５個、Ｂが２２個でした。

Ａ、Ｂともに金、銀、銅のメダルを

少なくとも１個ずつ獲得したことがわかっているとき、　

次の問いに答えなさい。

（１）Ｂの銀メダルは何個ですか。

（２）Ｂは金メダルが銅メダルより少ないことがわかっています。

Ａの金メダルは多くて何個ですか。

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（１）銅メダル数が同じなので、

２２－１５＝７個の差は、金と銀メダル数の差になります。

金メダルの差は５個なので、

７－５＝２個の差は銀メダル数の差になります。

銀メダル数は、A＝１/２×Bなので、

B－１/２×B＝２　より、

１/２×B＝２

B＝４個

（２）Bの金＋銅は、２２－４＝１８個なので、

１８÷２＝９個で、金＜銅　より、

金メダル数の最大個数は８個

Aの金メダル数は、最多で８－５＝３個　です。

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2017年12月23日 (土)

出発してから何分後？（大阪星光学院中学　２０１７年）

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円形のコースがあり、Ｐ地点からＡ君が時計まわりに、

Ｑ地点からＢ君が反時計まわりに同時に出発し、

このコースをまわりつづけます。

Ｂ君の速さは毎分３６ｍで、出発後４分ではじめて２人は出会い、

それから３分後にＡ君はＱ地点を通過しました。

２人が２回目に出会ったあと、Ａ君は３８４ｍ進んでちようど１周しました。

（１）A君の速さは毎分何ｍですか？

（２）２人が２回目に出会うのは出発してから何分後ですか？

（３）コース1周の長さは何ｍですか？

（４）２人がＰ地点で２回目に出会うのは出発してから

　　何時間何分後ですか？

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..

（１）Qから①までは、３６×４＝１４４ｍです。

Aは１４４ｍを３分で進んだので、

その速さは、分速　１４４÷３＝４８ｍ

（２）Pから①までは、４８×４＝１９２ｍ

したがって、Qから②までは３８４＋１４４＋１９２＝７２０ｍ

B君の速さで、７２０÷３６＝２０分後です。

（３）AとBの速さの比は、４８：３６＝４：３.なので、

同じ時間に進むキョリも４：３になります。

Bが①から②に進んだ時間は２０－４＝１６分、

同じ１６分間にAは、４８×１６＝７６８ｍ進むので、

1周は、７６８＋１９２＋３８４＝１３４４ｍ

（４）AがPにもどってくる時間は、

１３４４÷４８＝２８分毎なので、

２８、５６、８４、１１２、１４０、１６８、１９６、・・・・

Bが最初にPに来る時間は、（１４４＋１９２）÷３６＝９と１/３分後

その後、１３４４÷３６＝３７と１/３分毎にPに来ます。

２回目にPに来るのは、９と１/３＋３７と１/３＝４６と２/３分後、

３回目は、４６と２/３＋３７と１/３＝８４分後

Aと最初にPで出会います。

３７と１/３は３回で整数になるので、

８４＋（３７と１/３）×３＝１９６分となり、

２回目のPでの出会いは、３時間１６分後です。

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2017年12月22日 (金)

色部分の面積合計は？（甲陽学院中学　２０１７年）

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図のように、１辺が１０ｃｍの正方形の中に、

交互に円と正方形があります。

色部分の面積の合計は何㎠ですか？

円周率は３．１４とします。

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真ん中の正方形の面積は、外側の正方形の１/２

一番内側の正方形の面積は、外側の正方形の１/４

色部分の面積比も、４：２：１　になるので、

（１０×１０－５×５×３．１４）×（４/４＋２/４＋１/４）

＝２１．５×７/４

＝３７．６２５㎠

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2017年12月21日 (木)

色部分の面積の合計は？（青稜中学　２０１７年）

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下の図は、半径６ｃｍの円を４つ重ねたものです。

４点A、B、C、Dが円の中心であるとき、

色部分の面積の合計を求めなさい。

ただし、円周率は３．１４とします。

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△ABEは正三角形になるので、

図のように等積移動すると、

半径６ｃｍ、中心角６０°の扇形が４つできます。

したがって、求める面積は、

６×６×３．１４×６０/３６０×４

＝７５．３６㎠

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2017年12月20日 (水)

直方体の切断（渋谷教育学園渋谷中学　２０１７年）

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下の図のように、ＡＢとＢＣの長さが６ｃｍ、

ＡＥの長さが２４ｃｍの直方体ＡＢＣＤーＥＦＧＨがあります。

辺ＢＣ、ＣＤのまん中の点をそれぞれＭ、Ｎとします。

（１）３点Ｍ、Ｎ、Ｈを通る平面でこの直方体を切った場合、

　　切り口はどのような図形になりますか。

（２）３点Ｍ、Ｎ、Ｅを通る平面でこの直方体を切った場合、

　　この３点Ｍ、Ｎ、Ｅを通る平面と辺ＢＦとが交わった点から

　　Ｆまでの長さは何ｃｍですか。

（３）３点Ｍ、Ｎ、Ｅを通る平面でこの直方体を切ったとき、

　　頂点Ａをふくむ方の立体の体積は何立方ｃｍですか。

　　ただし、すい体の体積は、「(底面積) × (高さ) ÷３」で

　　求めることができます。

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（１）

M、N、H.、を通る平面はFも通るので、

図のように等脚台形になります、

（２）

Fの方から見ると、M、N、Eを通る平面は

辺BFをPで切断するので、

△黄と△緑は相似になり、相似比は１：２になります。

したがって、PF＝２４×２/３＝１６ｃｍ

（３）

図のように、Aを含む立体は

三角すいE－PQRと

直方体ABCD－RPSQから、三角すい台CMN－SQPを引いた立体を

たしたものになります。

６×６÷２×１６÷３＋

６×６×８－（６×６÷２×１６÷３－３×３÷２×８÷３）

＝９６＋２８８－（９６－１２）

＝３００立方ｃｍ

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2017年12月18日 (月)

立方体は何個？（２０１８年度入試　海陽中等教育学校（特別給費））

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１辺が１ｃｍの透明な立方体を図のように縦８個、横６個、

高さ４個となるように規則正しく直方体となるように積み上げました。

12181

（１）２つの頂点ＡとＢを通るようにレーザー光線で直線を引いたとき、

　　直線が内部を通る立方体は何個ありますか。

　　ただし、頂点や辺のみを通る場合は内部を通らないものとします。

（２）３つの頂点A、C、Dを通る平面で切ったとき、

　　２つの立体に分けられる立方体は何個ありますか。

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（１）図のように緑のレーザー光線は、

１段目ではAから数えて２個目で下の段に入っていきます。

その間、３個の立方体を貫いています。

２段目では、Aから２～４個目までを通過しています。

その間、やはり３個の立方体を貫いています。

レーザー光線は直方体の中心を通過するので、

３段目、４段目も同様に３個ずつの立方体を貫きます。

したがって、内部をレーザー光線が通る立方体は、

３×４＝１２個です。

（２）

図のように１段目では、

オレンジ線と青線が通る立体がきり分けられるので、

２１個

２段目では

１５個

３段目では、

９個

４段目では

３個

合計、２１＋１５＋９＋３＝４８個

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2017年12月16日 (土)

できる四角形は？（桐朋中学　２０１６年）

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下の<図１>のように、点Oで垂直に交わる２つの直線に、

点Oから１ｃｍの間隔で１から６の目盛りをつけます。

図１

４個のさいころA、B、C、D を投げて、出た目の数と同じ目盛りに点をとり、

これらの４つの点を頂点とする四角形をつくります。

たとえば、A、B、C、Dの目がそれぞれ６、４、３、５のときにできる四角形は、

下の<図２>のようになります。

図２

（１） Aの目が１、Cの目が３のときにできる四角形が

台形となる場合の面積は何㎠ですか。

考えられるものをすべて答えなさい。

（２）４個のさいころの目は小さい順に１、３、４、６でした。

　　このときできる四角形のうち、面積が最も大きいものは何㎠ですか。

（３）Aの目が１、Bの目が２のときにできる四角形の面積が

　　１２㎠となるようなCの目の数とDの目の数の組み合わせを

　　すべて答えなさい。

　　たとえば、Cの目が１、Dの目が３のときは、（１、３）と書きなさい。

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（１）1つは下図のような台形

面積は、０．５＋１．５＋４．５＋１．５＝８㎠

もう1つは下図のような台形

面積は、1＋３＋９＋３＝１６㎠

（２）下図のようになる場合で、

面積は、１．５＋９＋１２＋２＝２４．５㎠

（３）下図のような３通りで、

CとDは、（２、６）、（３、４）、（５、２）

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2017年12月12日 (火)

すき間部分の体積は？（中央大学附属中学　２０１７年）

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図のように、底面の半径が６ｃｍ、高さが２４ｃｍの円柱を、

１辺が２４ｃｍの正方形の板からはみ出ないように４つ並べ、

その真ん中に１つ積み上げました。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３．１４とします。

Bandicam_20171212_085642167

（１）５つの円柱と板で囲まれてできたすき間の部分の体積は

　　何立方ｃｍですか。

（２）５つの円柱を真上から見たとき、

　　見える部分の面積は何㎠ですか。

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すき間の形は図のようになるので、

面積は1辺１２ｃｍの正方形から、

半径６ｃｍの円を引いて求められます。

（１）

（１２×１２－６×６×３．１４）×２４＝７４３．０４立方ｃｍ

（２）

見える部分は、すき間部分がふさがった状態なので、

（１２×１２－６×６×３．１４）＋６×６×３．１４×４＝４８３．１２㎠

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2017年12月11日 (月)

ＡＢの長さは何ｃｍ？（鎌倉学園中学　２０１６年）

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図のように、四角形ＡＢＣＤ、ＢＥＦＧはともに長方形で面積は等しく、

ＣＥ＝４ｃｍ、EＦ＝６ｃｍです。

また、ＢＦとＣＤの交点をＨとすると、

三角形ＢＨＤの面積は１８㎠です。

このとき、ＡＢの長さは何ｃｍですか？

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△DBCと△FBEは面積が等しいので、

緑部分が共通なので、

△BHDと四角形CEFHは面積が等しく、１８㎠です。

（CH＋６）×４÷２＝１８　なので、

CH＝３ｃｍ

△BEFと△BCHは相似で、相似比は６：３＝２：１　より

BC＝４ｃｍ

長方形BEFGの面積＝８×６＝４８㎠

AB＝４８÷４＝１２ｃｍ

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2017年12月 8日 (金)

穴が開いていない立方体はいくつ？（東海大学付属相模高等学校中等部　２０１７年）

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下の図のように立方体を積み重ねて大きな立方体を作りました。

黒い円は、上と正面と横からそれぞれ向かいの面まで

穴を通したものです。

このとき、穴が開いていない立方体はいくつありますか。

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図のように上の段は1個

真ん中の段は2個

下の段は1個

合計4個

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