目次

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2017年2月

2017年2月28日 (火)

穴が開いた立方体は何個?(今年 2017年 栄東中学東大クラス選抜)

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27個の小さな立方体を下の図のように積み重ねて、

1個の大きな立方体を作 ります。

15ヶ所の●印をつけたそれぞれの場所から、

反対側の面を突き抜けるまで、面に対して垂直に太い針を通して穴を開けました。

このとき、小さな立方体について、

6つの面すべてに穴が開いた立方体は何個ですか?

2つの面にだけ穴が開いた立方体は何個ですか?

Bandicam_20170228_075009002

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図のように、黄色い立方体は6つの面、

緑色の立方体は2つの面に穴が開いています。

2281

真ん中の立方体は6つの面が開いているので、

6つの面が開いている立方体は、9個

2つの面が開いている立方体は、18個

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2017年2月27日 (月)

色部分の面積は?(今年 2017年 早稲田中学)

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下の図の正六角形の面積は6c㎡です。

色部分の面積は何c㎡ですか?

2271

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2272

正六角形を図のように分けてみると、

赤い正三角形は正六角形の1/6なので、

6×1/6=1c㎡

赤い正三角形は同じ面積の黄色い三角形6つからできているので、

黄色い三角形の面積=1÷6=1/6c㎡

色部分は黄色い三角形10個分なので、

求める面積=1/6×10=10/6=1と2/3c㎡

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2017年2月25日 (土)

表面積の比は?(今年 2017年 城北中学)

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図のような方眼に2つの図形ア、イをかき、

この2つの図形をABを軸にして回転させて2つの立体をつくったとき、

アを回転させた立体とイを回転させた立体の表面積の比は□:□です。

ただし、方眼の1めもりを1cmとします。

Bandicam201

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Bandicam_20170225_080403238

アの上面と下面は、

4×4×3.14なので、16×2×3.14=32×3.14

側面は、4×2×3.14×2=16×3.14

アの表面積の合計=48×3.14

イの上面と中段面を合わせて、

6×6×3.14

下面も同じなので、6×6×3.14×2=72×3.14

側面の上半分は、4×2×3.14×2=16×3.14

側面の下半分は、6×2×3.14×2=24×3.14

イの表面積の合計=112×3.14

ア:イ=48:112=3:7

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2017年2月24日 (金)

取り出したカードの得点は?(今年 2017年 武蔵中学)

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50枚のカード1、2、3、、・・・・・、50があります。

このカードから同時に2枚を取り出して、次の[ルール] によって得点を決めます。

[ルール]

(ア)2枚に書かれた数のうち、大きい方をA、小さい方をBとする。

(イ) Aとの差がB以下である整数をすべてかけ合わせた数をCとする。

  例えば、2と49を取り出した場合、49との差が2以下である整数を
  かけ合わせて、C=47×48×49×50×51となる。

(ウ) Cが3で割り切れる回数を得点とする。

  例えば、C=720の場合、720÷3=240、240÷3=80、
  80は3で割り切れないので、得点は2点となる。
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(1)2と38を取り出したときの得点は何点ですか。

(2)得点が0点になることはありません。その理由を説明してください。

(3)取り出した2枚のうち1枚が50で、得点は7点でした。

  もう1枚に書かれた数として考えられるものをすべて答えてください。

2403_2

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(1)C=36×37×38×39×40 なので、

36÷3=12、12÷3=4 →2回

39÷3=13 →1回

2+1=3回割れるので、3点

(2)小さい方のBは1以上なので、

Cは必ず連続した3つ以上の整数の積になります。

すると、その中には少なくとも1つ以上、3の倍数が入っているので、

1回は3で割り切れ、得点は0にはなりません。

(3)

A=50なので、

B=1のとき

C=49×50×51

51÷3=17 →1点

B=2のとき

C=48×49×50×51×52

48÷3=16
51÷3=17 →2点

B=3のとき

C=47×48×49×50×51×52×53

48÷3=16
51÷3=17 →2点

B=4のとき

C=46×47×48×49×50×51×52×53×54

48÷3=16
51÷3=17
54÷3=18、18÷3=6、6÷3=2 →5点

B=5のとき

C=45×46×47×48×49×50×51×52×53×54×55

45÷3=15、15÷3=5
48÷3=16
51÷3=17
54÷3=18、18÷3=6、6÷3=2 →7点

B=6のとき

C=44×45×46×47×48×49×50×51×52×53×54×55×56

45÷3=15、15÷3=5
48÷3=16
51÷3=17
54÷3=18、18÷3=6、6÷3=2 →7点

B=7以上では、得点は7点を超えてしまうので、

Bは5か6

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2017年2月21日 (火)

何時間何分かかったかな?(今年 2017年 東大寺学園中学)

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コンサートのチケットを印刷するのに、3つの機械A、B、Cを用いました。

1枚のチケットを印刷するのに、Aは15秒、Bは20秒、Cは25秒かかります。

A、B、Cに何枚かずつ用紙をセットして、同時に印刷を開始したところ、

3つの機械から、それぞ れ最後の1枚が同時に印刷を終えて出てきました。

全部で2491枚のチケットが印刷されたとすると、

印刷を開始してから印刷を終えるまで何時間何分かかりましたか。

ただし、3つの機械は一度も止まることなく印刷を続けていたものとします。

Mailmerge1803674_640

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A、B、Cの機械から

最初に同時に印刷されたチケットが出てくるのは、

15と20と25の最小公倍数の300秒後です。

この時の枚数は、

(300÷15)+(300÷20)+(300÷25)=47枚

最後の1枚も47枚の倍数になっているので、

2491÷47=53

300×53=15900秒

15900÷60=265分

4時間25分


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2017年2月20日 (月)

太郎君が持っていたお金は?(今年 2017年 慶應義塾中等部)

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はじめに太郎君と次郎君がそれぞれ持っていたお金は、

合わせて6000円でした。

太郎君は600円 の商品を買い、

次郎語は自分の持っていたお金の1/3を使ったところ、

2人の持っている金額が同じになりました。

太郎君がはじめに持っていたお金は何円ですか。

4271

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2201

図で表すと、6000円から600円を引いた金額は、

次郎君が使った1/3の金額5つ分になることがわかります。

その金額に相当するのは、

(6000-600)÷5=1080円

最初に太郎君が持っていた金額は、

1080×2+600=2760円

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2017年2月18日 (土)

面の値はいくつ?(今年 2017年 筑波大学附属駒場中学)

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立方体の各頂点に0または1をおきます。

立方体のそれぞれの面について、

頂点においた4つの数の和を 『面の値』ということにし、

6個の『面の値』の合計を考えます。

例えば、1個の1と7個の0を下図のように頂点においたとき、

2181

『面の値』が1である面が3個、 0である面が3個なので、

6個の『面の値』の合計は3です。

次の問いに答えなさい。

(1) 6個の『面の値』の合計が6になりました。

(ア) 1をおいた頂点は何個ありますか。

(イ)『面の値』が奇数である面は何個ありますか。

   考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)6個の『面の値』の合計が12になりました。

   8個の頂点への0と1のおき方は何通りありますか。

   ただし、立方体を動かすと重なるものや、

   鏡にうつすと重なるものは同じおき方とします。

   例えば、下の例1、例2はそれぞれ同じおき方です。

2182

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(1)

(ア)頂点1つの値は3回たされるので、

6=1×3+1×3 より、

1がおかれた頂点は2つです。

(イ)

2185

1の頂点が並んだときは、

面の値が1の面は、図のように2面

1の頂点が対角線のときは、

面の値が1の面は、4面

1の頂点が一番遠いときは、

面の値が1の面は、6面

(2)

2183

図のように、6通り

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2017年2月17日 (金)

重なっている部分の面積は?(今年 2017年 本郷中学)

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2つの正方形AとBが図のように重なっています。

重なっている部分の面積は正方形Aの3/7にあたり、

また正方形Bの5/8にあたります。

正方形Bの面積が正方形Aの面積より55c㎡小さいとき、

重なっている部分の面積は何c㎡ですか。

2171


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A×3/7=B×5/8 なので、

7×8=56を両辺にかけて分数をなくすと、

A×24=B×35

A:B=35:24

35-24=⑪ が55c㎡にあたるので、

①は55÷⑪=5c㎡

Bの面積=5×24=120c㎡

重なった部分の面積=120×5/8=75c㎡

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2017年2月16日 (木)

色部分の面積は?(今年 2017年 渋谷教育学園渋谷中学)

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下の図のように、半径10cmの円の1/4の扉形0ABがあります。

直線OA、CD、EFは平行です。

このとき、色部分の面積は何c㎡ですか。

ただし、円周率は3.14とします。

2161

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2162

EF=DH=CO なので、

△OEFと△DCOは合同です。

△赤が共通なので、

四角形CEFPと△黄は面積が等しくなり、

緑部分の面積はおうぎ形ODFと等しくなります。

したがって、求める面積は、

10×10×3.14×40/360=314/9c㎡

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2017年2月15日 (水)

正方形が通る範囲は?(今年 2017年 栄光学園中学)

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円周率は3.14とします。

一辺の長さが10cmの正方形の紙があります。

この正方形の内部のどこか1点にピンをさし、

その点を中心に紙を1回転させたときにこの紙が通過する範囲を考えます。

(1)下図において、点Oにピンをさすとき、

   正方形の紙の通過する範囲を図にかき、

   その範囲がわか るように斜線を引きなさい。

Bandicam_20170215_073159856

(2)正方形の紙が通過する範囲の面積が最も小さくなるのは、

   どこにピンをさしたときですか。ピンの 位置を黒丸( ● ) で示しなさい。

   また、そのときの面積を求めなさい。

(3)正方形の紙が通過する範囲の面積が

   314c㎡以下となるようにビンをさします。

   ピンをさすことができる範囲を図にかき、

   その範囲がわかるように斜線を引きなさい。

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(1)

Bandicam_20170215_075244073
(2)

Bandicam_20170215_080237555

Bandicam_20170215_080806453

円の半径を□とすると、

2×□×2×□÷2=100 なので、

□×□=50

正方形が通る範囲の円の面積は、

50×3.14=157c㎡

(3)

2153

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2017年2月14日 (火)

ぬり分け方は何通り? (渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

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赤、青、緑、黄、紫の5色の絵の具があります。

このうちから何色か使って、下の図の①~⑤の部分をすべてぬり分けようと思います。

ただし、それぞれの部分は、この5色のうちの1色だけでぬり、

となり合った部分は違う色をぬることとします。

 このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_4052q

(1)赤、青、緑の3色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

 (2)赤、青、緑、黄の4色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

(3)全部で何通りのぬり方がありますか。

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(1)⑤の部分を赤とすると、②と③の部分は、⑤ととなり合っているので、

下の図1-1、1-2 の2通りのぬり方になります。

(この時点で3色すべてを使っています)

  Pic_4053a

図1-1のとき、①には赤か青、④には赤か緑が入るので、

2×2=4通り のぬり方があり、

同様に図1-2のときも4通り のぬり方があります。

⑤を赤とすると、4×2=8通り のぬり方があり、

青、緑のときも同様なので、赤、青、緑の3色をすべて使うと、

8×3=24通り のぬり方があります。

 

(2)5か所を4色でぬるので、どこかとどこかが同じ色にしなければなりません。

同じ色にする場所として考えられるのは、

 ①と③、①と④、①と⑤、②と④、④と⑤

の 5通り があります。

たとえば、①と③を同じ色にするとき、

①、②、④、⑤ を4色でぬる方法を考えればよく、

 4×3×2×1=24通り

があります。

同じ色をぬる場所が変わっても、同様に24通りとなるので、

赤、青、緑、黄の4色すべてを使うと、24×5=120通り のぬり方があります。

 

(3)5色すべてを使うと、5×4×3×2×1=120通り のぬり方があります。

4色を使ってぬるとき、5色から4色を選ぶ方法は 5通りあるので、

(2)より、120×5=600通り のぬり方があります。

3色を使ってぬるとき、5色から3色を選ぶ方法は、

除く2色の選び方と等しく、4+3+2+1=10通り あるので、

(1)より、24×10=240通り のぬり方があります。

1色だけ、2色だけでぬることはできません。

(②、③、⑤の部分は必ず3色必要)

よって、120+600+240=960通り のぬり方があります。

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2017年2月13日 (月)

SQは何cm?(今年、2017年 武蔵中学)

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下の図の3つの四角形、ABCD、EFGH、PQRDはすべて正方形です。

AE=6cm、AF=10cmのとき、

SQは何cmになりますか?

2131

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2132

△FTQは△GBFと相似で、TQ:TF=3:5

△STFも相似で、TF:TS=③:⑤ になるので、

TS=⑤=5×5/3=25/3

SQ=25/3+9/3=34/3

緑部分は正方形になるので、

TQのにあたるのは、

6cm×3/8=9/4cm

したがって、SQ=34/3÷×9/4=17/2cm

8.5cm

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2017年2月11日 (土)

正六角形の折り紙(今年 2017年 筑波大学附属駒場中学)

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正六角形の紙に次のような操作を行います。
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操作①

図1の点線で半分に折ってから、
図2の点線で両側の正三角形を真ん中に折り重ね、
図3のような正三角形にする。

2110

操作②

①でできた正三角形を図4のようにはさみで切り、
図5のような正六角形を残す。

Bandicam_20170211_094526526
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
上の①→②の操作を1回とかぞえ、操作のあとに残った正六角形に対して、

続けて操作を行っていきます。

はじめの正六角形の紙は、面積が81c㎡です。

(1)1回目の操作のあとに残った正六角形の紙を、全部ひろげます。

   どのような形の紙になりますか。

   下の図の点線をはじめの正六角形として、ひろげた紙の形をかきなさい。

Bandicam_20170211_095835896

(2)2回目の操作のあとに残った正六角形の紙を、全部ひろげます。

   ひろげた紙の面積を求めなさい。

(3)3回目の操作のあとに残った正六角形の紙を、全部ひろげます。

   ひろげた紙には穴がいくつか開いています。

   面積が最も大きい穴は、何c㎡の穴ですか。

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(1)

黄色部分が切り取られた正三角形です。

2111

(2)

残った緑部分は最初の正六角形の6/9=2/3になります。

緑1個分の正六角形の面積は、

81×2/3×1/6=9c㎡

2112

2回目の操作をして残った部分は図のように、

9×2/3×6=36c㎡

(3)3回目の操作をしたあと、

いちばん大きな穴は図のように真ん中の穴です。

2113

1回目の操作で残った正六角形1個分の面積は、9c㎡

2回目の操作で残った正六角形1個分の面積は、9×1/9=1c㎡

3回目の操作で残った正六角形1個分の面積は、1×1/9=1/9c㎡

3回目の操作でできた真ん中の穴を作る小さな黄色の正三角形は、

全部で、16×6=96個あるので、

3回目の操作で残った小さな正六角形、96÷6=16個分なので、

面積は、1/9×16=1と7/9c㎡

2回目の操作でできた真ん中の穴を作る中くらいの黄色の正三角形は、

全部で、4×6=24個あるので、

2回目の操作で残った中くらいの正六角形、24÷6=4個分なので、

面積は、1×4=4c㎡

したがって、穴の面積は、

1と7/9+4+9=14と7/9c㎡

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2017年2月10日 (金)

色をつけた部分の面積は?(今年 2017年 女子学院中学)

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図の円の半径は4cmで、円周を12等分する点をとりました。

色をつけた部分の面積は何c㎡ですか?

ただし、円周率は3.14とします。

2101

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2102

図のように分けてみると、

黄色部分は合わせると、半径4cmの半円になり、

緑部分は合わせると、1辺が4cmの正方形になるので、

4×4×3.14÷2+4×4

=8×3.14+16

=41.12c㎡

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2017年2月 8日 (水)

すれ違うまでにかかった時間は?(今年 2017年 開成中学)

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A地点とB地点の間に一本道があります。

P君はこの道をA地点からB地点へ向かって分速50mで進みます。

Q君もこの道をB地点からA地点へ向かって一定の速さで進みます。

二人は同時に出発し、B地点から250m離れた地点ですれ違いました。

また、P君がB地点に着いてから46分12秒後に、Q君はA地点に着きました。

下の図は、 二人が出発してからの時間と

A地点からの道のりの関係を表しています。

二人が出発してからすれ違うまでにかかった時間を y分とするとき、

y の値を求めなさい。

281

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282

P君はQ君とすれ違ってから、

250÷50=5分でB地点に着いたことになります。

Q君はP君とすれ違ってから、

46.2+5=51.2分でA地点に着いたことになります。

△黄どうしは相似、△緑どうしも相似なので、

51.2:y=y:5

y×y=256

y=16 なので、

すれ違ったのは、16分後です。

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2017年2月 7日 (火)

時間と速さの関係は?(今年 2017年 慶應義塾中等部)

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太郎君は家から自転車に乗ってA駅まで行き、

A駅で電車を待った後、電車に乗ってB駅まで行き、

B駅から歩いて学校まで行きました。

下のグラフはそのときの時間と速さの関係を表したものです。

Bandicam_20170207_082717021_2

(1)電車がA駅を出発し、加速して一定の速さになるまでに、

   電車は何m走りましたか。

(2)太郎君の家から学校までの道のりは何mですか。

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271

色のついた面積部分が、時間×速さ=距離になるので、

(1)3×780÷2=1170m

(2)6×280+1170+5×780+4×780÷2+11×80=9190m

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2017年2月 5日 (日)

2点PQが出会うのは何秒後?(今年、2017年 桜蔭中学)

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下の図は、AD=DH=16cm、 GH=12cmの直方体ABCD-EFGHで、

AF=20cmです。

2つの動く点PとQが同時に出発して、毎秒2cmの速さで、

点Pは長方形ADGFの周上を、点Qは三角形CDGの周上を次のように動きます。

点P:A→D→G→F→A→D→G→・・・・・・

点Q:G→D→C→G→D→・・・・・・

(1)2点P、Qが初めて出会うのは、2点が出発してから何秒後ですか。

(2)2点P、Qが4回目に出会うのは、2点が出発してから何分何秒後ですか。

Bandicam_20170205_095533049

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(1) AD<GDなので、 最初に出会うのはGD上です。

AD+GD=16+20=36cm

2点の速さは、毎秒2cmなので、

36÷(2+2)=9秒後です。

(2)2点が出会うのはGD上に限られるので、

PとQがGD上を移動する時間を調べます。

P

8~18

44~54

80~90

116~126

152~162

・・・・・

Q

0~10

24~34

48~58

72~82

96~106

120~130

・・・・・

時間が重なったところで出会っているので、

4回目は、Pが116~126 Qが120~130 のところ、

QがGに来た120秒後には、PはDから4秒後、

2×4=8cmの位置にいます。

したがって、出会うのは、

(20-8)÷(2+2)=3秒後なので、

120+3=123秒後=2分3秒後です。

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2017年2月 4日 (土)

開いている?閉まっている?(今年、2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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2017年2月 3日 (金)

BPの長さは何cm?(今年、2017年 麻布中学)

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角Aと角Bが直角である台形ABCDがあり、

ADの長さは6cm、BCの長さは10cm、面積は48c㎡です。

点Pが辺AB上にあると して、

三角形PADと三角形PBCの面積の和が21c㎡のとき、

BPの長さは何cmですか?

231

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(10+6)×AB÷2=48 なので、

AB=6cm

10×BP÷2+6×(6-BP)÷2=21 なので、

5×BP+18-3×BP=21

2×BP=3

BP=1.5cm

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2017年2月 2日 (木)

Xは何cm?(今年、2017年 開成中学)

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下の図において、四角形ABCDと四角形ABEFはどちらも長方形で、

3つの直線AG、BD、EFが1点Hで交わっています。

GEの長さが1cm、DFの長さが9cm、 AFの長さがXcmのとき、

Xの値を求めなさい。

221

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222

図のように△緑どうし、△黄どうしは「相似なので、

DF:BE=FH:EH=9:X

AF:GE=FH:EH=X:1

したがって、9:X=X:1

X×X=9×1=9

X=3

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2017年2月 1日 (水)

正六角形の面積比は?(今年、2017年 浦和明の星女子中学)

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図のように、正六角形の各辺の真ん中の点を結んで

小さな正六角形を作りました。

小さな正六角形の面積と、大きな正六角形の面積の比を、

もっとも簡単な整数の比で表しなさい。


211

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212

△緑が

小さい正六角形は18個

大きい正六角形は24個

面積比は、

小さい正六角形:大きい正六角形=18:24=3:4

 

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