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2017年11月 2日 (木)

残された空間図形は?(駒場東邦中学 2017年)

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1辺の長さが4cmの立方体について、次のような[作業]を行います。

[作業]

①立方体の各辺を4等分します。

②1つの頂点に注目したとき、

 その頂点を端の点とする3つの辺上にある 分点(分ける点)のうち、

 頂点から最も離れている3つの分点を通る平面で切り取ります。

例えば、下の図は頂点Aに対し、

3点P Q Rを通る平面で切り取った図 です。

110211

110212_2

この「作業]を立方体の8個あるすべての頂点に対し、

同時に行った後に残る立体「あ」について考えます。

(1)立方体の面ABCD上にできる立体「あ」の面を

 解答用紙の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。

110213

(2)三角形PQR上にできる立体「あ」の面を面「い」とします。

 ①面「い」の形の名前を答えなさい。

 ②(三角形PQRの面積):(面「い」の面積)を

   最も簡単な整数の比で求めな さい。

(3)立体「あ」の体積を求めなさい。

 ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷3で求めることができます。

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(1)8個あるすべての頂点に作業を行ったのが下の図です。

Bandicam_20171102_090029483

Bandicam_20171102_094735612

ABCD上にできる「あ」の面は図のように正方形で、

対角線の長さが2cmなので、

面積は、2×2÷2=2㎠

(2)

①面「い」の形は図のように正六角形

Bandicam_20171102_090647776

②小さな正三角形の数を比べると、

△PQR:面「い」=9:6=3:2

(3)

下の図のように、8つの三角すいを取り除くと、

各辺で緑部分の三角すい2つ分を2回取り除くことになります。

Bandicam_20171102_094233191_2

重なった三角すい2つ分の体積は、

(1×1÷2×1÷3)×2=1/3立方cm

12の辺の合計は、1/3×12=4立方cm

したがって、求める「あ」の体積は、

4×4×4-3×3÷2×3÷3×8+4=32立方cm

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