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2017年9月

2017年9月30日 (土)

自転車の速さは?(2017年 大妻中学)

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Aさんは自転車で家を出発して5km離れた公園に行きましたが、

途中で2回休憩しました。

2回目の休憩は1回目の休憩より2分長くとりました。

グラフはそのときの道のりと時間の関係を表したもので、

自転車の速さは一定であるとします。

(1)自転車の速さは毎分何mですか。

(2)2回目は何分何秒休憩しましたか。

9301


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9302

(1)

2回目の休憩は2分長かったので、

1回目と同じ時間の休憩なら、休憩をはさみ

8分で 5-3.7=1.3km進んだことになります。

これが赤い部分のグラフですが、

これを、図のように0のスタートに重ねてみると、

休憩時間はおなじなので、

自転車は、20-8=12分で、

3.7-1.3=2.4km進むことがわかります。

その速さは、毎分2400m÷12分=200m です。

(2)

1.3kmを毎分200mの速さで進むと、

1300÷200=6.5分なので、

2回目の休憩時間は、

10-6.5=3.5分=3分30秒です。

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2017年9月28日 (木)

時速は?何秒かかるかな?(2017年 女子学院中学)

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列車Aの長さは238m、速さは時速126kmです。

列車Bの長さは160mです。

Green

(1)

列車Aが列車Bを追いこしているときに、

列車Aの座席に座っているJさんが 列車Bの最後尾の横に並んでから

列車Bの先頭の横に並ぶまでに、12秒かかりました。

このとき、列車Bの速さは時速何kmでしたか?

Train_orange

(2) 

列車Aと、(1)と同じ速さで走る列車B がすれ違っているときに、

列車B の座席に座っているGさんが、

列車Aの先頭の横に並んでから列車Aの最後尾の横に並ぶまで、

何秒かかりますか?

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(1)

図のようにJさんは160mを12秒で進んだわけですから、

その速さは時速、

60×60÷12×160=48000m=48km

列車Bの速さは時速、

126-48=78km

9281

(2)

AとBがすれ違う速さは時速、

126+78=204km

1分間で、204÷60=3.4km

Gさんが進んだ長さは図のように238m

その時間は、

238÷3400=0.07分→0.07×60=4.2秒

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2017年9月27日 (水)

赤い玉は何回 取り出したかな?(2017年 早稲田中学)

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赤い玉と白い玉がたくさん入っている箱があります。

この箱から1個ずつ玉を取り出し、その色によってコマを動かします。

赤い玉が出たら右に3マス、

白い玉が出たら左に2マスだけコマを動かすことにします。

これを100回くり返した ところ、

コマは始めの位置から5マスだけ右にありました。

赤い玉を全部で何回 取り出しましたか。

Ball149686_240

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100回全部白玉だと、コマは左に200マス動きます。

9271

1回赤玉の回数が増え、1回白玉の回数が減ると

右に、2+3=5マス動きます。

最初の0の位置に来るには、

200÷5=40回赤玉が増え、白玉が減ります。

そこから右に5マス動くには、

もう1回赤玉が増え、白玉が.減るので、

赤玉の回数は、40+1=41回です。.

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2017年9月25日 (月)

1列の積は?(2017年 智弁学園和歌山中学)

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次の9つのマス目に、

たて、横、ななめ、どの1列の3個の数の積も等しくなるように

異なる整数を書きます。

1列の積は何になりますか。


9251

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----------------------------------------------------

9252

4×A×B=12×2×B

4×A=24

A=6

4×C×D=12×6×D

4×C=72

C=18

1列の積=18×6×2=216

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2017年9月23日 (土)

上から水面までの長さは何cm?(2017年 鴎友学園女子中学)

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図のような円柱A、B、Cを組み合わせた形の密閉できる容器があります。

Aの底面の半径はBの底面の半径の1/2、

Cの底面の半径はBの底面の半径の1/3です。

A、Cの高さはそれぞれ31cm、18cmです。

いま、図のようにAを上にして縦に置き、

上から水面までの長さが7cmになるように水を入れ、密閉しました。

Cを上にしたと き、上から水面までの長さは何cmになり ますか?

Bandicam_20170923_083920116Bandicam_20170923_083934585

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Aの半径とCの半径の比は、1/2:1/3=3:2

みずの入っていない部分の体積が等しくなるので、

Aの半径を□cmとすると、

(2/3×□)×(2/3×□)×3.14×(求める長さ)=□×□×3.14×7

4/9×求める長さ=7

求める長さ=15.75cm

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2017年9月22日 (金)

整数は何個できますか?(2017年 京都産業大学附属中学)

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次のような6枚のカードがあります。

9221

Hpsd1201cs

この6枚のカードから3枚を取り出して並べ、

3けたの整数をつくります。

次の問いに答えなさい。

(1)3けたの整数は何個できますか。

(2)3けたの偶数は何個できますか。

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(1)

100の位が1の場合

1→10の位が1のとき→1の位は3通り

1→10の位が2のとき→1の位は3通り

1→10の位が3のとき→1の位は2通り

100の位が2の場合

2→10の位が1のとき→1の位は3通り

2→10の位が2のとき→1の位は2通り

2→10の位が3のとき→1の位は2通り

100の位が3の場合

3→10の位が1のとき→1の位は2通り

3→10の位が2のとき→1の位は2通り

合計19通り

(2)

1の位は2に決るので、

100の位は3通り←10の位が1のとき←2

100の位は2通り←10の位が2のとき←2

100の位は2通り←10の位が3のとき←2

合計7通り

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2017年9月20日 (水)

速さと道のりは?(2017年 学習院女子中等科)

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ヤエさんは自宅から1km離れた友人の家まで歩いていくことにしました。

8時ちょうどに自宅を出て、途中の図書館に 5分間立ち寄り、

8時25分に友人の家に到着する予定でした。

しかし、図書館を出てから5分後に、

友人の家とは違う 方向に進んでいることに気づき、

走って図書館まで同じ道を引き返し、

そのまま走り続けて友人の家に向かったところ、

予定より5分遅れて到着しました。

ヤエさんが走った時間が8分間であったとき、

次の問いに答えなさい。

ただし、ヤエさんの歩く速さ、走る速さはそれぞれ一定であるとします。

Smartphone_woman_walk

(1)ヤエさんの歩く速さは分速何mですか。

(2)自宅から図書館までの道のりは何mですか。

(3)ヤエさんの歩く速さと走る速さの比を最も簡単な整数で答えなさい。

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9201

(1)予定では8時25分到着予定なので、

25-5=20分で1kmを歩く予定でした、

歩く速さは、分速 1000÷20=50m です。

(2)実際の到着時間は8時30分なので、

違う方向で引き返したのが8時22分

図書館を出たのが、8時22分-5分=8時17分

図書館に着いた時間が、8時17分-5分=8時12分

図書館まで12分で歩いたので、

その道のりは、50×12=600m

(3)歩くと8分間では、50×8=400m 進みます。

8分間走った道のりは、50×5+(1000-600)=650m

速さの比は、歩き:走り=400:650=8:13

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2017年9月17日 (日)

切り口の面積は?(2017年 東大寺学園中学)

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下の図は三角柱の展開図です。

三角形「あ」、「い」はどちらも直角二等辺三角形であり、

四角形「う」、「え」はどちらも対角線の長さが2cmの正方形です。

また、点P、Q、RはそれぞれAB、GH、DFの真ん中の点です。

この展開図を組み立ててできる三角柱と、

形も大きさも同 じものを粘土で作りました。

それを、3点P Q Rを含む平面で切断したときの

切り口の面積を求めなさい。

ただし、1辺の長さが1cmの正三角形の面積を0.43㎠とします。

9171

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切り口は図のように、正六角形の半分になります。

9172

PQの長さは正方形の対角線の長さの半分で1cm、

△黄は1辺1cmの正三角形なので、

切り口の面積は、

0.43×6÷2=1.29㎠

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2017年9月16日 (土)

得票数は?(2017年 立教池袋中学)

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ある学校で、A、B、Cの3人の中から生徒会長を決める選挙を行いました。

Aの得票数は全体の48%で、Bの得票数はCの得票数の4/9倍でした。

また、AとBの得票数の差は232票でした。

次の問いに答えなさい。

(1)AとBの得票数の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

(2)Cの得票数は何票でしたか。

Gakkatsu_homeroom

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図のように、B+C=52%です。

9161

(1)

B=0.52×4/13=0.16

A:B=0.48:0.16=3:1

(2)

C=0.52×9/13=0.36

A-B=0.48-0.16=0.32

32%が232人にあたるので、

Cの36%は、(0.36/0.32)×232=261人

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2017年9月15日 (金)

辺ABの軌跡の面積は?(2017年 横浜共立学園中学)

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下の(図1)のように、

縦4cm、横3cm、対角線の長さが5cmの長方形ABCD があります。

この長方形は直線 ℓ 上を図の「あ」の位置から「う」の位置まで、

すべる ことなく1回転します。

図1

9152

下の(図2)のおうぎ形APCとおうぎ形BDQが重なった部分の面積は

4.28㎠です。

長方形ABCDが「あ」の位置から「う」の位置まで回転したとき、

辺ABが通ったあとにできる図形の面積は何㎠ですか。

円周率は3.14とします。

図2

9151

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辺ABの軌跡は図のようになります。

9153

青部分を赤部分に移動すると、求める面積は、

半径5cm、中心角90°の扇形から

半径4cm、中心角90°の扇形を引いた図形が2つと

半径3cm、中心角90°扇形が2つ加えたものになりますが、

重なった緑色部分を引かなくてななりません。

9155

重なった部分の面積=4.28-3×2÷2=1.28㎠

求める面積=

(5×5×3.14÷4-4×4×3.14÷4)×2+3×3×3.14÷4×2-1.28

=9×3.14÷4×2+9×3.14÷2-1.28

=9×3.14-1.28

=26.98㎠

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2017年9月13日 (水)

3色の糸で囲まれている部分の面積は?(2017年 洛星中学)

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図の円柱に、青色の糸をAからDまで側面を半周し

長さが最も短くなるように巻きつけます。

次に、黄色の糸をDからAまで側面を半周し

長さが最も短くなるように巻きつけます。

さらに赤色の糸をAからCまで側面を1周し

長さが最も短くなるように巻きつけます。

このとき、側面のうち3色の糸で囲まれている部分の面積は何㎠ですか?


9131

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最短距離でひもを結ぶと、円柱の展開図では

図のように直線になります。

9132

白い三角形が求める面積です。

△DAAは長方形の半分で、

△ピンクと△水色は相似で、相似比は1:2なので、

△水色の高さは、6×2/3=4cm

したがって、△DAEの面積は、

6×5×2×3.14÷2-5×2×3.14×4÷2

=10×3.14×(3-2)

=31.4㎠

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2017年9月11日 (月)

辺PQの軌跡は△PQRの何倍?(2017年 頌栄女子学院中学)

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下の図はOを中心とする半径3cmの円の一部です。

1辺が1cmの正三角形PQR を次のように動かしました。

・正三角形PQRの頂点 Pは、図の曲線部分をAからBまで動く。

・半径OAと辺PQ は常に平行である。

このとき、辺PQが通った部分の面積は正三角形PQRの何倍ですか?

9111

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図のように、

黄色部分を緑色部分に移動してみると、

6倍であることがわかります。

9112

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2017年9月 9日 (土)

OP=PRの長さは何cm?(2017年 灘中学 1日目)

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下の図のような、

辺の長さがすべて10cmの四角すいO-ABCDがあります。

辺 OA、OB、OC上に点 P、Q、R を

(OPの長さ)=(ORの長さ)=( ? )cm

(OQの長さ)=6cm

となるようにとると、

3点P、Q、Rを通る平面上に点Dがあります。

OPとORの長さは何cmですか?

Bandicam_20170909_084145452

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P,Q、R、Dを通る平面は下図のようになります。

Bandicam20170909

AとCの方向から見ると、図のようになります。

9091

Qから底面に垂線を下し、交わる点をHとすると、

△DQHと△DPAは相似になり、

DH:DC=8:5

四角錐の高さを5とすると、QH=2となるので、

PとRの底面からの高さは、

2×5/8=1.25

OA=10cm なので、

OP=OR=10-10×1.25/5=7.5cm

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2017年9月 7日 (木)

角度は?長さは?面積は?(2017年 巣鴨中学)

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下の図のようなAB=CD=DAで、

BCとDCではさまれた角の大きさが30°の台形ABCDがあります。

AEはBDと点Hで垂直に交わり、

BCとECではさまれた角の大きさは45°です。

また、EC=8cmです。

9071





(1)角アの大きさは何度ですか?

(2)BHの長さは何cmですか?

(3)台形ABCDの面積は何㎠ですか?

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9072

(1)

∠ABCも30°、

∠BAE=150÷2=75°

∠AFC=30+75=105°

∠CFE=180-105=75°

∠ア=180-(45+75)=60°

(2)

DBが∠ABCを2等分するように、

ACも∠ACEを2等分するので、∠ACB=15°

∠ACE=15+45=60°になるので、

△AECは正三角形になり、

AC=8cm

BD=AC=8cmなので、

BH=8÷=4cm

(3)

9073


直角三角形DGHをAIBに移動すると、

台形ABCDの面積=長方形IBGDの面積

長方形IBGDの面積=直角三角形DBGの面積×2

直角三角形DBGは正三角形の1辺を斜辺として、

15°、75°、90°の直角三角形なので、

直角三角形EJDと合同になり、

台形ABCDの面積=長方形IBGDの面積=△AED=△BEA

△BEAの面積=8×4÷2=16㎠

台形ABCDの面積=16㎠

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2017年9月 5日 (火)

影の長さは?(2017年 芝中学)

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80cmの棒に光をあてると、地面に1mの影ができます。(図1)

ただし、光のあて方は同じです。

黒い太線はそれぞれ影を表します。

(1)5mの棒に光をあてると、地面に何mの影ができますか。

(2)何mの棒に光をあてると、

   地面と壁に合わせて5mの影ができますか。(図2)

(3)(2)の棒に光をあてると、

   地面と段差に合わせて|何mの影ができますか。(図3)

9051

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(1)

棒:影=0.8:1 なので、

5mの棒の場合、0.8:1=5:影 なので、

影の長さ=5÷0.8=6.25m

9052

(2)

2:A=0.8:1 なので、

A=2÷0.8=2.5m

棒:(3+2.5)=0.8:1 なおで、

棒の長さ=5.5×0.8÷1=4.4m

(3)

3+0.5+B=5.5 なので、

B=2

C:2=0.8:1 なので、

C=1.6

影の長さ=3+0.5+1.6=5.1m


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