体積比、長さ比は？（広尾学園中学 ２０１７年）

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下の図のような直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨにおいて、

辺ＣＧ上にＣＱ：ＱＧ＝３：２となる点をＱとします。 

（１）三角錐ＡＢＤＥの体積と直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの体積の比を求めなさい。

（２）直線ＡＧが平面 ＢＤＥと交わる点をＰとするとき、

　　ＡＰ：ＰＧ を求めなさい。

（３）直線ＡＱが平面ＢＤＥと交わる点をＲとするとき、

　　三角錐ＲＢＤＧの体積と直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの体積の比を求めなさい。

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（１）

図のように三角錐ABDEは直方体の体積の１/２の１/３なので、

三角錐ＡＢＤＥの体積：直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの体積

＝１/２×１/３：１＝１/６：１＝１：６

（２）

図のようになるので、

△黄と△緑は相似で、相似比は１：２

したがって、ＡＰ：ＰＧ ＝１：２

（３）

三角錐ＲＢＤＧは図のようになります。

△AREと△SRQは相似になり、

CGを５とすると、SQ＝５＋３＝８　なので、

SR：RE＝８：５

△DEBの高さ：△DRBの高さ＝６．５：１．５＝１３：３

△DEBの面積：△DRBの面積＝１３：３

直方体から、三角錐ABDE、CDBG、EHGD、EFGBを取り除くと、

三角錐DEBGが残ります。

その体積比は、直方体の

１－１/６×４＝２/６＝１/３

三角錐ＲＢＤＧはその３/１３なので、

直方体の、１/３×３/１３＝１/１３

三角錐ＲＢＤＧ：直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ＝１/１３：１＝１：１３

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