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2017年5月

2017年5月30日 (火)

円が動いた面積は?(今年 2017年 雙葉中学)

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半径3cmの円A、Bがあります。

下の図のように、円Aが円Bの円周にそって、

(あ)の位置から時計まわりにすべらずに回転して、

(い)の位置まで動きました。

(1)コンパスと定規を使って、円Aが通った部分を斜線で示しましょう。

(2)(1)の斜線部分の面積は何㎠ですか。 円周率は3.14です。

5301

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Bandicam_20170530_073126841_2

9×9×3.14×300/360-3×3×3.14×300/360+3×3×3.14

=(81-9)×  3.14×5/6+9×3.14

=(72×5/6+9)×3.14

=69×3.14

=216.66㎠

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2017年5月28日 (日)

切られる立方体はいくつ?(今年 2017年 筑波大学附属中学)

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同じ大きさの立方体を、

図のように64個積み重ねて大きな立方体をつくり、

その立方体を3つの頂点A、B、Cを通る平面で切ります。

その平面で切られる立方体の個数はいくつですか。


5281

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一番上の段の途中では、

図のように7個の立方体が切断されることがわかります。

Bandicam_20170528_093945823

2段目では5個

Bandicam_20170528_094009324

3段目では3個

Bandicam_20170528_094022416

一番下の段では、1個

Bandicam_20170528_094035434

合計、7+5+3+1=16個 です。

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2017年5月27日 (土)

数並びの規則性は?(今年 2017年 筑波大学附属駒場中学)

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図のように、同じ大きさの正三角形をしきつめて、

それぞれの三角形に規則的に1、2、3、4、...と数を書きこみます。

例えば、5は3段目の左から2番目の三角形に書かれています。

また、4段目の左から5番目の三角形に書かれている数は15です。

Bandicam_20170527_083754892

次の問いに答えなさい。

(1) 10段目の一番左にある三角形に書かれている数を答えなさい。

(2) 2017が書かれている三角形は、

  何段目の左から何番目の三角形ですか。

(3) しきつめられた図形の一部で、

  6個の正三角形からなる正六角 形に注目し、

  その中の6つの数のうち最も大きい数と、6つの数 の和を考えます。

  例えば、下図の太線で囲まれた正六角形において、

  6つの数のうち最も大きい数は15であり、6つの数の和は61です。

  6つの数の和が610であるとき、6つの数の中で最も大きい数を答えなさい。

Bandicam_20170527_083807014 

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右端の数は段数の平方数

左端の数は、段数×(段数-1)+1 になっています。

したがって、

(1)10×(10-1)+1=91

(2)45×45=2025 なので、

45段目を左端から調べていきます。

左端は、45×44+1=1981

2017-1981=36 なので、

△は37個、▽は36こあり、

45段目の、左から、37+36=73番目です。

(3)六角形の和は左端の数×6や

右端の平方数×6よりやや大きくなっています。

このことから見当をつけると、

10~11段目の六角形に和が610になるものがありそうです。

5271

10段目の左端の数は、10×9+1=91

これを含む六角形の和は、580

六角形を右に1つずらすと

その和が6増える規則性があることを発見するのがポイントです。

(610-580)÷6=5 なので、

右に5つずらすと、最大の数は、112+5=117になります。


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2017年5月25日 (木)

立方体を何個使っていますか?(今年 2017年 鎌倉学園中学)

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同じ大きさの立方体をいくつか積み上げて立体を作りました。

その立体の

(A) 真正面から見た図

(B) 真上から見た図

(C)真横から見た図 を見て、

何個の立方体からできているか答えなさい。

ただし、使う立方体の個数は最も少ない個数を考えます。

例→  5個

5251


5252

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(1)

Bandicam_20170525_091600006

9個

(2)

Bandicam_20170525_091311096

15個

(3)

Bandicam_20170525_090951086

23個

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2017年5月23日 (火)

CDの長さは何cmですか?(今年 2017年 暁星中学)

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角ABCが30°で、

辺ABと辺ACの長さが等しい三角形ABCがあります。

角CADが90°になるように、辺BC上に点Dをとります。

辺 BDの長きが2cmのとき、辺CDの長さは何cmですか?


5231_2


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5232

∠CAB=180-30×2=120°

∠BAD=120-90=30°

△ABDは二等辺三角形で、

AD=BD=2cm

△黄は30°、60°、90°の直角三角形なので、

CD=AD×2=4cm

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2017年5月21日 (日)

Dは何勝何敗でしたか?(今年2017年の問題から 桜美林中学)

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A、B、C、Dの4人が1対1で行うゲームをしました。

お互いに1回は必ず対戦し、同じ人と2回対戦した人もいました。

すべてのゲームで引き分けはなく

結果はAが1勝2敗、Bが3勝、Cが4敗でした。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)Aは誰に勝ちましたか ?

(2)Dは何勝何敗でしたか?

Ilm11_bc07010s

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対戦表にまとめると下の表のようになります。

5211

AはBに負け、Cに勝ち、1勝2敗なので、

Dに負けたことになります。

AもBも3回対戦し、Cが4敗なので、Dが4回対戦しています。

DはCと2回対戦して2勝したことになり、

3勝1敗です。

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2017年5月20日 (土)

注意深く数えていかないと・・・(第12回算数オリンピック、トライアル問題より)

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Bandicam_20170520_093845251

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Bandicam_20170520_093809230

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2017年5月18日 (木)

三角形AEDの面積は?(今年 2017年 桐朋中学)

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下の図の長方形ABCDで、

ABの長さは8cm、BCの長さは6cmです。

また、三角形 DFCの面積は20cm㎠、

三角形 DEFの面積は16㎠です。

(1)BFの長さは何cmですか。

(2)三角形AEDの面積は何㎠ですか。

5181

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5182

(1)△DBCは長方形の面積の半分なので、

8×6÷2=24㎠

△DBFの面積=24-20=4㎠

BF=4×2÷8=1cm

(2)EからCDに垂線を下し、その交点をQとすると、

△DEPの面積=△黄

△EFOの面積=△緑

△DEFの面積=△黄+△緑=△ABP=16㎠

したがって、EP=16×2÷8=4cm

PQ=2cm

△DPQと△DFCは相似で、相似比は、2:5

DQ=AE=8×2/5=3.2cm

△AEDの面積=3.2×6÷2=9.6㎠

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2017年5月16日 (火)

緑部分の面積は?(今年 2017年 明治大学付属明治中学)

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図のような1辺の長さが10cmの正方形があり、

辺上の点は各辺を5等分しています。

緑部分の面積は何㎠ですか?


5160

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図のように、△黄と△青を移動して、

小さな正方形に分けてみると、

緑部分は全体(赤)の9/29になることがわかります。

5162

したがって、面積は、

10×10×9/29=31と1/29㎠

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2017年5月14日 (日)

5度目に集まるのは何秒後?(今年 2017年 青山学院中等部)

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図のような1辺の長さが1cmの正方形ABCDがあります。

4つの点P、Q、R、Sは、それぞれ預点A、B、C、Dを同時に出発し、

それぞれ1秒間に1cm、2cm、3cm、4cmの速さで

周上を矢印の方向に移動します。

4つの点が同じ頂点に集まるときがありますが

5度目に集まるのは出発してから何秒後ですか?

5141

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Pが頂点に来るのは、1秒後、2秒後、3秒後、・・・と整数秒後です。

Sは整数秒後には、必ずDに来ます。

したがって、4点がいっしょに集まる頂点はDになるので、

同時にDに来る時間を調べると、

   1  2  3  4  5  6  7  8  ・・・・ 秒

P  B  C  D  A  B  C  D  A  ・・・・

Q  D  B  D  B  D  B  D  B  ・・・・

R  B  A  D  C  B  A  D  C  ・・・・

S  D  D  D  D  D  D  D  D  ・・・・

1回目の3秒後の後は、4秒ごとにDで集まることがわかります。

1回目→3秒後

2回目→7秒後

3回目→11秒後

4回目→15秒後

5回目→19秒後

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2017年5月13日 (土)

塗られた面と塗られていない面の比は?(今年 2017年 白百合学園中学)

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図1

5131



図1のような直方体の積み木をいくつか並べて

図2のような 立方体をつくりました。

図2

Bandicam_20170513_084330106

ただし、辺ABがもっとも短く、辺ADがもっとも長いものとします。

(1) 辺ABと辺BCの長さの比をもっとも簡単な整数の比で表すと、

    何:何ですか?

(2) 図2の立方体の表面をペンキでぬります。

この立方体をくずしてばらばらにしたとき、

1つ1つの直方体はぬられている部分とぬられていない部分に分かれます。

使った積み木すべてのぬられている部分の面積の合計と、

ぬられていない部分の面積の合計を

もっとも 簡単な整数の比で表すと、何:何ですか?

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(1)AB×6=BC×4 なので、

AB:BC=4:6=2:3

(2)AB×BCの面を①とすると、

図1の左右の面は、2×12÷6=④

上下の面は、3×12÷6=⑥ となります。

塗られた面は、④×6×6=144

塗られていない隠れている面は、

⑥×2×5×4+④×6×2×3=384

塗られた面:塗られていない面=144:384=3:8

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2017年5月 9日 (火)

切り口の形は?(今年 2017年 高槻中学)

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図のような正六角形を底面とする六角柱があります。

この六角柱の頂点12点のうちAを含む4点を選び、

その4点を通る平面でこの六角柱の体積が半分になるように切断します。

Bandicam_20170509_073220350_2

(1)切り口が四角形となるようなA以外の3頂点の組をすべて答えなさい。

(2)四角形とならないときの切り口は何角形になりますか。

  また、そのときのA以外の3頂点の組をすべて答えなさい。

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(1)

Bandicam_20170509_073554518

EHJとCJL

Bandicam_20170509_073654702

DGJ

(2)

Bandicam_20170509_073448142

六角形になるのは、FIJとBJK

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2017年5月 7日 (日)

三角形RBCの面積は?(今年 2017年 渋谷教育学園渋谷中学)

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下の図のように、三角形ABCの辺AB、ACの上に点 P、Qを、

それぞれAP:PB=4:1、AQ:QC=1:1となるようにとります。

さらに直線 PQのPとQの間に点Rを、

三角形 BPRと三角形CQRの面積が等しくなるようにとります。

三角形ABCの面積が50㎠のとき、三角形RBCの面積は何㎠ですか?

5071

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5072

△黄は面積が等しいので、その面積を①とすると、

△APR=④

△APQ=⑤

△PCQも⑤になるので、

△APC=⑤+⑤=⑩

したがって、△PBC=⑩/4

△ABC=5/4×⑩→これが50㎠なので、

①=50÷12.5=4㎠

△RBC=50-4×⑦=22㎠

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2017年5月 6日 (土)

影部分の面積は?(今年 2017年 浅野中学)

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図のような長方形ABCDがあります。

辺AD、BCを2:1の比に分ける点をそれぞれ E、Fとし、

辺CDを1:1の比に分ける点をGとします。

AFとBEの交わった点をHとし、AFとBGの交わった点をIとします。

このとき、BI:IGは何対何になりますか?

もっとも簡単な整数の比で答えてください。

また、長方形ABCDの面 積が180㎠のとき、

影のついている部分の五角形 DEHIGの面積は何㎠ になりますか?

Bandicam_20170506_065230666

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5061_2

△GBCと△GODは合同なので、DPは①+②=③です。

△黄と△緑は相似で、相似比は②:⑥

BI:IP=2:6

BP=8なので、BG=4

BI:IG=2:2=1:1

△ABEの面積は、180×1/2×2/3=60㎠

△AHEは高さが△ABEの1/2になるので、面積は30㎠

△ABIは△ABCの高さが1/2なので、面積は90×1/2=45㎠

△GBCの面積は、90×1/2=45㎠

影部分の面積=180-(30+45×2)=60㎠

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2017年5月 2日 (火)

頂点Pを含む立体の体積は?(今年 2017年  渋谷教育学園幕張中学)

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図のような1辺の長さが8cmの立方体があり、

上の面の正方形の各辺の真ん中の点をそれぞれ点A、B、C、 D、

下の面の正方形の各辺の真ん中の点をそれぞれ点E、F、G、Hとします。

この立方体を、4つの点A D F Gを通る平面と、

4つの点B C E Hを通る平面とで同時に切ったとき、

頂点Pを含む立体の体積は何㎤ですか。

ただし、角すいの体積は、(底面積) × (高さ)+3で求められるものとします。

5021

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2つの平面で切り取られる立体は図のようになります。

5022

5023

緑部分は三角錐になるので、

大きい三角錐から上の三角錐を引いた立体2つ分を、

立方体の上半分から引くと、求める体積になります。

8×8×4-(8×8×1/2×8×1/3-4×4×1/2×4×1/3)×2

=256-(256/3-32/3)×2

=320/3

=106と2/3㎤

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