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2017年5月27日 (土)

数並びの規則性は?(今年 2017年 筑波大学附属駒場中学)

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図のように、同じ大きさの正三角形をしきつめて、

それぞれの三角形に規則的に1、2、3、4、...と数を書きこみます。

例えば、5は3段目の左から2番目の三角形に書かれています。

また、4段目の左から5番目の三角形に書かれている数は15です。

Bandicam_20170527_083754892

次の問いに答えなさい。

(1) 10段目の一番左にある三角形に書かれている数を答えなさい。

(2) 2017が書かれている三角形は、

  何段目の左から何番目の三角形ですか。

(3) しきつめられた図形の一部で、

  6個の正三角形からなる正六角 形に注目し、

  その中の6つの数のうち最も大きい数と、6つの数 の和を考えます。

  例えば、下図の太線で囲まれた正六角形において、

  6つの数のうち最も大きい数は15であり、6つの数の和は61です。

  6つの数の和が610であるとき、6つの数の中で最も大きい数を答えなさい。

Bandicam_20170527_083807014 

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右端の数は段数の平方数

左端の数は、段数×(段数-1)+1 になっています。

したがって、

(1)10×(10-1)+1=91

(2)45×45=2025 なので、

45段目を左端から調べていきます。

左端は、45×44+1=1981

2017-1981=36 なので、

△は37個、▽は36こあり、

45段目の、左から、37+36=73番目です。

(3)六角形の和は左端の数×6や

右端の平方数×6よりやや大きくなっています。

このことから見当をつけると、

10~11段目の六角形に和が610になるものがありそうです。

5271

10段目の左端の数は、10×9+1=91

これを含む六角形の和は、580

六角形を右に1つずらすと

その和が6増える規則性があることを発見するのがポイントです。

(610-580)÷6=5 なので、

右に5つずらすと、最大の数は、112+5=117になります。


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