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2017年7月22日 (土)

A地点から太郎君までの距離は?(今年 2017年 関西学院中学部)

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A地点に高さ3.9mの電灯が、B地点に高さ4.5mの電灯が立っています。

A地点とB地点は平らな直線の道でつながっていて、9m 離れています。

身長150cmの太郎君がこの道を歩きます。

2つの 電灯が作る影の長さが等しくなるとき、

A地点から太郎君までの距離は何mですか?

Bandicam20170722095035453

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影の長さが等しいときの太郎君の位置は、下図のようになっています。

7223

△青と△緑は相似で、相似比は4.5:1.5

△赤と△黄も相似で、相似比は3.9:1.5

影の長さを□、影の先端からAまでの長さを〇とすると、

(〇+2×□):□=3.9:1.5 なので、

3.9×□=1.5×(〇+2×□)

3.9×□=1.5×〇+3×□

0.9×□=1.5×〇・・・・・①

(9-〇):□=4.5:1.5

4.5×□=1.5×(9-〇)

4.5×□=13.5-1.5×〇・・・・・②

①×5 とすると、

4.5×□=7.5×〇

7.5×〇=13.5-1.5×〇

9×〇=13.5

〇=1.5m

0.9×□=1.5×1.5=2.25

□=2.5m

太郎君の位置はAから、

〇+□=1.5+2.5=4m

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コメント

太郎君の頭を通り地面と平行な直線を引くと、解きやすそうです

A地点にある電灯の位置をA1、A地点をA2、A地点の電灯の影が地面と交わる点をA3、A地点の電柱と太郎君の頭を通り地面と平行な直線の交点をA4、
B地点にある電灯の位置をB1、B地点をB2、B地点の電灯の影が地面と交わる点をB3、B地点の電柱と太郎君の頭を通り地面と平行な直線の交点をB4、
太郎君の頭をT1、地面と接する部分をT2
とする
A1A4T2とT1T2A3は相似
B1B4T2とT1T2B3は相似
T1T2B3とT1T2B3は合同
だから
A1A4T2とB1B4T2は相似
よって、
A4T2:B4T2=A1A4:B1B4

A1A4=A1A2-A4A2=3.9-1.5=2.4m
B1B4=B1B2-B4B2=4.5-1.5=3m

A4T2:B4T2=2.4:3
太郎君の位置と電灯Aの距離はA4T2なので
A4T2=9*A4T2/(A4T2+B4T2)
=9*2.4/(2.4+3)
=9*2.4/5.4
=9*4/9
=4m

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