数並びの規則性は？（今年 ２０１７年 筑波大学附属駒場中学）

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図のように、同じ大きさの正三角形をしきつめて、

それぞれの三角形に規則的に1、2、3、4、...と数を書きこみます。

例えば、5は3段目の左から2番目の三角形に書かれています。

また、4段目の左から5番目の三角形に書かれている数は15です。



次の問いに答えなさい。

(1) 10段目の一番左にある三角形に書かれている数を答えなさい。

(2) 2017が書かれている三角形は、

　　何段目の左から何番目の三角形ですか。

(3) しきつめられた図形の一部で、

　　6個の正三角形からなる正六角 形に注目し、

　　その中の6つの数のうち最も大きい数と、6つの数 の和を考えます。

　　例えば、下図の太線で囲まれた正六角形において、

　　6つの数のうち最も大きい数は15であり、6つの数の和は61です。

　　6つの数の和が610であるとき、6つの数の中で最も大きい数を答えなさい。

 

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右端の数は段数の平方数

左端の数は、段数×（段数－１）＋１　になっています。

したがって、

（１）１０×（１０－１）＋１＝９１

（２）４５×４５＝２０２５　なので、

４５段目を左端から調べていきます。

左端は、４５×４４＋１＝１９８１

２０１７－１９８１＝３６　なので、

△は３７個、▽は３６こあり、

４５段目の、左から、３７＋３６＝７３番目です。

（３）六角形の和は左端の数×６や

右端の平方数×６よりやや大きくなっています。

このことから見当をつけると、

１０～１１段目の六角形に和が６１０になるものがありそうです。

１０段目の左端の数は、１０×９＋１＝９１

これを含む六角形の和は、５８０

六角形を右に１つずらすと

その和が６増える規則性があることを発見するのがポイントです。

（６１０－５８０）÷６＝５　なので、

右に５つずらすと、最大の数は、１１２＋５＝１１７になります。

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