タイルの並べ方の規則性（桜蔭中学 2007年）

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Ａ、Ｂ２種類のタイルがあります。このタイルを図のように並べます。

（１）５周まで並べたとき、タイルＡ，タイルＢはそれぞれ何枚あるか求めなさい。

「順番に考えてみようね」

「Aは１→２周が１枚、３→４周が９枚、これって５周は１辺が５枚になるから２５枚じゃないかな？」

「そう、奇数周目のところで周数×周数の数になって次の偶数では変わらない」

「逆にBは偶数周目で周数×周数になって、奇数周では変わらない」

５周目には、タイルＡの数＝５×５＝２５枚

　　　　　　　　タイルＢの数＝４×４＝１６枚

（２）Ａ，Ｂがそれぞれ９０枚ずつあります。

　できるだけ多くのタイルを使って図のように並べると、

　何周まで並べることができますか。

　また、そのとき余るタイルはそれぞれ何枚ですか。

「９０枚以内で○×○になる最大の数をみつければいいね」

「Aは○が奇数だから、９×９、Bは偶数だから８×８だ」

「それぞれ９０から引いて余りは・・・」

タイルＡ→　９０－８１＝９枚

タイルＢ→　９０－６４＝２６枚

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（３） ２５周までタイルＡ，Ｂを並べました。

　このとき、下図のように４枚のタイルに囲まれている部分に

　タイルＣを入れていきます。必要なタイルＣは何枚ですか。

「また新しい規則性だ」

「どんな規則性？」

「４、８、１２、１６・・・・・

４枚ずつ多くなっていくな」

「２５周目では何枚？」

「３周目→４×１枚、４周目→４×２枚、５周目→４×３枚・・・だから、

２５周目は４×（２５－２）＝９２枚」

「４＋８＋１２＋・・・＋９２は？」

「ガウス算だ」

（４＋９２）×２３÷２＝１１０４枚

（４）タイルＡとタイルＢが同じ枚数あります。

　できるだけ多くのタイルを使って並べていったところ、

　タイルＡの余りが４５枚、タイルＢの余りが１４枚でした。

　最初にあったタイルＡは何枚ですか。

「図にしてみたら？」

「BとAの差は３１枚？」

「Bは偶数の○×○、Aは奇数の□×□」

「○×○－□×□が３１で○－□が１の○と□を見つけるんだ」

１６×１６－１５×１５＝２５６－２２５＝３１

「１６周目まで並べたわけだね」

２２５＋４５＝２７０

「パズルみたいな問題だな」

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