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2017年10月25日 (水)

体積比、長さ比は?(広尾学園中学 2017年)

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下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて、

辺CG上にCQ:QG=3:2となる点をQとします。 

(1)三角錐ABDEの体積と直方体ABCD-EFGHの体積の比を求めなさい。

(2)直線AGが平面 BDEと交わる点をPとするとき、

  AP:PG を求めなさい。

(3)直線AQが平面BDEと交わる点をRとするとき、

  三角錐RBDGの体積と直方体ABCD-EFGHの体積の比を求めなさい。

10251

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(1)

10252

図のように三角錐ABDEは直方体の体積の1/2の1/3なので、

10253

三角錐ABDEの体積:直方体ABCD-EFGHの体積

=1/2×1/3:1=1/6:1=1:6

(2

図のようになるので、

10255

△黄と△緑は相似で、相似比は1:2

10256

したがって、AP:PG =1:2

(3)

三角錐RBDGは図のようになります。

10257

10258

△AREと△SRQは相似になり、

CGを5とすると、SQ=5+3=8 なので、

SR:RE=8:5

△DEBの高さ:△DRBの高さ=6.5:1.5=13:3

△DEBの面積:△DRBの面積=13:3

直方体から、三角錐ABDE、CDBG、EHGD、EFGBを取り除くと、

三角錐DEBGが残ります。

その体積比は、直方体の

1-1/6×4=2/6=1/3

三角錐RBDGはその3/13なので、

直方体の、1/3×3/13=1/13

三角錐RBDG:直方体ABCD-EFGH=1/13:1=1:13

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