この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)
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下の図のような底面が正六角形で、
側面がすべて合同な長方形でできた立体があり、
底面積は324㎠、高さは12cmです。
この立体の6つの点A、B、C、D、E、Fを結んでできる立体Pを考えます。
このとき、次の各問いに答えなさい。
ただし、三角すいの体積は (底面積) ×(高さ) ÷3で求めることができます。
(1)立体Pの体積は何立方cmですか。
(2)底面DEFから高さが4cmのところで底面と平行な面で立体Pを切った とき、
底面DEFを含む立体の体積は何立方cmですか。
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(1)全体から、△黄を底面とし、高さ12cmの三角すいを6つ引くと
立体Pの体積が求められます。
△黄は正六角形の1/6なので、
324÷6=54㎠
したがって、
P=324×12-54×12÷3×6=2592立方cm
(2)△赤は△黄と相似で、
各辺の長さは1/3なので、
1:1/3=3:1→面積比は3×3:1×1=9:1
54×1/9=6㎠
△青は△黄と相似で、
各辺の長さは2/3なので、
1:2/3=3:2→面積比は3×3:2×2=9:4
54×4/9=24㎠
求める立体の体積は、高さ4cmの正六角柱から、
高さ4cm、底面積6㎠の三角すい3つと、
高さ12cm、底面積54㎠の三角すいから
高さ8cm、底面積24㎠の三角すいを引いた円すい台3つを引きます。
324×4-6×4÷3×3+(216-24×8÷3)×3
=1296-(24+456)
=816立方cm
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