ADの長 さは何cm？（今年 ２０１７年 渋谷教育学園幕張中学）

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図のように、1つの円の周上に5つの点A、B、C、D、Eがあります。

三角形BDEは1辺の長さが7cmの正三角形です。

また、辺ABとCDの長さはそれぞれ5cmで、

辺BCとAEの長さはそれぞれ3cmです。

このとき、辺ADの長 さは何cmですか。

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同じ長さの弧に対する円周角は等しいので、

∠ADE＝∠BDC

∠ADE＋∠ADB＝６０°　なので、

∠ADB＋∠BDC＝６０°

∠BAD＝６０°なので、

AB＝CD　より、

四角形BADCは等脚台形になり、

BCとADは平行になります。

△BECと△EDAについて、

BE＝ED＝７ｃｍ

BC＝EA＝３ｃｍ

∠EBC＝６０°＋弧CDの円周角

∠DEA＝６０°＋弧ABの円周角

弧CD＝弧ABなので、

∠EBC＝∠DEA

したがって、△BECと△EDAは合同

AD＝ECなので、ECの長さを求めればよいことになります。

四角形AECBも等脚台形になるので、

四角形AFCBは平行四辺形になり、

AB＝FC＝５ｃｍ

AE＝AF

∠EAF＝６０°より

△AEFは正三角形なので、

EF＝AE＝３ｃｍ

AD＝EC＝３＋５＝８ｃｍ

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