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2017年4月

2017年4月30日 (日)

この図形の規則性は?(今年 2017年 開成中学)

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図1は、正方形で分割された長方形です。

ただし、正方形の中の数は

その正方形の1辺 の長さ (単位は cm) を表しています。

Bandicam_20170430_090833425

この分割された長方形から、以下のような手順にしたがって、

点を矢印つきの線 (以下では、この線を「矢印」ということにします)で

結んだ図形 (図4)を作り ます。

最後にできたこの図形 (図4) を

「長方形の分割を表す経路」ということにします。

【「長方形の分割を表す経路」を作る手順】

①図1のそれぞれの縦線の真ん中に点をとり、

  図2のように左にある点から順にA、B、C、・・・ と名前をつけます。

Zu2

②各正方形について、左の辺を含む縦線の真ん中の点から

  右の辺を含む縦線の真ん中の点へ向かう矢印をかき、

  その近くにその正方形の中の数を移します。(図3)
Zu3

③もとの長方形、正方形の辺の線をすべて消します。(図4)
Zu4

  矢印の近くに記入した数を「矢印に対応する数」ということにします。

(1)矢印に対応する数の間にはいくつかの法則があります。

  その1つは、1つの点に注目したとき、

  その点に入ってくる矢印に対応する数の和と、

  その点から出ていく矢印に対応する数の和は必ず等しくなることです。

  例えば図4で、点Cに入ってくる矢印B→C、A→Cに対応する数の和 3+16と、

  点Cから出ていく矢印C→D、C→Eに対応する数の和7+12は

  ともに19になります。

  この理由を表した文は、次の (い)、(ろ)のどちらですか?

(イ)1つの縦線と辺が重なっているすべての正方形について、

  その縦線の左側にある正方形の中の数の合計と

  右側にある正方形の中の数の合計が等しいから。

(ろ)1つの横線と辺が重なっているすべての正方形について、

  その横線の上側にある正方形の中の数の合計と

  下側にある正方形の中の数の合計が等しいから。


次に、図1とは別の、正方形で分割された長方形を考えます。

同じ手順にしたがってその長方形の分割を表す経路を作ると、

図5のようになりました。この図について、以下の問いに答えなさい。

Zu5_2

(2)空らんア~カ はそれぞれ矢印に対応する数を表しています。

  これらの空らんに当てはまる数を答えなさい。

(3)図5におけるもとの長方形の縦、横の長さを答えなさい。

(4)下のの長方形は(3)で縦、横の長さを求めたもとの長方形を表しています。

  この長方形に図5で表された正方形による分割をかきこみ、

  それぞれの正方形の中にその1辺の長さを表す数を書きなさい。

4301

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(1)縦線の左右で等しくなっているので、「い」

(2)図のように、CはAとBの和、FはDとEの差になっているので、

4303

ア=33-5=28

イ=7-5=2

エ=2+7=9

ウ=7+9=16

カ=9+16=25

オ=(33+28)-25=36

(3)縦=33+28=61cm

横=33+36=69cm

(4)
Kai

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2017年4月27日 (木)

何通りの道順がある?(今年 2017年 専修大学松戸中学)

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A地点とB地点の間には、下の図のような道があります。

これらの道を通ってA地点からB地点まで行く とき、

同じ地点を通らずに行く方法は通り何ありますか?


4271


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4272

赤い道を通る場合は、2通り、

真ん中の道を通る場合は、2×2=4通り、

下の道を通る場合も、2×2=4通り なので、

合計、2+4+4=10通り

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2017年4月25日 (火)

つなげた図形の規則性は?(今年 2017年 芝中学)

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1辺が2cmの正方形を図のようにつなげて図形を作っていきます。

(1)印が108個ある図形のまわりの長さは何cmですか。

(2)図形の面積が1028㎠であるとき、印の数は何個ですか。

4251_3  

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(1)点の数と周りの辺の数が等しくなっています。

点の数が108個のとき、周りの辺の数も108なので、

その長さは、108×2=216cm

(2)小さい正方形は、1028÷4=257個あります。

右下の角の1個を除くと、たてと横の個数は等しくなり、

(257-1)÷2=128個

たてと横の辺の数は128+1=129個なので、

周りの辺の数=点の個数=129×4=516個

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2017年4月23日 (日)

FHの長さは何cm?(今年 2017年  広尾学園中学)

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下の図において、辺ABと辺EFと辺GHと辺CDは 全て平行です。

FHの長さは何cmですか?


4231

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4232

△黄と△緑は相似で、相似比は8:4=2:1

DG:EG=2:1

△DEFと△DGHも相似なので、

DG:EG=DH:FH=2:1

△ABDと△EFDも相似で、相似比は5:4

BD:FD=5:4

DH:FH=2:1=8/3:4/3

BDの5に当たるのが12cmなので、

FH=4/3×12/5=3.2cm

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2017年4月22日 (土)

いくつを表していますか?(今年 2017年 山手学院中学)

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次の図は、その右側の整数を表すこととします。

このとき、次の各問いに答えなさい。

4221

(1)次の図は、いくつを表していますか?

4222

(2)21を表す図を描いてください。

4223

(3)次の図が表す2つの数の和を表す図を描いてください。

4224

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3つごとに位が上がる3進法を表しているので、

4227

緑は3、

黄は3×3=9、

赤は3×3×3=27を表します。

(1)27+3+2=32

(2)9×2+3=21

4226

(3)31+11=42 なので、

4225

27+9+6=42


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2017年4月20日 (木)

公園の1周の距離は何m?(今年2017年 明治大学付属中野中学)

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A君とB君は公園を同じ場所から1周します。

A君は毎分70mの速さで、B君 は毎分84mの速さで歩きます。

A君が出発した2分30秒後にB君が出発して、

A君に追いついたのは2人がちようど1周したところでした。

この公園の1周の距離は何mですか。

1720

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A君は2分30秒で、70×2.5=175m進みます。

この175mをB君が追いつくには、

175÷(84-70)=12.5分かかります。

B君が進んだ距離=公園1周の距離は、

84×12.5=1050m

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2017年4月18日 (火)

下の図形の面積はおよそ何㎠?(今年 2017年 共立女子中学)

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この入試問題用紙の1ページの大きさをB5サイズといいます。

コピー機でA4サイズの紙をB5サイズに縮小すると、

1辺が87%の長さになります。

このページを、A4サイズに拡大したとき、

下の図形の面積はおよそ何㎠ですか。

最も近いものを次のア〜オの中から1つ選んでください。

ア:13㎠ 
イ:15㎠ ウ:17㎠ エ:20㎠ オ:23㎠

4181

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A4→B5 が、1の長さが0.87になるので、

B5→A4 は、1の長さが1÷0.87=約1.15になります。

面積は、1.15×1.15=約1.32になるので、

(9+9)×1.32=約23.76㎠ より、

オの23㎠ です。

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2017年4月16日 (日)

何通りの立体ができる?(今年、2017年 駒場東邦中学)

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同じ大きさの立方体の面どうしをはり合わせてできる立体を考えます。

例えば、2個の立方体を使うと1通り、

3個の立方体を使うと2通りの立体が考えられます。

では、4個の立方体を使うと何通りの立体が考えられますか。

Bandicam_20170203_102959330

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Bandicam_20170203_101751425

Bandicam_20170203_101818365

Bandicam_20170203_101835022

Bandicam_20170203_101923736

Bandicam_20170203_101956779

Bandicam_20170203_102247989

Bandicam_20170203_102621195

Bandicam_20170203_102647468

この8通りです。                  

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2017年4月15日 (土)

正三角形の面積の何倍?(今年 2017 富士見中学)

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図のように5枚の正三角形を並べ、

頂点と辺を2等分する点を結んでできる、色部分の面積は

もとの正三角形1枚の面積の何倍ですか。


4151

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4153

△ABGと△ACFと△ADEは相似で、相似比は1:2:3

GBの長さを①とすると、ED=③なので、

正三角形の1辺は⑥になります。

△緑と△黄も相似で、相似比は1:5

したがって、面積比は△緑:△黄=1×1:5×5=1:25

△GABの面積比は25÷5=5 なので、

正三角形の面積比は25+5=30 となるので、

△緑は正三角形の1/30倍

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2017年4月14日 (金)

Aで並ぶのは何秒後?(今年 2017年 筑波大学附属中学)

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下の図で、内側の五角形と外側の七角形の頂点に置かれた色石が、

図の位置から1秒に1マスずつ時計回りに動きます。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 直線A上で、2つの石が2回目に並ぶのは何秒後ですか。

(2) 10分間動き続けると、2つの石は直線A上で何回並びますか。


4141

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(1)図の位置から7角形は6秒後にAの位置にきて、

その後、7秒ごとにAの位置に来ます、

6→13→20→27→34→41→・・・・・

5角形は3秒後にAの位置にきて、

その後、5秒ごとにAの位置に来ます、

3→8→13→18→23→28→33→・・・・・

2つの石が最初にAで並ぶのは、13秒後

その後、7と5の最小公倍数35秒ごとにAで並びます。

したがって、2回目は13+35=48秒後です。

(2)10分=600秒なので、

600-13=587

587÷35=16.・・・・・ より、

最初にAで並んでから16回Aで並ぶので、

16+1=17回 並びます。

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2017年4月 4日 (火)

三角形ABCの面積は(今年 2017年 東京都市大学付属中学)

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下の図は、1つの正方形と、

正方形の辺を直径とする半円を2つ組み合わせた図形です。

三角形ABCの面積は何㎠ですか?

ただし、円周率は3.14とします。


4041


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4042

△BGEと△BGFは合同な直角二等辺三角形になるので、

∠EBF=∠BEC=90°となり、

BFとECは平行になります。

したがって、△EBFと△CBFは面積が等しくなり、

△黄と△緑も面積が等しくなります。

右半分も同様なので、

△ABCの面積は正方形の面積と等しくなります。

求める面積は、10×10=100㎠

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2017年4月 2日 (日)

①、②、③に入る数は?(今年 2017年 市川中学)

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次の9つのます目に異なる整数を入れて、

たて、よこ、ななめに並ぶ3つの数の和がいずれも等しくなるようにします。

②と③に入る数の比が3:2で あるとき、

①、②、③に入る数はそれぞれいくつですか?

4021

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赤の斜めと青の横の差は5なので、

②と③の差も5になります。

4022

②:③=3:2 なので、3-2=1が5にあたる数は、

②=15、③=10になります。

4023

右たて25、中横26、左たてと下横27なので、

緑ななめは右上から、①、①-1、①-2 と連続する数になります。

中たては中横と同じになり、中上の数は 26-17=9 となります。

3つの数の合計は28以上なので、

28÷3=9.・・・・・・ より①=9以上の連続する3数を探すと、

他と異なる3つの連続数は、12、13、14 となり、

①=14、②=15、③=10

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