中学受験ー算数解き方ポータル

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2017年11月24日 (金)

XHの長さと場合の数は？（聖光学院中学　2017年）

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図１のような１辺の長さが１ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあり、

辺ＡＤを３等分する点をＰ、Qとし、

辺ＢＣを３等分する点をＲ、Ｓとします。

４点Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｄと４点Ｂ、Ｒ、Ｓ、Ｃからそれぞれ２点ずつ選び、

それら４点を頂点とする四角形を考え、

その２本の対角線の交点をXとします。

さらに、角ＸＨＢが直角となるようにＢＣ上に点Ｈをとります。

このとき、次の問いに答えなさい。

11247

（１）４点Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｄと４点Ｂ、Ｒ、Ｓ、Ｃから

　　それぞれ２点ずつ選んでできる四角形は全部で何個ありますか。

（２）図２のような四角形ＢＣＤＱについて考えるとき、

　　ＸＨの長さは何ｃｍですか。

（３）４点Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｄと４点Ｂ、Ｒ、Ｓ、Ｃから

　　それぞれ２点ずつ選んでできる四角形の対角線の交点Xとして

　　考えられるものすべてを考えます。

　　ただし、対角線の交点が複数重なる場合、

　　それらは同じ点として考えるものとします。

　　①ＸＨ＝２/３ｃｍであるような X として考えられる点は

　　　全部で何個ありますか。

　　②XH＝１/２ｃｍであるような X として考えられる点は

　　　全部で何個ありますか。

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（１）APQDの4点から2点選ぶ場合の数は、６通り、

同様に、BRSC4点から2点選ぶ場合の数も、６通りなので、

四角形は、６×６＝３６個できます。

（２）

△黄と△緑は相似で、相似比は１：３なので、

XH＝１×３/（１＋３）＝３/４ｃｍ

（３）

①下辺：上辺＝２：１の四角形を考えるので、

図のように６個です。

②下辺：上辺＝１：１の四角形を考えるので、

図のように、５個です。

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2017年11月23日 (木)

見えているサイコロの目は？（山梨学院中学　２０１７年）

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展開図が(図１)のようなさいころを

(図２)のように机の上に向きを変えずに積み上げて

立体をつくっていきます。

たとえば、２段は４個のさいころを使っています。

このとき、次の各問いに答えなさい。

図１

図２

（１）４段の立体で使うさいころの個数は何個ですか。

（２）３６個のさいころで何段の立体ができますか。

（３）４段の立体を真上から見たとき、

　　見えているすべてのさいころの目を足すといくつになりますか。

（４）５段の立体を周りから見たとき、２の目は何個見えていますか。

（５）５段の立体を周りから見たとき、

　　見えているすべてのさいころの目を足すといくつになりますか。

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（１）１段目→１個

２段目→３個

３段目→５個

４段目→７個

１＋３＋５＋７＝１６個

（２）１段は→１×１＝１個

２段は→２×２＝４個

３段は→３×３＝９個

４段は→４×４＝１６個

３６＝６×６なので、６段

（３）１の目が７つ見えているので、７

（４）５の裏側の２の目は

５段では、１＋２＋３＋４＋５＝１５個見えています。

（５）１の目→９個×１＝９

２の目→１５個×２＝３０

３の目→１５個×３＝４５

４の目→１５個×４＝６０

５の目→１５個×５＝７５

９＋３０＋４５＋６０＋７５＝２１９

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2017年11月22日 (水)

タイルの並べ方の規則性（桜蔭中学　2007年）

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Ａ、Ｂ２種類のタイルがあります。このタイルを図のように並べます。

Pic_0331

（１）５周まで並べたとき、タイルＡ，タイルＢはそれぞれ何枚あるか求めなさい。

「順番に考えてみようね」

「Aは１→２周が１枚、３→４周が９枚、これって５周は１辺が５枚になるから２５枚じゃないかな？」

「そう、奇数周目のところで周数×周数の数になって次の偶数では変わらない」

「逆にBは偶数周目で周数×周数になって、奇数周では変わらない」

５周目には、タイルＡの数＝５×５＝２５枚

　　　　　　　　タイルＢの数＝４×４＝１６枚

（２）Ａ，Ｂがそれぞれ９０枚ずつあります。

　できるだけ多くのタイルを使って図のように並べると、

　何周まで並べることができますか。

　また、そのとき余るタイルはそれぞれ何枚ですか。

「９０枚以内で○×○になる最大の数をみつければいいね」

「Aは○が奇数だから、９×９、Bは偶数だから８×８だ」

「それぞれ９０から引いて余りは・・・」

タイルＡ→　９０－８１＝９枚

タイルＢ→　９０－６４＝２６枚

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（３）２５周までタイルＡ，Ｂを並べました。

　このとき、下図のように４枚のタイルに囲まれている部分に

　タイルＣを入れていきます。必要なタイルＣは何枚ですか。

Pic_0332

「また新しい規則性だ」

「どんな規則性？」

Kisoku014

「４、８、１２、１６・・・・・

４枚ずつ多くなっていくな」

「２５周目では何枚？」

「３周目→４×１枚、４周目→４×２枚、５周目→４×３枚・・・だから、

２５周目は４×（２５－２）＝９２枚」

「４＋８＋１２＋・・・＋９２は？」

「ガウス算だ」

（４＋９２）×２３÷２＝１１０４枚

（４）タイルＡとタイルＢが同じ枚数あります。

　できるだけ多くのタイルを使って並べていったところ、

　タイルＡの余りが４５枚、タイルＢの余りが１４枚でした。

　最初にあったタイルＡは何枚ですか。

「図にしてみたら？」

Pic_0333_2

「BとAの差は３１枚？」

「Bは偶数の○×○、Aは奇数の□×□」

「○×○－□×□が３１で○－□が１の○と□を見つけるんだ」

１６×１６－１５×１５＝２５６－２２５＝３１

「１６周目まで並べたわけだね」

２２５＋４５＝２７０

「パズルみたいな問題だな」

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2017年11月21日 (火)

太線の長さ比は？（吉祥女子中学　２０１７年）

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Bandicam_20171121_095233079_2

図1のように、1辺が2cmの正方形の頂点と辺の上に、

点Aから1cm 間かくで8個の点を打ちます。

この8個の点を中心として、

図2のように同じ大きさの8個の円をかきます。

このときかいた円と同じ大きさの円を「あ」とします。

さらに、図2のふちを太線でなぞると、

図3のような図形ができます。

後の問いに答えなさい。

(1) 同じようにして、1辺が3cmの正方形について、

円「あ」を12個かくと図4のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図4の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(2) 同じようにして、1辺が4cmの正方形について、

円「あ」を16個かくと図5 のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図5の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(3) 図6の図形の頂点と辺の上に、

点Bから1cm間かくで点を打ちます。

これらすべての点を中心として、

円「あ」をかいていってできる図形をXとします。

図7は、円「あ」を 4個だけかいたときの図です。

①図形Xには、何個の円「あ」がかいてありますか。

②図形Xのふちを太線でなぞりました。

図3の太線の長さの和と図形Xの太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

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（１）図３の図形は半円４個、

１/４円８個なので、

半円８個分の長さです。

図４は半円４個、１/４円１６個

合計、半円１２個分なので、

図３：図４＝８：１２＝２：３

（２）図５は半円１６個分なので、

図３：図５＝１：２

（３）

①図のように「あ」は１６個です。

②この図形は半円６個、１/４円２０個

合計、半円１６個分なので、

図３：X＝８：１６＝１：２

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2017年11月20日 (月)

１２０度になる時刻は？（麻布中学　２０１７年）

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（１）

１時から２時までの１時間で、

時計の長針と短針の作る角の大きさが１２０度になる時刻を

２つ答えてください。

（２）

今、時計が１時ちょうどを示しています。

この後、長針と短針の作る角の大きさが１２０°となるのが

８回目の時刻は何時何分何秒ですか？

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（１）

最初３０°離れたキョリを長針が追いつき、

さらに１２０°差をつけるわけですから、

長針は短針に１５０°の差をつけることになります。

次は、逆側の２４０°を１２０°に縮めるまで進むので、

合計、１５０＋１２０＝２７０°差をつけることになります。

長針の速さは、１分間に６°

短針の速さは、１分間に０．５°

その差は、６－０．５＝５．５°です。

したがって、１回目は、

１５０÷５．５＝２７と３/１１分

１時２７分１６と４/１１秒

２回目は、

２７０÷５．５＝４９と１/１１分

１時４９分５と５/１１秒

（２）

１時～２時→２回

２時～３時→２回

３時～４時→２回

６回目が４時ちょうどになり、

５時までに７回目があるので、

８回目は５時過ぎの時刻です。

５時は短針と長針のつくる角度が１５０°なので、

１２０°に縮まる時刻は長針が３０°追いつく時刻です。

３０÷５．５＝５と５/１１分

５時５分２７と３/１１秒です。

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2017年11月18日 (土)

四角すいを重ねると・・・（日本大学藤沢中学　２０１６年）

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図のように２つの四角すいがあります。

(立体ア)は底面が正方形で、側面が合同な二等辺三角形でできています。

正方形の１辺の長さは１０ｃｍ、二等辺三角形の高さは１３ｃｍ、

立体の高さは１２ｃｍです。

(立体イ)は、(立体ア)の辺の長さや高さをそれぞれ２倍にした立体です。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１） (立体ア)と(立体イ)の体積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

（２） (立体ア)と(立体イ)を組み合わせて、図のような立体を作りました。

　　面ＡＢＣＤと面ＥＦＧHは平行で、

　　(立体イ)の頂点Ｏ'は面ＡＢＣＤの対角線の交点に重なります。

　　この立体の体積は何立方ｃｍですか。

（３）　（２）でできた立体を面ＣＤJＫをふくむ平面で切ったときにできる

　　面の面積は何㎠ですか。

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（１）長さが２倍になると、

体積は２×２×２＝８倍になるので、

体積比は、ア：イ＝１：８

（２）四角すい、O'－IJKLは高さがアの１/２の四角すいです。

この四角すいの体積を、アとイからそれぞれ引けば、

求める体積になります。

O'－IJKL＝５×５×６÷３＝５０立方ｃｍ

ア＝１０×１０×１２÷３＝４００立方ｃｍ

イ＝２０×２０×２４÷３＝３２００立方ｃｍ

求める体積＝３２００＋４００－５０×２＝３５００立方ｃｍ

（３）切り口は図のように、等脚台形が２つ重なった形になります。

上の台形の高さは、１３×１/２＝６．５ｃｍ

下の台形の高さは、２６×（２４－６）/２４＝１９．５ｃｍ

求める面積＝（１０＋５）×６．５÷２＋（２０＋５）×１９．５÷２

＝４８．７５＋２４３．７５

＝２９２．５㎠

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2017年11月16日 (木)

２０％の食塩水を何ｇ入れましたか？（洗足学園中学　２０１７年）

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ビーカーＡに１６％の食塩水４００ｇが入っています。

Ａから食塩水１００ｇを取り出し、Ａに水を１００ｇ入れてよくかき混ぜ、

次にＡから食塩水２００ｇを取り出し、

Ａに水を２００ｇ入れてよくかき混ぜました。

最後にＡから食塩水を何ｇか取り出し、

取り出した量と同じ量の２０％の食塩水をＡに入れて

よくかき混ぜたところ１３％の食塩水になりました。

２０％の食塩水を何ｇ入れましたか。

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天びん図で表すと、最初の場合は、

残った濃度１６％の食塩水３００ｇと、水１００ｇを混ぜたことになり、

水の濃度を０％と考えると、

水：１６％の食塩水＝１００ｇ：３００ｇ＝１：３　なので、

天びんの長さは逆比の、３：１になるので、

食塩水の濃度は、１２％になります。

次は、残った１２％の食塩水２００ｇと

水２００ｇを混ぜるので、

図のように重さの比は、１：１なので、

天びんの長さも１：１になり、

できた食塩水は６％です。

最後にできた食塩水は１３％なので、

６％と２０％の真ん中になり、

天びんの長さは、１：１　なので、

食塩水の重さも同じになり、

残った量と加えた量が同じになるのは、

取り出した量が２００ｇの場合なので、

２０％の食塩水は２００ｇです。

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2017年11月15日 (水)

基本的な旅人算です！（函嶺白百合学園中学　２０１７年）

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１周１２００ｍの道があります。

この道を、ＡさんとＢさんは同じ方向にCさんは反対の方向に

３人とも同時に同じ場所から出発します。

ＣさんはＡさんの２倍の速さで進み、

ＡさんとＣさんは、出発してから８分後にはじめて出会いました。

また、ＡさんとＢさんの速さの比は１：３です。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）ＡさんとＣさんがはじめて出会ったときまでにＣさんは何ｍ進みましたか。

（２）Ａさんは１周するのに何分かかりますか。

（３）ＢさんとＣさんがはじめて出会うのは出発してから何分何秒後ですか。

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（１）Aの速さを分速Aｍとすると、

Cの速さは分速（２×A）ｍ

１分間で、A＋２×A＝３×Aｍ近づき、

８分間で２人は１２００ｍ進んだので、

８×３×A＝１２００ｍ

A＝分速５０ｍ

C＝分速１００ｍ

８分間でCは、８×１００＝８００ｍ進みました。

（２）Aは１周するのに、

１２００÷５０＝２４分　かかります。

（３）Bの分速は、５０×３＝１５０ｍ

BとCが出会うまで、

１２００÷（１５０＋１００）＝４．８分なので、

４分と４８秒です。

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2017年11月14日 (火)

黄色と緑色の面積比は？（京都教育大学附属桃山中学　２０１７年）

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下の図は、ある円の直径AB上に点C、Dをとって、

AC、AD、CB、DBを直径とする半円をかいたものです。

ＡＢ＝１０ｃｍ、ＡＣ＝５ｃｍ、ＡＤ＝７ｃｍのとき、

黄色と緑色にわけられた２つの部分の面積の比を求めなさい。

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面積の比は、半径×半径の比になり、

半径×半径の比は直径×直径の比に等しくなります。

黄色部分は直径AB＝１０ｃｍの半円になり、

面積の比を、１０×１０＝１００とすると、

緑部分は、

（７×７－５×５）＋（５×５－３×３）＝４０

黄：緑＝１００：４０＝５：２

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2017年11月12日 (日)

数並びの規則性は？（暁星中学　２０１７年）

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2, 0, 1, 7, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 7, 7, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 7, 7, 7, . . . . . .

このように、２、０、１、７の数がそれぞれ１つずつ増えながら、

並んでいる数の列があります。

このとき、３番目の数は１で、７番目の数は０です。

次の問いに答えなさい。

（１）３０番目の数は何ですか。

（２）１番目の数から６番目までの数を全部足すと、１４になります。

では、１番目から何番目の数を全部足すと、５５０になりますか。

（３）２０１７番目の数は何ですか。

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（１）

１番目のブロック（２０１７）は４個×１＝４個

２番目のブロック（２２００１１７７）は４個×２＝８個

３番目のブロック（２２２０００１１１７７７）は４個×３＝１２個

・・・・・・

ここまでで、４＋８＋１２＝２４個なので、

３０番目は４番目のブロックの６番目で、

（２２２２００００１１１１７７７７）

０です。

（２）

１番目のブロック（２０１７）を全部足すと、

２＋０＋１＋７＝１０

２番目のブロックは、１０×２＝２０

３番目のブロックは、１０×３＝３０

・・・・・

１０×（１＋２＋３＋・・・・・＋N）＝５５０　

となるNは１０なので、

１０ブロックの最後の数７は初めから数えて、

４＋８＋・・・・＋４０＝４４×１０÷２＝２２０番目です。

（３）

４×（１＋２＋３＋・・・・・＋N）　が２０１７に近くなるNを考えます。

２０１７÷４＝５０４．・・・・　なので、

１＋２＋３＋・・・・N　が５０４近くになるのは、

３２×３１÷２＝４９６　で、

N＝３１　とすると、

３１ブロックまでで、

４×４９６＝１９８４個、数が並びます。

３２ブロック目は、２が３２個並んだ後０が３２個並ぶので、

２２・・・・・←（３２個）→・・・・・２２０００００・・・・・

２０１７－１９８４＝３３個なので、

０です。

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2017年11月10日 (金)

底面積と水面の高さは？（フェリス女学院中学　２０１７年）

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図１のように、体積が１立方ｃｍの立方体を

すきまなく５５個積み重ねてできる立体があります。

また、１辺の長さが５ｃｍより長い立方体の水そうに

水面の高さが２．５ｃｍまで水が入っています。

この水そうに、この立体をゆっくり入れます。

（１）この立体の、面積が２５㎠の面が水そうの底に重なるように入れると、

水そうの底からの水面の高さが３．５ｃｍになりました。

水そうの底の面積は何㎠ですか。

（２）この立体を図２のようにたおし、

面積が１５㎠の面が水そうの底に重なるように入れると、

水そうの底からの水面の高さは何ｃｍになりますか。

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（１）

立体の底面積は下から順に

２５㎠、１６㎠、９㎠、４㎠、１㎠　です。

立体を入れたところ、水面が１ｃｍ上がったので、

黄＋緑＝緑＋赤＝２５＋１６＋９＋４×１/２＝５２立方ｃｍより、

水そうの底面積＝５２÷１＝５２㎠

（２）

水の量は、５２×２．５＝１３０立方ｃｍ

１段目までの水の量＝３７×１＝３７立方ｃｍ

２段目までは、３７＋３８＝７５立方ｃｍ

３段目までは、７５＋４０＝１１５立方ｃｍ

残の水の量は、１３０－１１５＝１５立方ｃｍ　なので、

あと、１５÷４３＝１５/４３ｃｍ高くなり、

水面の高さは、３と１５/４３ｃｍ

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2017年11月 6日 (月)

円の半径は？（浅野中学　２０１７年）

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下の図のように、

３辺の長さがＡＢ＝４０ｃｍ、ＡＣ＝４０ｃｍ、ＢＣ＝４８ｃｍの

二等辺三角形ＡＢＣと円緑色、円黄色があります。

三角形ＡＢＣと円緑色と円黄色はそれぞれ接しています。

円緑色と円黄色の中心をそれぞれＧ、Ｈとするとき、

中心Ｇ、Ｈと点Ｉは直線AD上にあります。

∠ＡＤＢ＝９０°、∠ＡＥＧ＝９０°、∠ＡＦＨ＝９０°のとき、

次の問いに答えなさい。

ただし、３辺の長さが３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの三角形は、

直角三角形になります。

11061

（１）長さの比ＡＧ：ＧＥをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（２）円緑色の半径は何ｃｍですか。

（３）円黄色の半径は何ｃｍですか。

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（１）直角三角形ABDのAB：BD＝４０：（４８÷２）＝４０：２４＝５：３

△AGEは△ABDと相似なので、

AG：GE＝５：３

（２）AD＝４０×４/５＝３２ｃｍ

AG：GE＝AG：GD　なので、

GE＝GD＝３２×３/（５＋３）＝１２ｃｍ

（３）

黄＋緑の図形は黄の図形と相似なので、

AD：AI＝３２：（３２－１２×２）＝４：１

EG：FH＝４：１

FH＝１２×１/４＝３ｃｍ

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2017年11月 4日 (土)

表面積は？（海星中学校　２０１７年）

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図のような１辺の長さが１ｃｍの立方体を順に積み上げていきます。

（１）２番目の立体の表面積は何㎠ですか？

　　ただし、表面積は立方体どうしが重なった面以外とします。

（２）１０番目の立体の表面積は何㎠ですか？

　　ただし、表面積は立方体どうしが重なった面以外とします。

（３）１番目の立体から表面積を合計していくとき、

　　初めて１５０㎠をこえるのは何番目の立体までの合計ですか？

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（１）上下左右は、１×１×２×４＝８

前後は、１×１×（１＋２）×２＝６

８＋６＝１４㎠

（２）１０×４＋（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０）×２

＝４０＋５５×２＝１５０㎠

（３）

１番目→６㎠

２番目→１４㎠、合計６＋１４＝２０㎠

以後、その差が２㎠ずつ増えていくので、

３番目→１４＋（８＋２）＝２４㎠、合計４４㎠

４番目→２４＋（１０＋２）＝３６㎠、合計８０㎠

５番目→３６＋（１２＋２）＝５０㎠、合計１３０㎠

６番目→５０＋（１４＋２）＝６６㎠、合計１９６㎠

したがって、６番目です。

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2017年11月 2日 (木)

残された空間図形は？（駒場東邦中学　２０１７年）

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１辺の長さが４ｃｍの立方体について、次のような[作業]を行います。

[作業]

①立方体の各辺を４等分します。

②１つの頂点に注目したとき、

　その頂点を端の点とする３つの辺上にある分点(分ける点)のうち、

　頂点から最も離れている３つの分点を通る平面で切り取ります。

例えば、下の図は頂点Ａに対し、

３点Ｐ　Ｑ　Ｒを通る平面で切り取った図です。

この「作業]を立方体の８個あるすべての頂点に対し、

同時に行った後に残る立体「あ」について考えます。

（１）立方体の面ＡＢＣＤ上にできる立体「あ」の面を

　解答用紙の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。

（２）三角形ＰＱＲ上にできる立体「あ」の面を面「い」とします。

　①面「い」の形の名前を答えなさい。

　②(三角形ＰＱＲの面積)：(面「い」の面積)を

　　　最も簡単な整数の比で求めなさい。

（３）立体「あ」の体積を求めなさい。

　ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷３で求めることができます。

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（１）８個あるすべての頂点に作業を行ったのが下の図です。

ABCD上にできる「あ」の面は図のように正方形で、

対角線の長さが２ｃｍなので、

面積は、２×２÷２＝２㎠

（２）

①面「い」の形は図のように正六角形

②小さな正三角形の数を比べると、

△PQR：面「い」＝９：６＝３：２

（３）

下の図のように、８つの三角すいを取り除くと、

各辺で緑部分の三角すい２つ分を２回取り除くことになります。

重なった三角すい２つ分の体積は、

（１×１÷２×１÷３）×２＝１/３立方ｃｍ

１２の辺の合計は、１/３×１２＝４立方ｃｍ

したがって、求める「あ」の体積は、

４×４×４－３×３÷２×３÷３×８＋４＝３２立方ｃｍ

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