中学受験ー算数解き方ポータル

2017年3月29日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 入れ方、並べ方、取り出し方, 場合の数 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2017年3月28日 (火)

ADの長さは何cm？（今年　２０１７年　渋谷教育学園幕張中学）

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図のように、1つの円の周上に5つの点A、B、C、D、Eがあります。

三角形BDEは1辺の長さが7cmの正三角形です。

また、辺ABとCDの長さはそれぞれ5cmで、

辺BCとAEの長さはそれぞれ3cmです。

このとき、辺ADの長さは何cmですか。

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同じ長さの弧に対する円周角は等しいので、

∠ADE＝∠BDC

∠ADE＋∠ADB＝６０°　なので、

∠ADB＋∠BDC＝６０°

∠BAD＝６０°なので、

AB＝CD　より、

四角形BADCは等脚台形になり、

BCとADは平行になります。

△BECと△EDAについて、

BE＝ED＝７ｃｍ

BC＝EA＝３ｃｍ

∠EBC＝６０°＋弧CDの円周角

∠DEA＝６０°＋弧ABの円周角

弧CD＝弧ABなので、

∠EBC＝∠DEA

したがって、△BECと△EDAは合同

AD＝ECなので、ECの長さを求めればよいことになります。

四角形AECBも等脚台形になるので、

四角形AFCBは平行四辺形になり、

AB＝FC＝５ｃｍ

AE＝AF

∠EAF＝６０°より

△AEFは正三角形なので、

EF＝AE＝３ｃｍ

AD＝EC＝３＋５＝８ｃｍ

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2017年3月27日 (月)

集まった子どもたちは何人？（今年　２０１７年　成蹊中学）　

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ある日、児童館に集まった子どもたちに、

スキ－とスケートの経験について調査しました。

結果は、スキーをやったことのある人は、全体の２５％

スケートをやったことのある人は、全体の５５％

両方ともやったことのある人は、全体の１５％　

両方ともやったことのない人は１４人でした。

この日、集まった子どもたちの人数は何人ですか。

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どちらかを経験した子供は、（２５＋５５）－１５＝６５％

3271_2

１４人は、１００－６５＝３５％にあたるので、

全体の人数は、１４÷０．３５＝４０人

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2017年3月25日 (土)

色部分の面積は？（今年　２０１７年　鎌倉学園中学）

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図のように、直径が6cmの半円の紙を

中心Oが円周上にくるように折りました。

図の色部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は3.14とします。

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図のように、半円から白い部分を引けば求める面積になります。

3252

△ABOと△AOCは合同な正三角形なので、

ACとBOは平行になり、

△ABCは△AOCに等積移動できます。

3253

すると、白い部分は半径３ｃｍ、中心角６０°の

扇形の面積に等しいので、

求める面積＝３×３×３．１４×１/２－３×３×３．１４×１/６

＝３×３×３．１４×１/３

＝３×３．１４

＝９．４２㎠

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2017年3月23日 (木)

色部分の面積は？（今年　２０１７年　東洋英和女学院中学部）

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下図の色の部分の面積を求めなさい。

ただし、曲線は円か半円か円の１/４で、

方眼の1目盛りは２ｃｍ、円周率は３．１４とします。

3231_2

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計算しやすいように、図のように等積移動すると、

3232

半径４ｃｍの半円と、半径６ｃｍの３/４円と、

1辺が２ｃｍの正方形９つになります。

４×４×３．１４ ×１/２＋６×６×３．１４×３/４＋４×９

＝（８＋２７）×３．１４＋３６

＝１０９．９＋３６

＝１４５．９㎠

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2017年3月22日 (水)

直線ℓの上に出ている部分の面積は？（今年　２０１７年　芝浦工業大学中学）

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図のように、地面から45度領いた斜面に直角二等辺三角形があります。

この三角形が矢印の方向に毎秒1cmの速さで進みます。

図の状態から2秒後に、直線ℓの上に出ている部分の面積は何㎠ですか？

3221

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図のように２ｃｍ、矢印の方向に移動するので、

3222

２×２÷２÷２＝１㎠

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2017年3月21日 (火)

２人の間の距離の変化は？（今年　２０１７年　学習院中等科）

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太郎と次郎はA町を同時に出発し、B町へ行きました。

太郎は自転車で、次郎は自動車で移動しました。

次郎は途中のC地点で自動車の通行止めがあったので、引き返して

D地点の駅で自動車を降り、9分間待って、

毎時112kmで走る電車に乗ってB町へ行きました。

そして2人は同時にB町に着きました。

下の図はA町を出発してからの時間と2人の間の距離の関係を表したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

ただし、自転車、自動車、電車の速さはどれも一定であるものとします。

(1) 太郎の自転車の速さは毎時何kmでしたか

(2) 次郎が電車でD地点の駅を出発するとき、

　　2人の間の距離は何kmでしたか？

(3) A町とB町の間の距離は何kmですか？

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（１）

自転車の速さを□ｋｍ/分

自動車の速さを△ｋｍ/分　とすると、

（１４－１０）×（□＋△）＝４　より、

□＋△＝１

１０×（△－□）＝４　より、

△－□＝２/５

したがって、□＝（１－２/５）÷２＝３/１０＝０，３ｋｍ/分

自転車の速さは、毎時　０．３×６０＝１８ｋｍ

（２）

自動車の速さは、△＝０．７ｋｍ/分＝４２ｋｍ/時

２人がすれ違って、D地点までは２分なので、

（１８＋４２）×１/３０時間＝２ｋｍ

９分間で自転車は、１８×３/２０時間＝２．７ｋｍ　進みます。

したがって、

次郎が電車に乗った時、２＋２．７＝４．７ｋｍ離れていました。

（３）

電車に乗っていた時間は、４．７÷（１１２－１８）＝０．０５時間＝３分

太郎がB町まで自転車に乗っていた時間は、

１６＋９＋３＝２８分

A～Bの距離は、１８×２８/６０＝８．４ｋｍ

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2017年3月20日 (月)

角Xは何度？（今年　２０１７年　田園調布学園中等部）

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下の図で、AB＝ACであるとき、

角Xは何度ですか？

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△ABCは二等辺三角形なので、

角X＝１８０－（１０８＋４０）＝３２°

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2017年3月18日 (土)

ボールの色は何色？（今年　２０１７年　頌栄女子学院中学）

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１、２、３の番号が書かれた、３つのボールがあります。

これらのボールのうち１つは赤、１つは青、１つは白です。

これらのボールについて、Ａさん、Ｂさん、ＣさんＤさんの４人は

次のように説明しましたが、１人だけまちがった内容を言っています。

Ａさん：１と書かれたボールは赤ではない。

Ｂさん：１と書かれたボールは青ではない。

Ｃさん：２と書かれたボールは白である。

Ｄさん：２と書かれたボールは赤である。

このとき、１から３の番号が書いてあるボールの色はそれぞれ何色ですか？

3181

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ＣとＤが両方とも正しいことはないので、どちらかが間違っています。

すると、ＡとＢは２人とも正しく、

１と書かれたボールは白に決まります。

したがって、Ｃが間違っているので、

Ｄより、２と書かれたボールは赤

３は青になります。

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2017年3月17日 (金)

横、たての和をすべて１にして！（今年　２０１７年　春日部共栄中学）

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図のような９つの空欄に０か１を記入して、

横およびたてに加えた和がすべて１になるような表は

何種類できますか？

全部作ってください。

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以下の６種類です。

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2017年3月16日 (木)

色部分の面積は？（今年　２０１７年　サレジオ学院中学）

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図のように、３辺の長さが３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直角三角形と、

直径が３ｃｍと４ｃｍの２つの円が重なっています。

直角三角形の辺上の点Ａを２つの円が通っています。

このとき、３つのぬられた部分ア、イ、ウの面積の合計は何ｃ㎡ですか。

3161

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3162

赤部分＝半円ＣＤＡ－△ＣＤＡ

緑部分＝半円ＣＡＢ－△ＣＡＢ

したがって、求める面積＝二つの半円－△ＣＤＢ

（２×２×３．１４÷２＋１．５×１．５×３．１４÷２）－３×４÷２

＝（４＋２．２５）×１．５７－６

＝３．８１２５ｃ㎡

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2017年3月15日 (水)

色部分の面積は？（今年　２０１７年　大妻中学）

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図のように１辺の長さが１２ｃｍ、６ｃｍの正方形があります。

色部分の面積は何ｃ㎡ですか。

3151

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3152_2

△ＡＢＣと△ＥＤＣは相似で相似比は１２：６＝２：１

ＢＣ：ＣＤ＝２：１　なので、

ＢＣ＝６×２/３＝４ｃｍ

ＦＣ＝１６ｃｍ

求める面積＝１６×１２÷２＋１６×６÷２＝１４４ｃ㎡

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2017年3月14日 (火)

A君は何周？、B君は何周？（今年　２０１７年　浅野中学）

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A君とB君は池の周りを次の規則に従って走ります。

1日目は、A君が1周、B君が1周します。

2日目は、A君が1周、B君が2周します。

3日目は、A君が2周、B君が1周します。

4日目は、A君が1周、B君が3周します。

5日目は、A君が2周、B君が2周します。

6日目は、A君が3周、B君が1周します。

7日目は、A君が1周、B君が4周します。

このとき、100日目は、A君は何周、B君は何周しますか？

720

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２人合わせて

２周が１日、

３周が２日、

４周が３日、

５周が４日、

１００日目が含まれるのは、

１＋２＋３＋４＋・・・・・＋１４＝１０５

１０５日目は２人合わせて、１４＋１＝１５周なので、

１０５日目は、Ａ君が１４周、Ｂ君が１周

１００日目は、Ａ君が１４－５＝９周、Ｂ君が１＋５＝６周

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2017年3月12日 (日)

この三角形の面積は何ｃ㎡？（今年　２０１７年　洗足学園中学）

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面積が６ｃ㎡の正六角形をすき間なく敷き詰め、

図のように、三角形をかきました。

この三角形の面積は何ｃ㎡ですか？

3121

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図のように等積移動して、

緑、水色、赤の３つの三角形に分けます。

3122

3123

緑＝３×２＋６＝１２ｃ㎡

水色＝３×２＋１×２＝８ｃ㎡

赤＝６×２＋３×４＋１＝２５ｃ㎡

求める面積＝１２＋８＋２５＝４５ｃ㎡

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2017年3月10日 (金)

角度、面積、長さは？（今年　２０１７年　フェリス女学院中学）

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図のように、正方形ＡＢＣＤと、直角三角形ＢＥＦと、

点Ｏを中心とする半径４ｃｍの円があります。

黄色部分の面積の合計は２９．１６ｃｍです。

3101

（１）角「あ」は何度ですか？

（２）三角形ＢＥＦの面積は何ｃ㎡ですか？

（３）太青線の長さの合計は何ｃｍですか？

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（１）△ＯＤＦと△ＯＩＦは合同なので、

∠ＯＦＤ＝∠ＯＦＩ

同様に、∠ＯＥＨ＝∠ＯＥＧ

∠Ｅ＋∠Ｆ＝９０°　なので、

∠ＯＦＤ＋∠ＯＥＨ＝９０÷２＝４５°

∠あ＝１８０－４５＝１３５°

（２）緑部分も２９．１６ｃ㎡

黄＋緑＝２９．１６×２＝５８．３２ｃ㎡

円Ｏ＝４×４×３．１４＝５０．２４ｃ㎡

赤部分＝（８×８－５０．２４）÷４＝３．４４ｃ㎡

△ＢＥＦの面積＝５８．３２＋５０．２４＋３．４４＝１１２ｃ㎡

（３）△ＥＯＦの面積＝２９．１６＋４×４×３．１４×１３５/３６０＝４８ｃ㎡

ＥＦ＝４８×２÷４＝２４ｃｍ

△ＯＦＩ＋△ＯＥＧ＝１１２－４８－４×４＝４８ｃ㎡

ＦＩ×４÷２＋ＥＧ×４÷２＝４８

２×（ＦＩ＋ＥＧ）＝４８

ＦＩ＋ＥＧ＝２４ｃｍ

太青線の長さ＝２４＋２４＋４＋４＝５６ｃｍ

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2017年3月 7日 (火)

角Xの大きさは何度？（今年　2017年　慶應義塾中等部）

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図のように、

正方形ABCD と正三角形ADE と正三角形BDF を組み合わせました。

このとき、角Xの大きさは何度ですか。

Bandicam_20170307_090517279

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Bandicam_20170307_090912100

∠ＦＤＡ＝∠ＦＤＢ－∠ＡＤＢ＝６０°－４５°＝１５°

∠ＥＤＦ＝６０°－１５°＝４５°

△青と△赤は

ＥＤ＝ＡＤ、ＦＤ＝ＢＤ、∠ＥＤＦ＝∠ＡＤＢ＝４５°

したがって、合同な三角形になるので、

∠Ｘ＝∠ＡＢＤ＝４５°

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2017年3月 5日 (日)

Ｄを含む方の立体の体積は？（今年　２０１７年　早稲田中学）

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図は１辺の長さが６ｃｍの立方体です。

この立方体を３つの点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面で切り分けます。

点Ｄを含む方の立体の体積は何立方ｃｍですか？

3051

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切口は図のようになります。

Bandicam_20170222_082831068

同じ立方体を２つ並べてみると、

Dを含まない方の立体は、

大きな三角錐から小さな三角錐を切り取った立体になることがわかります。

△黄と△緑は相似で、両方とも直角二等辺三角形。

△赤と△青も相似で、

IH：HF＝４：２＝２：１　より

FG＝３ｃｍ　になるので、

3052

Dを含まない方の立体の体積は、

６×６÷２×（６＋３）÷３－２×２÷２×３÷３＝５２立方ｃｍ

求める体積は、

６×６×６－５２＝１６４立方ｃｍ

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2017年3月 3日 (金)

空いている面に入る数字は？（今年　２０１７年　栄光学園中学）

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図１は、あるサイコロを２方向から見た図です。

このサイコロの展開図が図２です。

図２の空いている面に入る数字を、向きも考えて書き入れてください。

なお、サイコロの向かい合う面の数の和は７です。

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①のサイコロの各頂点にA～Hまでの記号をつけます。

同様に展開図の各頂点にもA～Hの記号をつけますが、

立方体の一番遠い頂点のペアは、展開図では、

２つ並んだ正方形の対角線で結んだ頂点のペアに対応します。

3033

①の見え方から、１に対して２と３が書き込めます。

①を３の側にたおし、そのまま右に回転させると②になり、

１と２位置がわかります。

②に対応する頂点にA～Hの記号を書き入れると、

展開図で、それに対応する４～６の位置関係がわかります。

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2017年3月 2日 (木)

半分以上を支払い終えるのは？（今年　２０１７年　公文国際学園中等部）

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新しいパソコンを買うのに、代金を２４回に分けて支払うことにしました。

１回目は代金の３割を支払い、残りは同じ金額ずつ支払うとすると、

代金の総額の半分以上を支払い終えるのは

何回目の支払いが終わるときですか。

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代金の総額を１０とすると、

図のように２回目以降は７/２３ずつ支払うことになります。

3021

半分以上になるのは、

７/２３＋７/２３＋・・・・・・＋７/２３　が２＝４６/２３以上になるときなので、

（７×７）/２３より、

７回支払ったときで、

１＋７＝８回目です。

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2017年3月 1日 (水)

ＡＤとＦＧの長さの比は？（今年　２０１７年　カリタス女子中学）

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図の四角形ＡＢＣＤは長方形で、ＥはＡＤの真ん中の点です。

図のように、長方形の面積を３等分するように、

ＥＦとＥＧを引きました。

ＡＤとＦＧの長さの比は何：何ですか？

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四角形ABFEと四角形DCGEは同じ大きさの台形で、

△EFGと面積が等しいことから、

AE＋BF＝FG

DE＋CG＝FG

AE＋BF＋DE＋CG＝２×FG

AD＋BF＋CG＝２×FG

BF＋CG＝AD－FG　より、

AD＋AD－FG＝２×FG

２×AD＝３×FG

AD：FG＝３：２

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