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2017年8月

2017年8月19日 (土)

黄色部分の面積は?(2017年 明治大学付属中野中学)

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下の図の四角形は一辺の長さが18cmの正方形です。

このとき、黄色部分の面積は何㎠ですか?を

1212_e0

8191

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色のついた直角三角形が、みな相似になることがわかります。

8192

FGを③とすると、AG=①、DG=⑨ ですから、

AD=⑩=18cm なので、

FG=③×18÷⑩=5.4cm

求める面積=18×5.4÷2=48.6㎠


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2017年8月18日 (金)

流れの速さが2倍になると?(2017年 市川中学)

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静水時の速さが一定である船が、

流れの速さが一定である川の上流にある A町と下流にある B町を往復します。

A町から B町に行くのにかかる時間は、

B町からA町に行くのにかかる時間の半分です。

川の流れの速さが2倍になったとき、

A町からB町に行くのにかかる時間は、

B町からA町に行くのにかかる時間の何倍になりますか。

Trawler26557_640

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8181

かかる時間が半分ということは、速さが2倍ということです。

AからBまでの速さを2

BからAまでの速さを1とし、

船の速さを〇、川の流れの速さを□とすると、

〇+□=2

〇-□=1 なので、

2×〇=3

〇=3/2

□=1/2 となります。

□=1/2×2=1 となると、

A→B=3/2+1=5/2

B→A=3/2-1=1/2 となって、

A町からB町に行くのにかかる時間は、

B町からA町に行くのにかかる時間の

1/2÷5/2=1/5倍です。

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2017年8月17日 (木)

色のついた部分の面積は?(2017年 東京農業大学第一高等学校中等部)

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図のように、

半径4cmの円の中に半径2cmの円が4つ入っています。

このとき、 色のついた部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。


8171

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図のように、真ん中の緑部分を黄色部分に移動します。

8172

すると、求める面積は、半径4cmの円から

対角線が8cmの正方形を引いた部分になることがわかります。

4×4×3.14-8×8÷2=18.24㎠

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2017年8月15日 (火)

△ABCの面積の何倍?(今年 2017年 広尾学園中学)

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下の図において色部分の三角形AGHの面積は

三角形ABCの面積の何倍になりますか?

ただし、BH::GE=5:7、BH:HE=2:1、AE:EC=1:1 です。

なお、この図は正確な長さで描かれていません。

8151

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BH::GE=5:7 と BH:HE=2:1 の共通するBHを

比をそろえてみます。

BH::GE=10:14 、 BH:HE=10:5 

すると、GH=14-5=9 になるので、

GHはBEの9/15=3/5

したがって、△AGHは△ABCの

1/2×3/5=3/10倍

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2017年8月12日 (土)

アの角度は?長さ比は?(今年 2017年 城北中学)

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図の四角形ABCDはADとBCが平行な台形で、

点Eは辺ABの真ん中の点です。

DAとDF、CFとCBの長さがそれぞれ等しく,、

AFとDEの交わる点をGとします。

8121

(1)角アの大きさは何度ですか。

(2)図の三角形AEGと三角形DGFの面積の比が3:2のとき、

  長さの比 DG::FBを求めなさい。

8122

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(1)BFとADを延長して、その交点をHとすると、

△DFHと△CFBは相似になり、

●+●+▲+▲=180°なので、

●+▲=90°より、

∠ア=90°

(2)

上の図で,△DFHと△CFBは相似な二等辺三角形なので、

DH=DF=AD

よって、EDとBHは平行になり、

△AEGと△ABFは相似です。

したがって、 AG:GF=AE:EB=1:1

△黄の底辺をAG、△緑の底辺をGFとすると、

底辺が等しいので、面積の比は、高さの比になり、

DG:GE=2:3

FBはGEの2倍なので、6となり、

DG:FB=2:6=1:3

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2017年8月10日 (木)

花子さんは何歳?(今年 2017年 豊島岡女子学園中学)

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2017年1月1日の豊子さんは22歳でした。

何年か前の1月1日には花子さんは20歳で、

そのときの2人の年齢の合計は

2017年1月1日の年齢の合計のちょうど半分でした。

2017年1月1日の花子さんは何歳で したか。

Clothes129

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8101

何年か前の豊子をA歳、2017年の花子をB歳とします。

何年か前の年数を□年とすると、

A=22-□

B=20+□

A+B=(22-□)+(20+□)=42歳

したがって、

何年か前の2人の合計 + 2017年の2人の合計

緑+黄

42×2=84歳

緑:黄=1:2 なので、

黄=84×2/3=56歳

2017年の花子の年齢=56-22=34歳


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2017年8月 8日 (火)

ア=?、イ=?、ウ=?、エ=?(今年 2017年 慶應義塾中等部)

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次の筆算が成り立つような4桁の整数ABCDを考えます。

4桁の整数ABCDが最も小さくなるのは、

A=ア、B=イ、C=ウ、D=エ のときです。

ただし、A、B、C、Dは 異なる1桁の整数を表しているものとし、

■は、筆算の中の1桁の整数を塗りつぶしたものです。

ア=?、イ=?、ウ=?、エ=?

Bandicam_20170808_073436238

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D×ABCD=■■Dとなるのは、

D=5 か 6 のときですが、

D=5 では、C×ABC5=■C に該当するCがありません。

したがって、D=6が決まります、

C×ABC6=■C が成り立つCは、C=2、4、8 で、

同様に、

B×ABC6=■B

A×ABC6=■■A

の場合も、成り立つのは 2か4か8 なので、

ABCには2か4か8が入ります。

  2486

×)2486 

千の位を2にすると、

2×2BC6=■■2←このように、繰り上がりません。

  4286

×)4286

これも、2×4286が繰り上がらず5桁になりません。

  4826

×)4826

これも、2×4826が繰り上がらず5桁になりません。

したがって、成り立つのは、

  8246

×)8246

A=ア=8、B=イ=2、C=ウ=4、D=エ=6

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2017年8月 5日 (土)

長さ比は?面積比は?(今年 2017年 東邦大学付属東邦中学)

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図のような長方形ABCDに おいて、辺ADを3等分する点をE、Fとします。

ACとBDの交点をG、ACとBFの交点をH、BDとCFの交点をIとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) (AHの長さ) と (HGの長さ) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

(2) (三角形AGFの面積) と (三角形BGHの面積) の比を

   最も簡単な整数で表しな さい。

(3) (三角形CIGの面積と三角形DFIの面積の差) と

    (三角形BGHの面積) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

8051

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8052

(1)

△黄と△緑は相似で、相似比は2:3

AH:HC=2:3

AC=5とすると、AGは5×1/2=2.5

HG=2.5-2=0.5

AH:HG=2:0.5=4:1

(2)

8053

△AGD=△ABG=長方形ABCDの1/4

△AGF=1/4×2/3=長方形ABCDの1/6

△BGH=1/4×1/(4+1)=長方形ABCDの1/20

△AGF:△BGH=1/6:1/20=10:3

(3)

△AGF=△CGF

△CIGと△DFIの差=△CGFと△DGFの差

△DGF=△AGF×1/2

△AGF=10とすると、△DGF=5

△CGF-△DGF=10-5=5

△BGH=3なので、

(△CIGと△DFIの差):△BGH=5:3

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2017年8月 3日 (木)

正三角形と正六角形の面積の比は?(今年 2017年 桐朋中学)

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正三角形と正六角形があります。

正三角形の周の長さは、正六角形の周の長さの2倍です。

この正三角形と正六角形の面積の比を求めなさい。

Bandicam_20170803_082911888

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Bandicam_20170803_083512849

図のように、正三角形:正六角形=16:6=8:3

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2017年8月 1日 (火)

三角形DEFの面積は?(今年 2017年 久留米大学附設中学)

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図のような平行四辺形ABCDがあり、その内部に点Eをとります。

点Eを通り、辺ADに平行な直線と辺CDとの交点をFとします。

三角形ABE、三角形BCE、三角形 DAEの面積がそれぞれ

15㎠、24㎠、9㎠のとき、

三角形DEFの面積は何㎠ですか?

8011

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△DAEを△DAFに、

△BCEを△BCFに等積移動し、

さらに、△BCFを△ACFに等積移動すると、

△ACDは平行四辺形ABCDの半分になります。


8012

つまり、24+9=33㎠が平行四辺形の半分なので、

平行四辺形ABCD=33×2=66㎠

△DEC=66-(15+24+9)=18㎠

△DAEと△BCEは底辺が同じ長さなので、

高さの比が、9:24=3:8

したがって、DF:FC=3:8 になるので、

△DEF=18×3/11=4と10/11㎠

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