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2017年2月14日 (火)

ぬり分け方は何通り? (渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

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赤、青、緑、黄、紫の5色の絵の具があります。

このうちから何色か使って、下の図の①~⑤の部分をすべてぬり分けようと思います。

ただし、それぞれの部分は、この5色のうちの1色だけでぬり、

となり合った部分は違う色をぬることとします。

 このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_4052q

(1)赤、青、緑の3色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

 (2)赤、青、緑、黄の4色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

(3)全部で何通りのぬり方がありますか。

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(1)⑤の部分を赤とすると、②と③の部分は、⑤ととなり合っているので、

下の図1-1、1-2 の2通りのぬり方になります。

(この時点で3色すべてを使っています)

  Pic_4053a

図1-1のとき、①には赤か青、④には赤か緑が入るので、

2×2=4通り のぬり方があり、

同様に図1-2のときも4通り のぬり方があります。

⑤を赤とすると、4×2=8通り のぬり方があり、

青、緑のときも同様なので、赤、青、緑の3色をすべて使うと、

8×3=24通り のぬり方があります。

 

(2)5か所を4色でぬるので、どこかとどこかが同じ色にしなければなりません。

同じ色にする場所として考えられるのは、

 ①と③、①と④、①と⑤、②と④、④と⑤

の 5通り があります。

たとえば、①と③を同じ色にするとき、

①、②、④、⑤ を4色でぬる方法を考えればよく、

 4×3×2×1=24通り

があります。

同じ色をぬる場所が変わっても、同様に24通りとなるので、

赤、青、緑、黄の4色すべてを使うと、24×5=120通り のぬり方があります。

 

(3)5色すべてを使うと、5×4×3×2×1=120通り のぬり方があります。

4色を使ってぬるとき、5色から4色を選ぶ方法は 5通りあるので、

(2)より、120×5=600通り のぬり方があります。

3色を使ってぬるとき、5色から3色を選ぶ方法は、

除く2色の選び方と等しく、4+3+2+1=10通り あるので、

(1)より、24×10=240通り のぬり方があります。

1色だけ、2色だけでぬることはできません。

(②、③、⑤の部分は必ず3色必要)

よって、120+600+240=960通り のぬり方があります。

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