面の値はいくつ？（今年 ２０１７年 筑波大学附属駒場中学）

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立方体の各頂点に０または１をおきます。

立方体のそれぞれの面について、

頂点においた４つの数の和を 『面の値』ということにし、

６個の『面の値』の合計を考えます。

例えば、１個の１と７個の０を下図のように頂点においたとき、

『面の値』が１である面が３個、 ０である面が３個なので、

６個の『面の値』の合計は３です。

次の問いに答えなさい。

（１） ６個の『面の値』の合計が６になりました。

（ア） １をおいた頂点は何個ありますか。

（イ）『面の値』が奇数である面は何個ありますか。

　　　考えられる個数をすべて答えなさい。

（２）６個の『面の値』の合計が１２になりました。

　　　８個の頂点への０と１のおき方は何通りありますか。

　　　ただし、立方体を動かすと重なるものや、

　　　鏡にうつすと重なるものは同じおき方とします。

　　　例えば、下の例１、例２はそれぞれ同じおき方です。

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（１）

（ア）頂点１つの値は３回たされるので、

６＝１×３＋１×３　より、

１がおかれた頂点は２つです。

（イ）

１の頂点が並んだときは、

面の値が１の面は、図のように２面

１の頂点が対角線のときは、

面の値が１の面は、４面

１の頂点が一番遠いときは、

面の値が１の面は、６面

（２）

図のように、６通り

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