アの角度は？長さ比は？（今年 ２０１７年 城北中学）

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図の四角形ＡＢＣＤはＡＤとＢＣが平行な台形で、

点Ｅは辺ＡＢの真ん中の点です。

ＤＡとＤＦ、ＣＦとＣＢの長さがそれぞれ等しく,、

ＡＦとＤＥの交わる点をGとします。

（１）角アの大きさは何度ですか。

（２）図の三角形ＡＥＧと三角形ＤＧＦの面積の比が３：２のとき、

　　長さの比 DG:：FBを求めなさい。

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（１）BFとADを延長して、その交点をHとすると、

△DFHと△CFBは相似になり、

●＋●＋▲＋▲＝１８０°なので、

●＋▲＝９０°より、

∠ア＝９０°

（２）

上の図で，△ＤＦＨと△ＣＦＢは相似な二等辺三角形なので、

ＤＨ＝ＤＦ＝ＡＤ

よって、ＥＤとＢＨは平行になり、

△ＡＥＧと△ＡＢＦは相似です。

したがって、 ＡＧ：ＧＦ＝ＡＥ：ＥＢ＝１：１

△黄の底辺をAG、△緑の底辺をGFとすると、

底辺が等しいので、面積の比は、高さの比になり、

DG：GE＝２：３

FBはGEの２倍なので、６となり、

DG：FB＝２：６＝１：３

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