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2017年10月

2017年10月31日 (火)

何秒間止まっていた?(東京都市大学等々力中学 2016年)

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A駅から400m離れたB地点へは、

図のように長さの等しい2つの動く歩道で移動することができます。

のぶお君がA駅を出発し、B地点を目指して歩いています。

動く歩道を使わずに歩いて移動すると4分10秒、

2つの動く歩道を利用して歩き続けると3分20秒かかります。

動く歩道の速さを秒速0.8mとするとき、次の問いに答えなさい。

10311

(1)のぶお君の歩く速さは秒速何mですか。

(2)動く歩道1つの長さは何mですか。

(3)のぶお君は2つの動く歩道を利用して歩くことにしました。

一つ目の動く歩道を68m歩いたところで、くつひもを結ぶために止まりました。

その後、通常の1.5倍の速さで歩いたとき、

A駅を出発してから2分40秒でB地点に着きました。

このとき、のぶお君は何秒間止まっていたことになりますか。

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(1)

400m÷250秒=1.6m

(2)

10312

歩く速さは秒速1.6m

動く歩道で歩いているときは、秒速 0.8+1.6=2.4m

上の面積図より、全部動く歩道なら、200秒で480m進むので、

動く歩道を使わなかった時間は、

(480-400)÷(2.4-1.6)=100秒

そのキョリは1.6×100=160m

動く歩道の長さは、

(400-160)÷2=120m

(3)

10313


動く歩道で68m進む時間は、

68÷(0.8+1.6)=28と1/3秒

動く歩道を使わないで歩いた時間は、

160÷1.6×1.5=66と2/3秒

2回目の動く歩道移動時間は、

120÷(0.8+2.4)=37.5秒

160-(28と1/3+66と2/3+37.5)=27.5秒

この時間で、靴ひもを直し残りの動く歩道を歩いたので、

上の面積図より、

動く歩道で止まっていた時間は、

36÷2.4=15秒間です。

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2017年10月29日 (日)

色部分の周りの長さは?(日本女子大学附属中学 2017年)

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下の図は1辺6cmの正方形と、

半径6cmの1/4円を組み合わせたものです。

色部分の周りの長さは何cmですか。

ただし、円周率は3.14とします。

10291

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10292

△AQDも△CPDも正三角形になるので、

∠QAD=∠PCD=60°

∠PDQ=90-(90-60)×2=30°

求める長さ=6×2×3.14×(60×2+30)/360

=12×5/12×3.14

=5×3.14

=15.7cm

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2017年10月25日 (水)

体積比、長さ比は?(広尾学園中学 2017年)

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下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて、

辺CG上にCQ:QG=3:2となる点をQとします。 

(1)三角錐ABDEの体積と直方体ABCD-EFGHの体積の比を求めなさい。

(2)直線AGが平面 BDEと交わる点をPとするとき、

  AP:PG を求めなさい。

(3)直線AQが平面BDEと交わる点をRとするとき、

  三角錐RBDGの体積と直方体ABCD-EFGHの体積の比を求めなさい。

10251

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(1)

10252

図のように三角錐ABDEは直方体の体積の1/2の1/3なので、

10253

三角錐ABDEの体積:直方体ABCD-EFGHの体積

=1/2×1/3:1=1/6:1=1:6

(2

図のようになるので、

10255

△黄と△緑は相似で、相似比は1:2

10256

したがって、AP:PG =1:2

(3)

三角錐RBDGは図のようになります。

10257

10258

△AREと△SRQは相似になり、

CGを5とすると、SQ=5+3=8 なので、

SR:RE=8:5

△DEBの高さ:△DRBの高さ=6.5:1.5=13:3

△DEBの面積:△DRBの面積=13:3

直方体から、三角錐ABDE、CDBG、EHGD、EFGBを取り除くと、

三角錐DEBGが残ります。

その体積比は、直方体の

1-1/6×4=2/6=1/3

三角錐RBDGはその3/13なので、

直方体の、1/3×3/13=1/13

三角錐RBDG:直方体ABCD-EFGH=1/13:1=1:13

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2017年10月24日 (火)

この図形の面積は?(広島大学附属福山中学 2017年)

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下の図のように、1目もりが1cmの方眼紙に 

5本の直線で囲まれた図形がかいてあります。

この図形の面積は何㎠ですか?

10241

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----------------------------------------------------

全体から色部分の三角形を引いてみます。

10242

6×6-(4×6÷2+2×5÷2+3×3÷2+2×3÷2)

=36-24.5

=11.5㎠


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2017年10月22日 (日)

色部分の面積は?(普連土学園中学 2017年)

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半径3cmと7cmの2つの円があります。

点A、Bはそれぞれの円 の中心です。

色部分の面積を求めなさい。

必要ならば、円周率を3.14として計算すること。

10221_2

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10222

△黄は底辺7cm、高さ3cmの三角形

△赤は底辺3cm、高さ7cmの三角形であることがわかります。

色部分の面積=7×3÷2+3×7÷2=21㎠

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2017年10月20日 (金)

この直方体の体積は?(國學院大學久我山中学 2016年)

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下の図のような直方体があります。

「あ」、「い」、「う」の各面を底面としたとき、

それぞれの側面積は38㎠、25㎠、23㎠です。

この直方体の体積は何立方cmですか。

10201

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----------------------------------------------------

10202

「あ」の面の辺の長さを図のようにA、Bとすると、

6×(2×A+2×B)=38・・・・・①

2×A×B+2×6×B=25・・・・・②

2×A×B+2×6×A=23・・・・・③

②-③

12×B-12×A=2

B-A=1/6・・・・・④

①より

A+B=19/6・・・・・⑤

④+⑤

2×B=20/6

B=20/12=5/3

A=3/2

A×B=3/2×5/3=5/2

直方体の体積=5/2×6=15立方cm

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2017年10月19日 (木)

表面積の差は?(2017年 岡山学芸館清秀中学)

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下の図1の立体は、1辺が2cmの立方体を27個組み合わせたものです。

図1

Bandicam_20171019_082417258

図2の立体は、図1の立体のいちばん下の段と真ん中の段から、

中央の列の立方体を3個ずつ、合わせて6個を取りのぞいたものです。

図2

Bandicam_20171019_082556532

また、図3の立体は、図1の立体から各面の真ん中にある立方体を1個ずつ、

合わせて6個を取りのぞいたものです。

図3

Bandicam_20171019_082852945

ただし、取りのぞいた後に残った立方体が、

下に落ち ることはないものとします。

図2の立体と図3の立体を比べたとき、

表面の面積の合計(表面積)はどちらの立体が何㎠大きいですか。

ただし、立体の下側の面もふくみます。

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図2

上面→4×9=36㎠

下面→くぼんだ面も含めて、4×9=36㎠

左面→4×9=36㎠

右面→4×9=36㎠

前面→4×7=28㎠

後ろ面→4×7=28㎠

隠れた面→4×6×2=48㎠

合計=36×4+28×2+48=248㎠

図3

前後左右上下面→4×9×6=216㎠

凹んだ隠れた面→4×4×6=96㎠

合計=216+96=312㎠

図3-図2=312-248=64㎠

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2017年10月17日 (火)

AH:HDは何対何?(明治大学付属明治中学 2016年)

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下の図のように、

正方形ABCDの辺AB、CDを2:1に分ける点をそれぞれE、G

辺BCの真ん中の点をF、辺AD上の点を H とします。

四角形EFGHの面積が24㎠、

正方形ABCDの面積が45㎠であるとき、

AH:HDをもっとも簡単な整数の比で表すと、何対何ですか?

10171

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----------------------------------------------------

10172

長方形黄色の面積は、

24-(45-24)=3㎠

各長方形の辺の比を上の図のように表すと、

6×6は45㎠にあたるので、

黄色い長方形の面積3㎠は、

6×6×3/45=12/5 になり、

黄色い長方形の横の長さは、

12/5÷2=6/5

AH=3-6/5=9/5

HD=6-9/5=21/5

AH:HD=9/5:21/5=9:21=3:7

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2017年10月14日 (土)

円周形の周り の長さは?(2017年 函館ラ・サール中学)

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下の図1、図2のように、半径1cmの円を

となり同士がたがいに接するように並べます。

(どの円も接する円は2個とします。)

このとき、各円の円周で囲まれた部分を「円周形」と呼ぶことにします。

例えば、図1の色部分は円を4個並べたときの円周形

図2の色部分は円を8個並べたときの円周形です。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

10141

(1)図1の円周形の周りの長さは何cmですか。

(2)円を6個並べたときの円周形の周りの長さは何cmですか。

(3)円を100個並べたときの円周形の周りの長さは何cmですか。

(4)円周形の周りの長さが314cmになるのは、

   円をいくつ並べたときですか。

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(1)円の中心を結ぶと、正方形になります。

Bandicam_20171014_085244367

円周形の周りの長さは、正方形の内側部分なので、

1×2×3.14×1/4×4=6.28cm

(2)円が5つなら正五角形の内側、

円が6つなら正六角形の内側、

7つなら正七角形の内側、

8つなら正八角形の内側部分になります。

Bandicam_20171014_085229829

内角の和は正方形から1つ角数が増えるごとに180°増えるので、

円の個数をNとすると、

円周形の周りの長さは下の式で表せます。

10142

N=6なら、

(360+360)÷360×6.28=12.56cm

(3)N=100なら

(360+180×96)÷360×6.28

=360×49÷360×6.28

=49×6.28

=307.72cm

(4){360+180×(N-4)}÷360=50

180×(N-4)=360×49

N-4=98

N=102個

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2017年10月12日 (木)

電車に追い越されたのは?(2017年 桐朋中学)

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A君は午後3時にP駅を出発し、線路沿いの道をQ駅まで歩きました。

電車は午後3時15分にP駅を出発し、

A君を追いこしてQ駅に到着しま した。

A君が電車に追いこされたのは、A君がQ駅に到着する3分前で した。

A君の歩く速さは毎分80m、電車の速さは毎分480mです。

(1)A君が電車に追いこされた時刻は何時何分ですか。

(2)P駅からQ駅までの道のりは何mですか。

(3)A君が途中から Q駅まで毎分240mの速さで走ったとすると、

  電車と同時にQ駅に到着することができます。

  走りはじめた時刻は何時何分何秒ですか。

Train_greenIlm19_aa01016s

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10121

(1)電車の出発した3時15分には、

A君は、80×15=1200m進んでいます。

電車がこの1200mを追いつくには、

1200÷(480-80)=3分かかるので、

追いつく時刻は、3時18分です。

(2)A君がQ駅に着いたのは、

3時18分+3分=3時21分 なので、

A君が歩いた道のり=PQ間の距離=80×21=1680m

(3)

10122

PQ間を電車は、1680÷480=3.5分で走行するので、

Q駅に電車がついた時刻は、3時18分30秒

A君が18.5分でQ駅に着くためには、

18.5分を全部走ると4440mなので、

歩く時間は、(4440-1680)÷160=17.25分

走り始めるのは、3時17分15秒です。

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2017年10月11日 (水)

展開図と体積は?(2017年 広島大学附属中学)

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下の図は、ある四角柱の展開図の一部です。

この四角柱のもうひとつの底面を、側面「う」の下につけて、

展開図を完成させようと思います。

10110

(1)下の四角形①、②のうち、どちらをつければよいですか?

10111

(2)底面の対角線のうち、長いほうが8cm、短いほうが6cmだとすると、

   この四角柱の体積は何立方cmになりますか?

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(1)「あ」を「い」の位置まで回転して移動してみると。

①だとわかります。

10112

(2)底面は1辺が5cmのひし形になるので、

面積は、6×8÷2=24㎠

立体の体積は、

24×12=288立方cm

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2017年10月10日 (火)

辺BCの長さは何cm?(2017年 近畿大学附属中学)

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下の図は、ABの長さが4cmの長方形ABCDを、

対角線ACと点Cを中心とする半径4cmの円で、

4つの部分に分けたものです。

イとエの部分の面積が等しいとき、

辺BCの長さは何cmですか。

10101

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----------------------------------------------------

10102

対角線ACは長方形を2等分するので、

エ+ウ=ア+イ

エ=イ なので、

ア=ウ

黄+緑は長方形の半分なので、

半径4cmの半円の面積=長方形の面積

BCの長さ=4×4×3.14÷2÷4

=2×3.14=6.28cm

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2017年10月 8日 (日)

玉の個数の合計は?(2017年 駒場東邦中学)

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大きい箱と小さい箱に玉が入っていて、

玉の個数の比は5:3です。

小さ い箱から15個の玉を取り出して大きい箱に入れたところ、

玉の個数の比が3:1になりました。

大きい箱と小さい箱に入っている玉の個数の合計はいくつですか?

Cardboard_openCardboard_open_2

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玉の個数の合計は変わらないので、

比の合計を合わせてみると、

最初→大:小=5:3・・・・・5+3=8

移動後→大:小=3:1=6:2・・・・・6+2=8

小から大へ1移動したことがわかります。

この1が15個に当たるので、

個数の合計は、15×8=120個

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2017年10月 6日 (金)

移動の場合の数は?(2017年 東邦大学付属東邦中学)

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図のような、同じ大きさの正三角形を4つあわせてできる

立体ABCDがあります。

点Pは、はじめに頂点Aにあり、

となりあう3つの点のうち1つを選んで移動します。

次に移動した先の点から、それにとなりあう3つの点のうち

1つを選んで移動します。

このように、となりあう3つの点のうち1つを選んで移動することをくり返します。

このとき、次の問いに答えなさい。

Bandicam_20171006_090119883

(1)点Pが4回移動するとき、

  移動の仕方は全部で何通りあるか求めなさい。

(2)点Pが最も少ない回数の移動で、

  他の頂点をすべて通ってから頂点Aに戻る移動の仕方は
.
  全部で何通りあるか求めなさい。

(3)点Pが4回移動するとき、

  最後に点PがAでない頂点にあるような移動の仕方は

  全部で何通りあるか求めなさい。

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(1)3通りが4回なので、

3×3×3×3=81通り

(2)A→B、C、Dの3通り、

B、C、DそれぞれからAに戻らない行き方は2通り、

4回目はAに戻る1とおりなので、

3×2×1=6通り

(3)1回目はBCD

2回目は、ACD、ABD、ABC

3回目は、BCD、ABD、ABC、BCD、ACD、ABC、BCD、ACD、ABDなので、

A→6通り、B→7通り、C→7通り、D→7通り

4回目は、A以外Aに行けないので、選択肢は2通りなので、

6×3+7×2+7×2+7×2=60通り

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2017年10月 3日 (火)

面積の比と長さは?(2017年 世田谷学園中学)

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下の図のように、2つの正方形ア、イが重なった図形があります。

色部分は正方形で、その面積はアの1/4、 イの9/16にあたります。

太線で囲まれた図形の面積は172㎠です。

1031

(1)2つの正方形ア、イの面積の比を、最も簡単な整数で答えなさい。

(2)色部分の正方形の1辺の長さは何cmですか。

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1032

色部分の正方形の面積を⑨とすると、

区分けされた部分の面積比は図のようになり、

(1)ア:イ=36:16=9:4

(2)172㎠=43マルなので、

色部分の面積=172×9/43=36㎠

36=6×6 より、

1辺の長さは6cm

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2017年10月 1日 (日)

グラフからわかることは?(2017年 浅野中学)

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A君とB君は地点Pから6km離れた地点Qまで走り、

C君は自転車でQを出発してQP間を1往復します。

3人は同時に出発し、それぞれ次のように動きます。

A君:

PからQまで時速12kmで走りますが、

疲れやすいので、2km走るごとに走った時間と同じ時間だけ休みます。

B君:

PからQまで一定の速さで走り続けます。

C君:

Pに着いたら休まずにすぐに折り返すものとし、

行きと帰りで速さは違いますが、それぞれ一定の速さで走ります。


[グラフ1] はA君がPからQまで走った様子を表しています。


[グラフ1]

1011

このとき、後の (ア) 〜(オ)にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

(1)

A君がQに着くのは、Pを出発してから(ア)分後です。

(2)

A君がB君を追い越す、または、

B君がA君を追い越す回数の合計が3回のとき、

B君の速さは時速 (イ)km以上、(ウ)km未満です。

(3)

B君は、A君と同時にQに着く速さで走るものとします。

休んでいるA君をB君が追い越すときは2回あります。

その2回のとき、C君も同時にA君が休んでいるところを通過するものとします。

このとき、C君がQに戻ってくるのは、

Qを出発してから(エ)分(オ) 秒後になります。

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1012

(1)2kmを時速12kmで走ると、

2÷12=1/6時間→10分

ア=10×5=50分後

(2)B君の速さは上のグラフの 「あ」 の場合以上、

「い 」の場合未満ですから、

6÷ (1/6×5 ) =36/5=時速7.2km以上

4÷ (1/6×3 ) =8=時速8km未満

(3)

2÷7.2×60=50/3分・・・・・カ

50/3×4/2=100/3分・・・・・キ

50/3×6/(6-2)=25分・・・・・ク

25+(100/3-25)×6/4=37と1/2分

37分30秒後・・・・・エ、オ

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