残された空間図形は？（駒場東邦中学 ２０１７年）

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１辺の長さが４ｃｍの立方体について、次のような[作業]を行います。

[作業]

①立方体の各辺を４等分します。

②１つの頂点に注目したとき、

　その頂点を端の点とする３つの辺上にある 分点(分ける点)のうち、

　頂点から最も離れている３つの分点を通る平面で切り取ります。

例えば、下の図は頂点Ａに対し、

３点Ｐ　Ｑ　Ｒを通る平面で切り取った図 です。

この「作業]を立方体の８個あるすべての頂点に対し、

同時に行った後に残る立体「あ」について考えます。

（１）立方体の面ＡＢＣＤ上にできる立体「あ」の面を

　解答用紙の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。



（２）三角形ＰＱＲ上にできる立体「あ」の面を面「い」とします。

　①面「い」の形の名前を答えなさい。

　②(三角形ＰＱＲの面積)：(面「い」の面積)を

　　　最も簡単な整数の比で求めな さい。

（３）立体「あ」の体積を求めなさい。

　ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷３で求めることができます。

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（１）８個あるすべての頂点に作業を行ったのが下の図です。

ABCD上にできる「あ」の面は図のように正方形で、

対角線の長さが２ｃｍなので、

面積は、２×２÷２＝２㎠

（２）

①面「い」の形は図のように正六角形

②小さな正三角形の数を比べると、

△PQR：面「い」＝９：６＝３：２

（３）

下の図のように、８つの三角すいを取り除くと、

各辺で緑部分の三角すい２つ分を２回取り除くことになります。

重なった三角すい２つ分の体積は、

（１×１÷２×１÷３）×２＝１/３立方ｃｍ

１２の辺の合計は、１/３×１２＝４立方ｃｍ

したがって、求める「あ」の体積は、

４×４×４－３×３÷２×３÷３×８＋４＝３２立方ｃｍ

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