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2017年12月 2日 (土)

正方形の中の正方形(武蔵中学 2017年)

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図1において、

2つの四角形ABCDと四角形EFGHはどちらも正方形で、

AE=6cm、AF=10cmです。


図1

12011

(1)図1に正方形PQRDをかき加えてできたのが図2です。

   SQは何cmですか。

図2

12012

(2) 図1に正方形EFGHと同じ大きさの正方形IJKLを

   かき加えてできたのが図3です。

   図のア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、クの8つの点を頂点とする

   八角形の面積は何㎠ですか。

図3

12014

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(1)

図のように、正方形ABCDの対角線BDは、

正方形PQRDの対角線QDと重なるので、

Qは対角線BD上の点でもあります。

12016

したがって、△赤は直角二等辺三角形になり、

BM=⑤ とすると、QM=⑤

△緑と△黄と△SPEは相似で、

AF:AE=10:6=5:3=QM:FM=SP:EP

⑤+③=⑧=6cm なので、

SQ=16cm-⑤×2=16-6×5/8×2=8.5cm

(2)

正方形IJKLを正方形EFGHと線対象な図形として考えると、

下の図のようになり、

12015

△黄と△緑が相似で、底辺:高さ=⑧:⑤

OX=⑤=6×5/8=3.75cm

OY=8-3.75=4.25cm

ZT=4.25×8/5=6.8cm

求める八角形の面積=6.8×4.25÷2×8=115.6㎠


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