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2017年3月28日 (火)

ADの長 さは何cm?(今年 2017年 渋谷教育学園幕張中学)

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図のように、1つの円の周上に5つの点A、B、C、D、Eがあります。

三角形BDEは1辺の長さが7cmの正三角形です。

また、辺ABとCDの長さはそれぞれ5cmで、

辺BCとAEの長さはそれぞれ3cmです。

このとき、辺ADの長 さは何cmですか。


3281

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3282


同じ長さの弧に対する円周角は等しいので、

∠ADE=∠BDC

∠ADE+∠ADB=60° なので、

∠ADB+∠BDC=60°

∠BAD=60°なので、

AB=CD より、

四角形BADCは等脚台形になり、

BCとADは平行になります。

△BECと△EDAについて、

BE=ED=7cm

BC=EA=3cm

∠EBC=60°+弧CDの円周角

∠DEA=60°+弧ABの円周角

弧CD=弧ABなので、

∠EBC=∠DEA

したがって、△BECと△EDAは合同

AD=ECなので、ECの長さを求めればよいことになります。

四角形AECBも等脚台形になるので、

四角形AFCBは平行四辺形になり、

AB=FC=5cm

AE=AF

∠EAF=60°より

△AEFは正三角形なので、

EF=AE=3cm

AD=EC=3+5=8cm

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