この立体の体積は？（豊島岡女子学園中学 2017年）

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下の図のような底面が正六角形で、

側面がすべて合同な長方形でできた立体があり、

底面積は３２４㎠、高さは１２ｃｍです。

この立体の６つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆを結んでできる立体Pを考えます。

このとき、次の各問いに答えなさい。

ただし、三角すいの体積は (底面積) ×(高さ) ÷３で求めることができます。





（１）立体Ｐの体積は何立方ｃｍですか。

（２）底面ＤＥＦから高さが４ｃｍのところで底面と平行な面で立体Pを切った とき、

　　底面ＤＥＦを含む立体の体積は何立方ｃｍですか。

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（１）全体から、△黄を底面とし、高さ１２ｃｍの三角すいを６つ引くと

立体Pの体積が求められます。

△黄は正六角形の１/６なので、

３２４÷６＝５４㎠

したがって、

P＝３２４×１２－５４×１２÷３×６＝２５９２立方ｃｍ

（２）△赤は△黄と相似で、

各辺の長さは１/３なので、

１：１/３＝３：１→面積比は３×３：1×１＝９：１

５４×１/９＝６㎠

△青は△黄と相似で、

各辺の長さは２/３なので、

１：２/３＝３：２→面積比は３×３：２×２＝９：４

５４×４/９＝２４㎠

求める立体の体積は、高さ４ｃｍの正六角柱から、

高さ４ｃｍ、底面積６㎠の三角すい３つと、

高さ１２ｃｍ、底面積５４㎠の三角すいから

高さ８ｃｍ、底面積２４㎠の三角すいを引いた円すい台３つを引きます。

３２４×４－６×４÷３×３＋（２１６－２４×８÷３）×３

＝１２９６－（２４＋４５６）

＝８１６立方ｃｍ

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