目次

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2017年3月

2017年3月30日 (木)

色部分の面積は?(今年 2017年 東邦大学付属東邦中学)

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下の図の色部分の面積は何ですか?



3301


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3302

直角二等辺三角形の底辺の長さを□とすると、

□×□=15×15×2=450

白い直角二等辺三角形の面積は、

10×10÷2÷2=25㎠

△黄の面積は、赤線部分の高さを□×1/2×1/2=□×1/4

□×8/12×□×1/4×1/2=□×□×1/12

450×1/12=37.5㎠

求める面積=15×15÷2-(25+37.5)=50㎠

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2017年3月29日 (水)

何通りありますか?(今年 2017年 足立学園中学)

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1から9までの番号が書いてある9個の玉が袋に入っています。

この袋から玉を1個取り出して番号を確認したら袋に戻す作業を何回か行います。

次の各問いに答えなさい。

(1) この作業を2回行ったとき、2回の番号の差が3であるのは何通り ありますか。

(2) この作業を3回行ったとき、3回の番号の積が奇数となるのは何通りありますか。

3291

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(1)

1回目が1のとき、2回目は4

2のとき、2回目は5

3のとき、2回目は6

4のとき、2回目は1か7の2通り

5のとき、2回目は2か8の2通り

6のとき、2回目は3か9の2通り

7のとき、2回目は4

8のとき、2回目は5

9のとき、2回目は6

合計、3+3×2+3=12通り

(2)

1回でも偶数が入ってしまうと奇数にはならないので、

3回とも奇数を取り出す場合の数を考えます。

奇数は1~9の中に5つあるので、

1回目も2回目も3回目も5通りずつなので、

5×5×5=125通りです。

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2017年3月28日 (火)

ADの長 さは何cm?(今年 2017年 渋谷教育学園幕張中学)

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図のように、1つの円の周上に5つの点A、B、C、D、Eがあります。

三角形BDEは1辺の長さが7cmの正三角形です。

また、辺ABとCDの長さはそれぞれ5cmで、

辺BCとAEの長さはそれぞれ3cmです。

このとき、辺ADの長 さは何cmですか。


3281

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3282


同じ長さの弧に対する円周角は等しいので、

∠ADE=∠BDC

∠ADE+∠ADB=60° なので、

∠ADB+∠BDC=60°

∠BAD=60°なので、

AB=CD より、

四角形BADCは等脚台形になり、

BCとADは平行になります。

△BECと△EDAについて、

BE=ED=7cm

BC=EA=3cm

∠EBC=60°+弧CDの円周角

∠DEA=60°+弧ABの円周角

弧CD=弧ABなので、

∠EBC=∠DEA

したがって、△BECと△EDAは合同

AD=ECなので、ECの長さを求めればよいことになります。

四角形AECBも等脚台形になるので、

四角形AFCBは平行四辺形になり、

AB=FC=5cm

AE=AF

∠EAF=60°より

△AEFは正三角形なので、

EF=AE=3cm

AD=EC=3+5=8cm

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2017年3月27日 (月)

集まった子どもたちは何人?(今年 2017年 成蹊中学) 

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ある日、児童館に集まった子どもたちに、

スキ-とスケートの経験について調査しました。

結果は、スキーをやったことのある人は、全体の25%

スケートをやったことのある人は、全体の55%

両方ともやったことのある人は、全体の15% 

両方ともやったことのない人は14人でした。

この日、集まった子どもたちの人数は何人ですか。

Hiva0117cs

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どちらかを経験した子供は、(25+55)-15=65%

3271_2

14人は、100-65=35%にあたるので、

全体の人数は、14÷0.35=40人

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2017年3月25日 (土)

色部分の面積は?(今年 2017年 鎌倉学園中学)

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図のように、直径が6cmの半円の紙を

中心Oが円周上にくるように折りました。

図の色部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は3.14と します。


3254

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図のように、半円から白い部分を引けば求める面積になります。

3252

△ABOと△AOCは合同な正三角形なので、

ACとBOは平行になり、

△ABCは△AOCに等積移動できます。

3253

すると、白い部分は半径3cm、中心角60°の

扇形の面積に等しいので、

求める面積=3×3×3.14×1/2-3×3×3.14×1/6

=3×3×3.14×1/3

=3×3.14

=9.42㎠

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2017年3月23日 (木)

色部分の面積は?(今年 2017年 東洋英和女学院中学部)

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下図の色の部分の面積を求めなさい。

ただし、曲線は円か半円か円の1/4で、

方眼の1目盛りは2cm、円周率は3.14とします。

3231_2

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計算しやすいように、図のように等積移動すると、

3232

半径4cmの半円と、半径6cmの3/4円と、

1辺が2cmの正方形9つになります。

4×4×3.14 ×1/2+6×6×3.14×3/4+4×9

=(8+27)×3.14+36

=109.9+36

=145.9㎠

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2017年3月22日 (水)

直線ℓの上に出ている部分の面積は?(今年 2017年 芝浦工業大学中学)

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図のように、地面から45度領いた斜面に直角二等辺三角形があります。

この三角形が矢印の方向に毎秒1cmの速さで進みます。

図の状態から2秒後に、直線ℓの上に出ている部分の面積は何㎠ですか? 

3221

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図のように2cm、矢印の方向に移動するので、

3222

2×2÷2÷2= 1㎠

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2017年3月21日 (火)

2人の間の距離の変化は?(今年 2017年 学習院中等科)

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太郎と次郎はA町を同時に出発し、B町へ行きました。

太郎は自転車で、次郎は自動車で移動しました。

次郎は途中のC地点で自動車の通行止めがあったの で、引き返して

D地点の駅で自動車を降り、9分間待って、

毎時112kmで走る電車に乗ってB町へ行きました。

そして2人は同時にB町に着きました。

下の図はA町を出発してからの時間と2人の間の距離の関係を表したものです。

Bandicam_20170321_065716022_2

このとき、次の問いに答えなさい。

ただし、自転車、自動車、電車の速さはどれも一定であるものとします。

(1) 太郎の自転車の速さは毎時何kmでしたか

(2) 次郎が電車でD地点の駅を出発するとき、

  2人の間の距離は何kmでしたか?

(3) A町とB町の間の距離は何kmですか?

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(1)

自転車の速さを□km/分

自動車の速さを△km/分 とすると、

(14-10)×(□+△)=4 より、

□+△=1

10×(△-□)=4 より、

△-□=2/5

したがって、□=(1-2/5)÷2=3/10=0,3km/分

自転車の速さは、毎時 0.3×60=18km

(2)

自動車の速さは、△=0.7km/分=42km/時

2人がすれ違って、D地点までは2分なので、

(18+42)×1/30時間=2km

9分間で自転車は、18×3/20時間=2.7km 進みます。

したがって、

次郎が電車に乗った時、2+2.7=4.7km離れていました。

(3)

電車に乗っていた時間は、4.7÷(112-18)=0.05時間=3分

太郎がB町まで自転車に乗っていた時間は、

16+9+3=28分

A~Bの距離は、18×28/60=8.4km

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2017年3月20日 (月)

角Xは何度?(今年 2017年 田園調布学園中等部)

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下の図で、AB=ACであるとき、

角Xは何度ですか?
3201_2

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△ABCは二等辺三角形なので、

3202

角X=180-(108+40)=32°
 

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2017年3月18日 (土)

ボールの色は何色?(今年 2017年 頌栄女子学院中学)

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1、2、3の番号が書かれた、3つのボールがあります。

これらのボールのうち1つは赤、 1つは青、1つは白です。

これらのボールについて、Aさん、Bさん、Cさん D さん の4人は

次のように説明しましたが、1人だけまちがった内容を言っています。

Aさん:1と書かれたボールは赤ではない。

Bさん:1と書かれたボールは青ではない。

Cさん:2と書かれたボールは白である。

Dさん:2と書かれたボールは赤である。

このとき、1から3の番号が書いてあるボールの色はそれぞれ何色ですか?

3181

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CとDが両方とも正しいことはないので、どちらかが間違っています。

すると、AとBは2人とも正しく、

1と書かれたボールは白に決まります。

したがって、Cが間違っているので、

Dより、2と書かれたボールは赤

3は青になります。

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2017年3月17日 (金)

横、たての和をすべて1にして!(今年 2017年 春日部共栄中学)

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図のような9つの空欄に0か1を記入して、

横およびたてに加えた和がすべて1になるような表は

何種類できますか?

全部作ってください。

3171608

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以下の6種類です。

3172


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2017年3月16日 (木)

色部分の面積は?(今年 2017年 サレジオ学院中学)

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図のように、3辺の長さが3cm、4cm、5cmの直角三角形と、

直径が3cmと4cmの2つの円が重なっています。

直角三角形の辺上の点Aを2つの円が通っています。

このとき、3つのぬられた部分ア、イ、ウの面積の合計は何c㎡ですか。

3161

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3162

赤部分=半円CDA-△CDA

緑部分=半円CAB-△CAB

したがって、求める面積=二つの半円-△CDB

(2×2×3.14÷2+1.5×1.5×3.14÷2)-3×4÷2

=(4+2.25)×1.57-6

=3.8125c㎡

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2017年3月15日 (水)

色部分の面積は?(今年 2017年 大妻中学)

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図のように1辺の長さが12cm、6cmの正方形があります。

色部分の面積は何c㎡ですか。

3151

2401

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3152_2

△ABCと△EDCは相似で相似比は12:6=2:1

BC:CD=2:1 なので、

BC=6×2/3=4cm

FC=16cm

求める面積=16×12÷2+16×6÷2=144c㎡

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2017年3月14日 (火)

A君は何周?、B君は何周?(今年 2017年 浅野中学)

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A君とB君は池の周りを次の規則に従って走ります。

1日目は、A君が1周、B君が1周します。

2日目は、A君が1周、B君が2周します。

3日目は、A君が2周、B君が1周します。

4日目は、A君が1周、B君が3周します。

5日目は、A君が2周、B君が2周します。

6日目は、A君が3周、B君が1周します。

7日目は、A君が1周、B君が4周します。

このとき、100日目は、A君は何周、B君は何周しますか?

720

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2人合わせて

2周が1日、

3周が2日、

4周が3日、

5周が4日、

100日目が含まれるのは、

1+2+3+4+・・・・・+14=105

105日目は2人合わせて、14+1=15周なので、

105日目は、A君が14周、B君が1周

100日目は、A君が14-5=9周、B君が1+5=6周

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2017年3月12日 (日)

この三角形の面積は何c㎡?(今年 2017年 洗足学園中学)

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面積が6c㎡の正六角形をすき間なく敷き 詰め、

図のように、三角形をかきました。

この三角形の面積は何c㎡ですか?

3121

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図のように等積移動して、

緑、水色、赤の3つの三角形に分けます。

3122

3123

緑=3×2+6=12c㎡

水色=3×2+1×2=8c㎡

赤=6×2+3×4+1=25c㎡

求める面積=12+8+25=45c㎡

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2017年3月10日 (金)

角度、面積、長さは?(今年 2017年 フェリス女学院中学)

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図のように、正方形ABCDと、直角三角形BEFと、

点Oを中心とする半径4cmの円があります。

黄色部分の面積の合計は29.16cmです。

3101

(1)角「あ」は何度ですか?

(2)三角形BEFの面積は何c㎡ですか?

(3)太青線の長さの合計は何cmですか?

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3102_2

(1)△ODFと△OIFは合同なので、

∠OFD=∠OFI

同様に、∠OEH=∠OEG

∠E+∠F=90° なので、

∠OFD+∠OEH=90÷2=45°

∠あ=180-45=135°

(2)緑部分も29.16c㎡

黄+緑=29.16×2=58.32c㎡

円O=4×4×3.14=50.24c㎡

赤部分=(8×8-50.24)÷4=3.44c㎡

△BEFの面積=58.32+50.24+3.44=112c㎡

(3)△EOFの面積=29.16+4×4×3.14×135/360=48c㎡

EF=48×2÷4=24cm

△OFI+△OEG=112-48-4×4=48c㎡

FI×4÷2+EG×4÷2=48

2×(FI+EG)=48

FI+EG=24cm

太青線の長さ=24+24+4+4=56cm

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2017年3月 7日 (火)

角Xの大きさは何度?(今年 2017年 慶應義塾中等部)

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図のように、

正方形ABCD と正三角形ADE と正三角形BDF を組み合わせました。

このとき、角Xの大きさは何度ですか。

Bandicam_20170307_090517279

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Bandicam_20170307_090912100

∠FDA=∠FDB-∠ADB=60°-45°=15°

∠EDF=60°-15°=45°

△青と△赤は

ED=AD、FD=BD、∠EDF=∠ADB=45°

したがって、合同な三角形になるので、

∠X=∠ABD=45°

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2017年3月 5日 (日)

Dを含む方の立体の体積は?(今年 2017年 早稲田中学)

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図は1辺の長さが6cmの立方体です。

この立方体を3つの点A、B、Cを通 る平面で切り分けます。

点Dを含む方の立体の体積は何立方cmですか?

3051

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切口は図のようになります。

Bandicam_20170222_082831068

同じ立方体を2つ並べてみると、

Dを含まない方の立体は、

大きな三角錐から小さな三角錐を切り取った立体になることがわかります。

△黄と△緑は相似で、両方とも直角二等辺三角形。

△赤と△青も相似で、

IH:HF=4:2=2:1 より

FG=3cm になるので、

3052

Dを含まない方の立体の体積は、

6×6÷2×(6+3)÷3-2×2÷2×3÷3=52立方cm

求める体積は、

6×6×6-52=164立方cm

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2017年3月 3日 (金)

空いている面に入る数字は?(今年 2017年 栄光学園中学)

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図1は、あるサイコロを2方向から見た図です。

このサイコロの展開図が図2です。

図2の空いている面に入る数字を、向きも考えて書き入れてください。

なお、サイコロの向かい合う面の数の和は7です。

3031_2



3032


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①のサイコロの各頂点にA~Hまでの記号をつけます。

同様に展開図の各頂点にもA~Hの記号をつけますが、

立方体の一番遠い頂点のペアは、展開図では、

2つ並んだ正方形の対角線で結んだ頂点のペアに対応します。

3033

①の見え方から、1に対して2と3が書き込めます。

①を3の側にたおし、そのまま右に回転させると②になり、

1と2 位置がわかります。

②に対応する頂点にA~Hの記号を書き入れると、

展開図で、それに対応する4~6の位置関係がわかります。

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2017年3月 2日 (木)

半分以上を支払い終えるのは?(今年 2017年 公文国際学園中等部)

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新しいパソコンを買うのに、代金を24回に分けて支払うことにしました。

1回目は代金の3割を支払い、残りは同じ金額ずつ支払うとすると、

代金の総額の半分以上を支払い終えるのは

何回目の支払いが終わるときですか。

Home874815_640

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代金の総額を10とすると、

図のように2回目以降は7/23ずつ支払うことになります。

3021

半分以上になるのは、

7/23+7/23+・・・・・・+7/23 が=46/23以上になるときなので、

(7×7)/23より、

7回支払ったときで、

1+7=8回目です。

 

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2017年3月 1日 (水)

ADとFGの長さの比は?(今年 2017年 カリタス女子中学)

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図の四角形ABCDは長方形で、EはADの真ん中の点です。

図のように、長方形の面積を3等分するように、

EFとEGを引きました。

ADとFGの長さの比は何 :何ですか?

3011

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四角形ABFEと四角形DCGEは同じ大きさの台形で、

△EFGと面積が等しいことから、

AE+BF=FG

DE+CG=FG

AE+BF+DE+CG=2×FG

AD+BF+CG=2×FG

BF+CG=AD-FG より、

AD+AD-FG=2×FG

2×AD=3×FG

AD:FG=3:2

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