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2017年2月11日 (土)

正六角形の折り紙(今年 2017年 筑波大学附属駒場中学)

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正六角形の紙に次のような操作を行います。
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操作①

図1の点線で半分に折ってから、
図2の点線で両側の正三角形を真ん中に折り重ね、
図3のような正三角形にする。

2110

操作②

①でできた正三角形を図4のようにはさみで切り、
図5のような正六角形を残す。

Bandicam_20170211_094526526
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上の①→②の操作を1回とかぞえ、操作のあとに残った正六角形に対して、

続けて操作を行っていきます。

はじめの正六角形の紙は、面積が81c㎡です。

(1)1回目の操作のあとに残った正六角形の紙を、全部ひろげます。

   どのような形の紙になりますか。

   下の図の点線をはじめの正六角形として、ひろげた紙の形をかきなさい。

Bandicam_20170211_095835896

(2)2回目の操作のあとに残った正六角形の紙を、全部ひろげます。

   ひろげた紙の面積を求めなさい。

(3)3回目の操作のあとに残った正六角形の紙を、全部ひろげます。

   ひろげた紙には穴がいくつか開いています。

   面積が最も大きい穴は、何c㎡の穴ですか。

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(1)

黄色部分が切り取られた正三角形です。

2111

(2)

残った緑部分は最初の正六角形の6/9=2/3になります。

緑1個分の正六角形の面積は、

81×2/3×1/6=9c㎡

2112

2回目の操作をして残った部分は図のように、

9×2/3×6=36c㎡

(3)3回目の操作をしたあと、

いちばん大きな穴は図のように真ん中の穴です。

2113

1回目の操作で残った正六角形1個分の面積は、9c㎡

2回目の操作で残った正六角形1個分の面積は、9×1/9=1c㎡

3回目の操作で残った正六角形1個分の面積は、1×1/9=1/9c㎡

3回目の操作でできた真ん中の穴を作る小さな黄色の正三角形は、

全部で、16×6=96個あるので、

3回目の操作で残った小さな正六角形、96÷6=16個分なので、

面積は、1/9×16=1と7/9c㎡

2回目の操作でできた真ん中の穴を作る中くらいの黄色の正三角形は、

全部で、4×6=24個あるので、

2回目の操作で残った中くらいの正六角形、24÷6=4個分なので、

面積は、1×4=4c㎡

したがって、穴の面積は、

1と7/9+4+9=14と7/9c㎡

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