目次

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2017年11月

2017年11月26日 (日)

この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)

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下の図のような底面が正六角形で、

側面がすべて合同な長方形でできた立体があり、

底面積は324㎠、高さは12cmです。

この立体の6つの点A、B、C、D、E、Fを結んでできる立体Pを考えます。

このとき、次の各問いに答えなさい。


ただし、三角すいの体積は (底面積) ×(高さ) ÷3で求めることができます。

11261



(1)立体Pの体積は何立方cmですか。

(2)底面DEFから高さが4cmのところで底面と平行な面で立体Pを切った とき、

  底面DEFを含む立体の体積は何立方cmですか。

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11262

(1)全体から、△黄を底面とし、高さ12cmの三角すいを6つ引くと

立体Pの体積が求められます。

△黄は正六角形の1/6なので、

324÷6=54㎠

したがって、

P=324×12-54×12÷3×6=2592立方cm

(2)△赤は△黄と相似で、

各辺の長さは1/3なので、

1:1/3=3:1→面積比は3×3:1×1=9:1

54×1/9=6㎠

△青は△黄と相似で、

各辺の長さは2/3なので、

1:2/3=3:2→面積比は3×3:2×2=9:4

54×4/9=24㎠

求める立体の体積は、高さ4cmの正六角柱から、

高さ4cm、底面積6㎠の三角すい3つと、

高さ12cm、底面積54㎠の三角すいから

高さ8cm、底面積24㎠の三角すいを引いた円すい台3つを引きます。

324×4-6×4÷3×3+(216-24×8÷3)×3

=1296-(24+456)

=816立方cm

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2017年11月24日 (金)

XHの長さと場合の数は?(聖光学院中学 2017年)

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図1のような1辺の長さが1cmの正方形ABCDがあり、

辺ADを3等分する点をP、Qとし、

辺BCを3等分する点をR、Sとします。

4点A、P、Q、Dと4点B、R、S、Cからそれぞれ2点ずつ選び、

それら4点を頂点とする四角形を考え、

その2本の対角線の交点をXとします。

さらに、角XHBが直角 となるようにBC上に点Hをとります。

このとき、次の問いに答えなさい。

11247

(1)4点A、P、Q、Dと4点 B、R、S、Cから

  それぞれ2点ずつ選んでできる四角形は全部で何個ありますか。

(2)図2のような四角形 BCDQ について考えるとき、

  XHの長さは何cmですか。

(3)4点A、P、Q、Dと4点 B、R、S、Cから

  それぞれ2点ずつ選んでできる四角形の対角線の交点Xとして

  考えられるものすべてを考えます。

  ただし、対角線の交点が複数重なる場合、

  それらは同じ点として考えるものとします。

  ①XH=2/3cmであるような X として考えられる点は

   全部で何個ありますか。

  ②XH=1/2cmであるような
 X として考えられる点は

   全部で何個ありますか。

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(1)APQDの4点から2点選ぶ場合の数は、6通り、

同様に、BRSC4点から2点選ぶ場合の数も、6通りなので、

四角形は、6×6=36個できます。

(2)

11242

△黄と△緑は相似で、相似比は1:3なので、

XH=1×3/(1+3)=3/4cm

(3)

①下辺:上辺=2:1の四角形を考えるので、

11243

図のように6個です。

②下辺:上辺=1:1の四角形を考えるので、

11245

図のように、5個です。

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2017年11月23日 (木)

見えているサイコロの目は?(山梨学院中学 2017年)

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展開図が(図1)のようなさいころを

(図2)のように机の上に向きを変えずに積み上げて

立体をつくっていきます。

たとえば、2段は4個のさいころを使っています。

この とき、次の各問いに答えなさい。

図1

11232

図2

11231

(1)4段の立体で使うさいころの個数は何個ですか。

(2)36個のさいころで何段の立体ができますか。

(3)4段の立体を真上から見たとき、

  見えているすべてのさいころの目を足すといく つになりますか。

(4)5段の立体を周りから見たとき、2の目は何個見えていますか。

(5)5段の立体を周りから見たとき、

  見えているすべてのさいころの目を足すといく つになりますか。

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(1)1段目→1個

2段目→3個

3段目→5個

4段目→7個

1+3+5+7=16個

(2)1段は→1×1=1個

2段は→2×2=4個

3段は→3×3=9個

4段は→4×4=16個

36=6×6なので、6段

(3)1の目が7つ見えているので、7

(4)5の裏側の2の目は

5段では、1+2+3+4+5=15個見えています。

(5)1の目→9個×1=9

2の目→15個×2=30

3の目→15個×3=45

4の目→15個×4=60

5の目→15個×5=75

9+30+45+60+75=219

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2017年11月22日 (水)

タイルの並べ方の規則性(桜蔭中学 2007年)

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A、B2種類のタイルがあります。このタイルを図のように並べます。

Pic_0331

(1)5周まで並べたとき、タイルA,タイルBはそれぞれ何枚あるか求めなさい。

「順番に考えてみようね」

「Aは1→2周が1枚、3→4周が9枚、これって5周は1辺が5枚になるから25枚じゃないかな?」

「そう、奇数周目のところで周数×周数の数になって次の偶数では変わらない」

「逆にBは偶数周目で周数×周数になって、奇数周では変わらない」

5周目には、タイルAの数=5×5=25枚

        タイルBの数=4×4=16枚

(2)A,Bがそれぞれ90枚ずつあります。

 できるだけ多くのタイルを使って図のように並べると、

 何周まで並べることができますか。

 また、そのとき余るタイルはそれぞれ何枚ですか。

「90枚以内で○×○になる最大の数をみつければいいね」

「Aは○が奇数だから、9×9、Bは偶数だから8×8だ」

「それぞれ90から引いて余りは・・・」

タイルA→ 90-81=9枚

タイルB→ 90-64=26枚

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(3) 25周までタイルA,Bを並べました。

 このとき、下図のように4枚のタイルに囲まれている部分に

 タイルCを入れていきます。必要なタイルCは何枚ですか。

Pic_0332

「また新しい規則性だ」

「どんな規則性?」

Kisoku014

「4、8、12、16・・・・・

4枚ずつ多くなっていくな」

「25周目では何枚?」

「3周目→4×1枚、4周目→4×2枚、5周目→4×3枚・・・だから、

25周目は4×(25-2)=92枚」

「4+8+12+・・・+92は?」

「ガウス算だ」

(4+92)×23÷2=1104枚

(4)タイルAとタイルBが同じ枚数あります。

 できるだけ多くのタイルを使って並べていったところ、

 タイルAの余りが45枚、タイルBの余りが14枚でした。

 最初にあったタイルAは何枚ですか。

「図にしてみたら?」

Pic_0333_2

「BとAの差は31枚?」

「Bは偶数の○×○、Aは奇数の□×□」

「○×○-□×□が31で○-□が1の○と□を見つけるんだ」

16×16-15×15=256-225=31

「16周目まで並べたわけだね」

225+45=270

「パズルみたいな問題だな」

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2017年11月21日 (火)

太線の長さ比は?(吉祥女子中学 2017年)

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Bandicam_20171121_095233079_2

図1のように、1辺が2cmの正方形の頂点と辺の上に、

点Aから1cm 間かくで8個の点を打ちます。

この8個の点を中心として、

図2のように 同じ大きさの8個の円をかきます。

このときかいた円と同じ大きさの円を「あ」とします。

さらに、図2のふちを太線でなぞると、

図3のような図形ができます。

後の問いに答えなさい。

Bandicam_20171121_095244048

(1) 同じようにして、1辺が3cmの正方形について、

円「あ」を12個かくと図4のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図4の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

Bandicam_20171121_095256659

(2) 同じようにして、1辺が4cmの正方形について、

円「あ」を16個かくと図5 のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図5の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

Bandicam_20171121_095305106

 

(3) 図6の図形の頂点と辺の上に、

点Bから1cm間かくで点を打ちます。

これらすべての点を中心として、

円「あ」をかいていってできる図形をXとし ます。

図7は、 円「あ」を 4個だけかいたときの図です。

Bandicam_20171121_095321021
Bandicam_20171121_095330813

①図形Xには、何個の円「あ」がかいてありますか。

②図形Xのふちを太線でなぞりました。

図3の太線の長さの和と図形Xの太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

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(1)図3の図形は半円4個、

1/4円8個なので、

半円8個分の長さです。

図4は半円4個、1/4円16個

合計、半円12個分なので、

図3:図4=8:12=2:3

(2)図5は半円16個分なので、

図3:図5=1:2

(3)

①図のように「あ」は16個です。

Bandicam_20171121_102338104_2

②この図形は半円6個、1/4円20個

合計、半円16個分なので、

図3:X=8:16=1:2

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2017年11月20日 (月)

120度になる時刻は?(麻布中学 2017年)

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(1)

1時から2時までの1時間で、

時計の長針と短針の作る角の大きさが120度になる時刻を

2つ答えてください。

M1b2a003cs

(2)


今、時計が1時ちょうどを示しています。

この後、長針と短針の作る角の大き さが120°となるのが

8回目の時刻は何時何分何秒ですか?

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(1)

最初30°離れたキョリを長針が追いつき、

さらに120°差をつけるわけですから、

長針は短針に150°の差をつけることになります。

次は、逆側の240°を120°に縮めるまで進むので、

合計、150+120=270°差をつけることになります。

長針の速さは、1分間に6°

短針の速さは、1分間に0.5°

その差は、6-0.5=5.5°です。

したがって、1回目は、

150÷5.5=27と3/11分

1時27分16と4/11秒

2回目は、

270÷5.5=49と1/11分

1時49分5と5/11秒

(2)

1時~2時→2回

2時~3時→2回

3時~4時→2回

6回目が4時ちょうどになり、

5時までに7回目があるので、

8回目は5時過ぎの時刻です。

5時は短針と長針のつくる角度が150°なので、

120°に縮まる時刻は長針が30°追いつく時刻です。

30÷5.5=5と5/11分

5時5分27と3/11秒です。

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2017年11月18日 (土)

四角すいを重ねると・・・(日本大学藤沢中学 2016年)

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図のように2つの四角すいがあります。

(立体ア)は底面が正方形で、側面が合同な二等辺三角形でできています。

正方形の1辺の長さは10cm、二等辺三角形の高さは13cm、

立体の高さは12cmです。

(立体イ)は、(立体ア)の辺の長さや高さをそれぞれ2倍にした立体です。

このとき、次の問いに答えなさい。

11181

(1) (立体ア)と(立体イ)の体積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2) (立体ア)と(立体イ)を組み合わせて、図のよ うな立体を作りました。

11182

  面ABCDと面EFGHは平行で、

  (立体イ)の頂点O'は面ABCDの対角線の交点に重なります。

  この立体の体積は何立方cmですか。

(3) (2)でできた立体を面CDJKをふくむ平面で切ったときにできる

  面の面積は何㎠ですか。

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(1)長さが2倍になると、

体積は2×2×2=8倍になるので、

体積比は、ア:イ=1:8

(2)四角すい、O'-IJKLは高さがアの1/2の四角すいです。

この四角すいの体積を、アとイからそれぞれ引けば、

求める体積になります。

O'-IJKL=5×5×6÷3=50立方cm

ア=10×10×12÷3=400立方cm

イ=20×20×24÷3=3200立方cm

求める体積=3200+400-50×2=3500立方cm

(3)切り口は図のように、等脚台形が2つ重なった形になります。

Bandicam_20171118_083528149_2

上の台形の高さは、13×1/2=6.5cm

下の台形の高さは、26×(24-6)/24=19.5cm

求める面積=(10+5)×6.5÷2+(20+5)×19.5÷2

=48.75+243.75

=292.5㎠

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2017年11月16日 (木)

20%の食塩水を何g入れましたか?(洗足学園中学 2017年)

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ビーカーAに16%の食塩水400gが入っています。

Aから食塩水100gを 取り出し、Aに水を100g入れてよくかき混ぜ、

次にAから食塩水200gを取り出し、

Aに水を200g入れてよくかき混ぜました。

最後にAから食塩水を何gか取り出し、

取り出した量と同じ量の20%の食塩水をAに入れて

よくかき混ぜたところ13%の食塩水になりました。

20%の食塩水を何g入れましたか。

Sst055s

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天びん図で表すと、最初の場合は、

残った濃度16%の食塩水300gと、水100gを混ぜたことになり、

水の濃度を0%と考えると、

水:16%の食塩水=100g:300g=1:3 なので、

天びんの長さは逆比の、3:1になるので、

食塩水の濃度は、12%になります。

11161

次は、残った12%の食塩水200gと

水200gを混ぜるので、

図のように重さの比は、1:1なので、

天びんの長さも1:1になり、

できた食塩水は6%です。

最後にできた食塩水は13%なので、

6%と20%の真ん中になり、

天びんの長さは、1:1 なので、

食塩水の重さも同じになり、

残った量と加えた量が同じになるのは、

取り出した量が200gの場合なので、

20%の食塩水は200gです。

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2017年11月15日 (水)

基本的な旅人算です!(函嶺白百合学園中学 2017年)

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1

1周1200mの道があります。

この道を、Aさんと Bさんは同じ方向にCさんは反対の方向に

3人とも同時に同じ場所から出発します。

CさんはAさんの2倍の速さで進み、

AさんとCさんは、出発してから 8分後にはじめて出会いました。

また、Aさんと Bさんの速さの比は1:3です。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)AさんとCさんがはじめて出会ったときまでにCさんは何m進みましたか。

(2)Aさんは1周するのに何分かかりますか。

(3)BさんとCさんがはじめて出会うのは出発してから何分何秒後ですか。

2122

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11155

(1)Aの速さを分速Amとすると、

Cの速さは分速(2×A)m

1分間で、A+2×A=3×Am近づき、

8分間で2人は1200m進んだので、

8×3×A=1200m

A=分速50m

C=分速100m

8分間でCは、8×100=800m進みました。

(2)Aは1周するのに、

1200÷50=24分 かかります。

(3)Bの分速は、50×3=150m

BとCが出会うまで、

1200÷(150+100)=4.8分なので、

4分と48秒です。

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2017年11月14日 (火)

黄色と緑色の面積比は?(京都教育大学附属桃山中学 2017年)

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下の図は、ある円の直径AB上に点C、Dをとって、

AC、AD、CB、DBを直径とする半円をかいたものです。

AB=10cm、AC=5cm、AD=7cmのとき、

黄色と緑色にわけられた2つの部分の面積の比を求めなさい。

11141

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----------------------------------------------------

11142

面積の比は、半径×半径の比になり、

半径×半径の比は直径×直径の比に等しくなります。

黄色部分は直径AB=10cmの半円になり、

面積の比を、10×10=100とすると、

緑部分は、

(7×7-5×5)+(5×5-3×3)=40

黄:緑=100:40=5:2

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2017年11月12日 (日)

数並びの規則性は?(暁星中学 2017年)

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2, 0, 1, 7, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 7, 7, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 7, 7, 7, . . . . . .

141


このように、2、0、1、7の数がそれぞ れ1つずつ増えながら、

並んでいる数の列があります。

このとき、3番目の数は1で、7番目の数は0です。

次の問い に答えなさい。

(1)30番目の数は何ですか。

(2)1番目の数から6番目までの数を全部足すと、14になります。

  では、1番目から何番目の数を全部足すと、550に なりますか。

(3)2017番目の数は何ですか。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)

1番目のブロック(2017)は4個×1=4個

2番目のブロック(22001177)は4個×2=8個

3番目のブロック(222000111777)は4個×3=12個

・・・・・・

ここまでで、4+8+12=24個なので、

30番目は4番目のブロックの6番目で、

(222200011117777)

0です。

(2)

1番目のブロック(2017)を全部足すと、

2+0+1+7=10

2番目のブロックは、10×2=20

3番目のブロックは、10×3=30

・・・・・

10×(1+2+3+・・・・・+N)=550 

となるNは10なので、

10ブロックの最後の数7は初めから数えて、

4+8+・・・・+40=44×10÷2=220番目です。

(3)

4×(1+2+3+・・・・・+N) が2017に近くなるNを考えます。

2017÷4=504.・・・・ なので、

1+2+3+・・・・N が504近くになるのは、

32×31÷2=496 で、

N=31 とすると、

31ブロックまでで、

4×496=1984個、数が並びます。

32ブロック目は、2が32個並んだ後0が32個並ぶので、

22・・・・・←(32個)→・・・・・2200000・・・・・

2017-1984=33個なので、

0です。

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2017年11月10日 (金)

底面積と水面の高さは?(フェリス女学院中学 2017年)

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図1のように、体積が1立方cmの立方体を

すきまなく55個積み重ねてできる立体があ ります。

また、1辺の長さが5cmより長い立方体の水そうに

水面の高さが2.5cmま で水が入っています。

この水そうに、この立体をゆっくり入れます。

Bandicam20171110085023570

(1)この立体の、面積が25㎠の面が水そうの底に重なるように入れると、

水そうの底からの水面の高さが3.5cmになりました。

水そうの底の面積は何㎠ですか。

Bandicam20171110085036319

(2)この立体を図2のようにたおし、

面積が15㎠の面が水そうの底に重なるように入れると、

水そうの底からの水面の高さは何cmになりますか。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)

11101

立体の底面積は下から順に

25㎠、16㎠、9㎠、4㎠、1㎠ です。

立体を入れたところ、水面が1cm上がったので、

黄+緑=緑+赤=25+16+9+4×1/2=52立方cmより、

水そうの底面積=52÷1=52㎠

(2)

11102

水の量は、52×2.5=130立方cm

1段目までの水の量=37×1=37立方cm

2段目までは、37+38=75立方cm

3段目までは、75+40=115立方cm

残の水の量は、130-115=15立方cm なので、

あと、15÷43=15/43cm高くなり、

水面の高さは、3と15/43cm

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2017年11月 6日 (月)

円の半径は?(浅野中学 2017年)

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下の図のように、

3辺の長さが AB=40cm、AC=40cm、BC=48cmの

二等辺三角形ABCと円緑色、円黄色があります。

三角形ABCと円緑色と円黄色はそれぞれ接しています。

円緑色と円黄色の中心をそれぞれG、Hとするとき、

中心G、Hと点Iは直線AD上にあります。

∠ADB=90°、∠AEG=90°、∠AFH=90°のとき、

次の問いに答えなさい。

ただし、3辺の長さが3cm、4cm、5cmの三角形は、

直角三 角形になります。

11061

(1)長さの比AG:GEをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(2)円緑色の半径は何cmですか。

(3)円黄色の半径は何cmですか。

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----------------------------------------------------

(1)直角三角形ABDのAB:BD=40:(48÷2)=40:24=5:3

△AGEは△ABDと相似なので、

AG:GE=5:3

(2)AD=40×4/5=32cm

AG:GE=AG:GD なので、

GE=GD=32×3/(5+3)=12cm

(3)

11062

黄+緑の図形は黄の図形と相似なので、

AD:AI=32:(32-12×2)=4:1

EG:FH=4:1

FH=12×1/4=3cm

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2017年11月 4日 (土)

表面積は?(海星中学校 2017年)

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図のような1辺の長さが1cmの立方体を順に積み上げていきます。

11041


(1)2番目の立体の表面積は何㎠ですか?

  ただし、表面積は立方体どうしが重なった面以外と します。

(2)10番目の立体の表面積は何㎠ですか?

  ただし、表面積は立方体どうしが重なった面以外と します。

(3)1番目の立体から表面積を合計していくとき、

  初めて150㎠をこえるのは何番目の立体までの合計ですか?

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)上下左右は、1×1×2×4=8

前後は、1×1×(1+2)×2=6

8+6=14㎠

(2)10×4+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)×2

=40+55×2=150㎠

(3)

1番目→6㎠

2番目→14㎠、合計6+14=20㎠

以後、その差が2㎠ずつ増えていくので、

3番目→14+(8+2)=24㎠、合計44㎠

4番目→24+(10+2)=36㎠、合計80㎠

5番目→36+(12+2)=50㎠、合計130㎠

6番目→50+(14+2)=66㎠、合計196㎠

したがって、6番目です。

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2017年11月 2日 (木)

残された空間図形は?(駒場東邦中学 2017年)

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1辺の長さが4cmの立方体について、次のような[作業]を行います。

[作業]

①立方体の各辺を4等分します。

②1つの頂点に注目したとき、

 その頂点を端の点とする3つの辺上にある 分点(分ける点)のうち、

 頂点から最も離れている3つの分点を通る平面で切り取ります。

例えば、下の図は頂点Aに対し、

3点P Q Rを通る平面で切り取った図 です。

110211

110212_2

この「作業]を立方体の8個あるすべての頂点に対し、

同時に行った後に残る立体「あ」について考えます。

(1)立方体の面ABCD上にできる立体「あ」の面を

 解答用紙の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。

110213

(2)三角形PQR上にできる立体「あ」の面を面「い」とします。

 ①面「い」の形の名前を答えなさい。

 ②(三角形PQRの面積):(面「い」の面積)を

   最も簡単な整数の比で求めな さい。

(3)立体「あ」の体積を求めなさい。

 ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷3で求めることができます。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)8個あるすべての頂点に作業を行ったのが下の図です。

Bandicam_20171102_090029483

Bandicam_20171102_094735612

ABCD上にできる「あ」の面は図のように正方形で、

対角線の長さが2cmなので、

面積は、2×2÷2=2㎠

(2)

①面「い」の形は図のように正六角形

Bandicam_20171102_090647776

②小さな正三角形の数を比べると、

△PQR:面「い」=9:6=3:2

(3)

下の図のように、8つの三角すいを取り除くと、

各辺で緑部分の三角すい2つ分を2回取り除くことになります。

Bandicam_20171102_094233191_2

重なった三角すい2つ分の体積は、

(1×1÷2×1÷3)×2=1/3立方cm

12の辺の合計は、1/3×12=4立方cm

したがって、求める「あ」の体積は、

4×4×4-3×3÷2×3÷3×8+4=32立方cm

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2017年11月 1日 (水)

①~③にあてはまる数は?(海城中学 2017年)

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二つの直角三角形ABCとPQRがあります。

図の角アと角イは同じ大きさであり、

AB=8cm、BC=6cm、CA=10cmです。

図のように、この二つの三角形が、頂点Cと項点 Pが重なるようにして

一つの直線上に置かれています。

この状態から、三角形PQRを毎秒1cmの速さで左方向に,

辺ABと辺QRが重なるまで動かしました。

グラフは、三角形PQRを動かし始めてから止まるまでの時間と、

二つの三角形が重なった部分の面積の関係を表したものです。

①~③にあてはまる数を入れてください。

1101

①は6秒後なので、図のようになり、

Bandicam_20171101_111221019_2

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

重なった部分の直角三角形も、2つの直角三角形と相似で、

相似比は、5:4:3なので、

面積は、6cm×4/5×6cm×3/5×1/2=216/25

①=8.64

20秒後は図のようになり、

Bandicam_20171101_111404873

重なった部分が0になるのは、

Bandicam_20171101_111421612_2

その6秒後なので、

②=26

22秒後は図のようになり、

Bandicam_20171101_111532119_2

一番右の小さな直角三角形の面積は、

2×2×4/3÷2=8/3㎠

重なった部分の面積は、24-8/3=21と1/3㎠

③=21と1/3


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