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2017年11月22日 (水)

タイルの並べ方の規則性(桜蔭中学 2007年)

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A、B2種類のタイルがあります。このタイルを図のように並べます。

Pic_0331

(1)5周まで並べたとき、タイルA,タイルBはそれぞれ何枚あるか求めなさい。

「順番に考えてみようね」

「Aは1→2周が1枚、3→4周が9枚、これって5周は1辺が5枚になるから25枚じゃないかな?」

「そう、奇数周目のところで周数×周数の数になって次の偶数では変わらない」

「逆にBは偶数周目で周数×周数になって、奇数周では変わらない」

5周目には、タイルAの数=5×5=25枚

        タイルBの数=4×4=16枚

(2)A,Bがそれぞれ90枚ずつあります。

 できるだけ多くのタイルを使って図のように並べると、

 何周まで並べることができますか。

 また、そのとき余るタイルはそれぞれ何枚ですか。

「90枚以内で○×○になる最大の数をみつければいいね」

「Aは○が奇数だから、9×9、Bは偶数だから8×8だ」

「それぞれ90から引いて余りは・・・」

タイルA→ 90-81=9枚

タイルB→ 90-64=26枚

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(3) 25周までタイルA,Bを並べました。

 このとき、下図のように4枚のタイルに囲まれている部分に

 タイルCを入れていきます。必要なタイルCは何枚ですか。

Pic_0332

「また新しい規則性だ」

「どんな規則性?」

Kisoku014

「4、8、12、16・・・・・

4枚ずつ多くなっていくな」

「25周目では何枚?」

「3周目→4×1枚、4周目→4×2枚、5周目→4×3枚・・・だから、

25周目は4×(25-2)=92枚」

「4+8+12+・・・+92は?」

「ガウス算だ」

(4+92)×23÷2=1104枚

(4)タイルAとタイルBが同じ枚数あります。

 できるだけ多くのタイルを使って並べていったところ、

 タイルAの余りが45枚、タイルBの余りが14枚でした。

 最初にあったタイルAは何枚ですか。

「図にしてみたら?」

Pic_0333_2

「BとAの差は31枚?」

「Bは偶数の○×○、Aは奇数の□×□」

「○×○-□×□が31で○-□が1の○と□を見つけるんだ」

16×16-15×15=256-225=31

「16周目まで並べたわけだね」

225+45=270

「パズルみたいな問題だな」

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