中学受験ー算数解き方ポータル

2017年1月27日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 図形の移動, 規則性, 条件整理と推理 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2017年1月26日 (木)

直方体の底面の1辺の長さは？（今年、２０１６年　浦和明の星女子中学）

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図のように、１辺が９ｃｍの立方体から、

底面が正方形の直方体をくり抜き、

立方体の側面に、はみ出さないように貼り付けて、新しい立体を作りました。

新しい立体の表面積は、もとの立方体の表面積より２１６ｃ㎡増えました。

くり抜いた直方体の底面の1辺の長さを答えなさい。

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くり抜いた直方体の上下の面は、もとの立方体と共通、

直方体の１側面は、立方体の貼り付けられた面と共通、

したがって、新たに増えた面は、

くり抜かれた穴部分の４面と、直方体の２側面の、

合計６面です。

底面の１辺を□ｃｍとすると、

□×９×６＝２１６　なので、

□＝２１６÷５４＝４ｃｍ

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2017年1月25日 (水)

色部分の面積は？（今年、２０１７年　高槻中学）

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面積が１６ｃ㎡である正三角形ＡＢＣがあります。

図の辺の上にあるＤからＬまでの点は各辺を４等分する点です。

（１）三角形ＤＧＪの面積を求めなさい。

1251

（２）三角形ＤＧＪと三角形ＦＩＬの重なっている色部分の面積を求めなさい。

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（１） △ABCから緑部分を引きます。

1252

△ABCの１辺を４、高さを４、面積を４×４＝１６　とすると、

緑１個の三角形は、底辺が１、高さは３なので、

面積比は１×３＝３　となり、

１６×３/１６＝３ｃ㎡

△DGJの面積＝１６－３×３＝７ｃ㎡

（２）△DGJから緑部分を引いて求めます。

1253

図のように、△赤と△青は相似で、相似比は１：３

1254

△赤の高さは、２×１/（１＋３）＝１/２

面積比は、１×１/２＝１/２

四角形 ADMLの面積比は、１＋１/２＝３/２

次に、△水色と△ピンクも相似で、相似比は、３：２

1255

△ピンクの高さは、１×２/（３＋２）＝２/５

面積比は、２×２/５＝４/５

したがって、△緑１個分の面積比は、

1253_2

３－（３/２＋４/５）

＝３０/１０－２３/１０＝７/１０

黄色部分の面積＝７－７/１０×３＝４９/１０

１６×（４９/１０）/１６＝４．９ｃ㎡

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2017年1月24日 (火)

ABCDEはどこに？（今年、２０１７年　灘中学　２日目）

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図１のような長方形の細長い紙を３つの折り目で折り込み、

図２のようにしました。

５個の点　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを頂点とする五角形は正五角形です。

また、点ＦはＡＥの真ん中の点です。

（１）紙を折り込むと、下の図のすべての黒点は

図２の点A、B、C、D、Eのどれかの位置に来ます。

９か所の空欄にA B C D Eのうち当てはまるものを記入しなさい。

（２）図２の紙を直線ＣＦに沿ってはさみで切るとき、

切り口を下の図に書き込みなさい。

なお、下の図の黒点は（１）の図と同じ位置にあります。

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折った順番に①→④考えていくとわかりやすいです。

1245

1246

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2017年1月23日 (月)

面積比は？（今年、２０１７年　渋谷教育学園幕張中学）

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図のような三角形ＡＢＣを

７つの三角形ＡＢＤ、ＡＤＥ、ＤＥＦ、ＥＦＧ、ＦＧＨ、ＧＨＩ、ＨＩＣに分けました。

ただし、３つの点Ｅ、Ｇ、Ｉは、辺ＡＣの長さを４等分した点で、

４つの三角形ＡＢＤ、ＤＥＦ、ＦＧＨ、ＨＩＣの面積はすべて等しいです。

三角形ＥＦＧの面積は、三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか？

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同じ面積の三角形を①とすると、

△ GFCは、３

△黄は、３/２

△EDCは、４＋３/２＝１１/２

△緑は、１１/２÷３＝１１/６

△ABCは、１１/２＋１１/６＋１＝５０/６

△黄＝△EFG＝３/２＝９/６　なので、

△ABCの９/５０倍

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2017年1月21日 (土)

最初の濃度は何％？（今年、２０１７年　灘中学　１日目）

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容器Ａに濃度が□％の砂糖水６００ｇが入っており，

そのうち１５０ｇを空の容器Ｂに移しました。

その後，６５ｇの砂糖を２つに分けて，

一方を容器Ａに，もう一方を容器Ｂに入れてよくかき混ぜたところ，

すべての砂糖が溶け，容器Ａの砂糖水の濃度は２０％に，

容器Ｂの砂糖水の濃度は１０％になりました。

□％＝？

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AとBの最初の濃度を□％、

２つの容器に入れた砂糖の量を、Xｇ、Yｇ、

容器Bの、１０％－□％を△％と考えると、

２つの容器は、図のようにてんびん図で表せます。

1211

９０：△＝１５０：Ｘ　より、

Ｘ＝５/３×△

８０：（△＋１０）＝４５０：Ｙ　より、

Ｙ＝４５/８×（△＋１０）

Ｘ＋Ｙ＝６５　より、

５/３×△＋４５/８×（△＋１０）＝６５

両辺に２４をかけて分数をなくすと、

４０×△＋１３５×（△＋１０）＝１５６０

４０×△＋１３５×△＋１３５０＝１５６０

１７５×△＝２１０

△＝１．２

□＝１０－１．２＝８．８％

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2017年1月20日 (金)

何月のカレンダー？（今年、２０１７年　神戸女学院中学）

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うるう年でない20XX年のある月のカレンダーがあります。

この月は31日まであることが分かっています。

(1) 図のように、わくで囲まれた4つの数の和を求めると84でした。

4つの数を求めなさい。

(2) (1)で求めた4つの数のうち、

いちばん小さい数の日は図のとおり水曜日です。

20XX年1月1日が火曜日であるとき、

(1)のカレンダーは何月のカレンダーですか。

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（１）

左上の日にちを□とすると、

その右は、□＋１

左下の日にちは、□＋７

その右は、□＋８

したがって、□＝（８４－１－７－８）÷４＝１７

上の２つの日にちは、１７、１８

下の２つの日にちは、２４、２５　です。

（２）

この月の１日は、月曜日なので、

３１日あり、１日が月曜になる月を調べます。

１月は１日が火曜日、２９日も火曜日なので、３１日は木曜日

２月１日は金曜日

３月１日も金曜日、３月２９日が金曜日なので、

４月１日は月曜日になりますが、３０日までなので、４月ではありません。

５月１日は水曜日

６月１日は土曜日

７月１日は月曜日なので、この月は７月です。

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2017年1月18日 (水)

ＡＰ、ＡＱの長さは？（今年、２０１７年　甲陽学院中学）

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図１は１辺が１ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨと

それと同じ大きさの立方体４つの計５つでできています。

図１において、それぞれの黒丸印の３点を通る平面で

立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨを切断するとき、

その平面は辺ＡＢ上の点Ｐ辺ＡＤ上の点Ｑを通ります。

このとき、ＡＰ、ＡＱの長さはそれぞれ何ｃｍになりますか？

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図のように、Pは ABの真ん中を通るので、

AP＝１/２ｃｍ

図のように３点を通る平面は、EHの真ん中を通るので、

1182

〇印の点と上の黒丸を結ぶと、この線は

AD上で、ADの中点とDの真ん中を通ります。

1183

したがって、AQ＝３/４ｃｍ

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2017年1月17日 (火)

斜線部分の面積は？（今年、２０１７年　東大寺学園中学）

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図のように点Ｏを中心、ＡＢを直径とする半径５ｃｍの半円があります。

この半円の円周の部分を５等分した点をとり、

Ａから近い順にＣ、Ｄ、Ｅ、Ｆとするとき、

図の斜線部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は３．１４とします。

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図のように、等積移動して考えます。

1171

斜線部分ACDは黄色部分に移動できます。

△ DCGと△ DEGは合同なので、

△DCGと△HEGも合同になり、

△DCGは緑部分に移動できます。

また、△AOIと△FOIが合同なので、

△FOIと△AHIも合同になり、

△AHIは赤部分に移動できます。

すると、求める面積は、

中心角３６×２＝７２°半径５ｃｍのおうぎ形になり、

面積は、５×５×３．１４×７２/３６０＝１５．７ｃ㎡

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2017年1月16日 (月)

△ADGは△ABCの何倍？（今年、２０１７年　灘中学１日目）

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下の図で、

（ACの長さ）：（ADの長さ）＝１：１

（ABの長さ）：（BEの長さ）＝１：２

（BCの長さ）：（CFの長さ）＝１：３

です。

このとき、三角形ADGの面積は、三角形ABCの面積の何倍ですか？

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△ABCの面積を１とすると、

△CBEは２、△FCEは６、△FAC＝△FDAは３

そして、△ADE(黄）も３になります。

全体の△FDEは、６＋３×３＋２＋１＝１８　なので、

その高さは、△ADE(黄）の、１８÷３＝６倍　となります。

したがって、FA：AG＝５：１になるので、

△ADGの面積比は、３×１/５＝３/５

△ABCの３/５倍です。

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2017年1月15日 (日)

角アの大きさは何度？（今年、２０１７年　大阪星光学院中学）

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下の図は、長方形を２回折り返したものです。

角アの大きさは何度ですか？

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∠CBD＝２３°なので、

∠BCD＝６７°

したがって、∠ACB＝２３°になり、

△ABCは二等辺三角形

したがって、∠CAB＝１８０－２３×２＝１３４°

∠〇＝１８０－１３４＝４６°なので、

∠ア＝１８０－（２３＋４６）＝１１１°

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2017年1月14日 (土)

何種類の立体ができる？（渋谷教育学園幕張中学２０１５年）

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同じ大きさの立方体をいくつか使って、立方体の面どうしをはり合わせることで新
しい立体をつくります。

立方体の面どうしをはり合わせるときは、どこもずれずにぴったり重なるようにします。

このようにしてできる立体のうち、回転したりひっくり返したりして同じ形になる立体は同じ種類の立体とします。

例えば、３個の立方体を使ってできる新しい立体は、下の図のような２種類です。

では４個の立方体を使うと何種類の立体ができますか？

P2270

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図のように８種類です。

O227

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2017年1月10日 (火)

三角形ＡＧＦの面積は？（西大和学園中学　２０１４年）

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図のように長方形ＡＢＣＤと三角形ＢＣＥがあり、

ＤＥとＢＣの交点を点Ｆとします｡

また、辺ＡＢ上にＡＧ：ＧＢ＝３：１となるような点Ｇをとり、

点Ｇと点Ｆを結びます。

ＦＣ＝６ｃｍ、ＢＥ＝３ｃｍのとき、

三角形ＡＧＦの面積は何ｃ㎡になりすか。

ただし、３点Ａ、Ｂ、Ｅは一直線上にあります。　

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こたえ

ＢＤを結び、台形ＢＥＣＤを考えると、

△ＤＢＥと△ＣＢＥでは、△赤が共通なので、

△黄と△緑の面積は等しくなります。

△緑と△水色も等積移動すると面積が等しくなるので、

△黄＝△緑＝△水色＝６×３÷２＝９ｃ㎡

斜線部分＝９×３/４＝６．７５ｃ㎡

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2017年1月 7日 (土)

軌跡の長さと面積は？（２０１６年　洛星中学）

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一辺の長さが１０ｃｍのひし形ＡＢＣＤがあり、

面積が９６ｃ㎡で、対角線ＡＣの長さが１２ｃｍです。

点Ｂを中心として、ひし形ＡＢＣＤを１８０°時計回りに回転させるとき、

点Ｄの動く道のりは何ｃｍですか。

また、△ＡＣＤの通過する部分の面積は何ｃ㎡ですか。

12211_3

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2017年1月 5日 (木)

ＰＱの長さは？（中央大学附属横浜中学　2014年）

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下の図において、台形ＡＢＣＤはＡＤの長さが４ｃｍ、

ＢＣの長さが２８ｃｍです。

ＰＱはＡＤと平行で、台形ＡＢＣＤの面積を二等分しています。

このとき、ＰＱの長さを求めなさい。

　 Pic_3962q

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下の図１のように、ＢＡとＣＤを延ばし、交点をＲとすると、

　　 Pic_3963a

三角形ＲＡＤと三角形ＲＢＣは相似で、相似比は、１：７です。

相似比が１：７のとき、面積比は、１×１：７×７＝１：４９

となるので、三角形ＲＡＤの面積を【１】とすると、台形ＡＢＣＤ

の面積は【４８】となります。

ＰＱは台形ＡＢＣＤの面積を二等分しているので、台形ＡＰＱＤ

の面積は【２４】となり、三角形ＲＰＱの面積は【２５】です。

三角形ＲＡＤと三角形ＲＰＱは相似で、面積比が１：２５です。

面積比が１：２５（５×５）なので、相似比は１：５とわかります。

つまり、ＡＤ：ＰＱ＝１：５で、ＡＤ＝４ｃｍより、

　ＰＱ＝４×５＝２０ｃｍ

と求められます。

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2017年1月 4日 (水)

何段、何列？（愛知淑徳中学　2014年）　

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Pic_4102a

上の表は、ある決まりに従って１から１６までの整数を並べたものです。

同じ決まりに従って整数を並べていったとき、

次の問に答えなさい。

（１）２段の８列にある数はいくつですか。

（２）９８は何段の何列にありますか。

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（１）こういった規則的な数の並びの場合、

まず、平方数（同じ数を２回かけた数）がどこにあるかを、考えてみます。

平方数は、下の表１の青い部分にあることがわかります。

　　　　 Pic_4103a

　４（２×２）は、２段の１列

　９（３×３）は、１段の３列

　１６（４×４）は、４段の１列

　２５（５×５）は、１段の５列

となっていて、

　偶数段の１列には、その数の平方数、

　１段の奇数列には、その数の平方数

があることがわかります。

２段の８列に近いのは、１段の８列ですが、偶数列なので、

１段の７列が、７×７＝４９より、１段の８列は、５０で、

２段の８列にあるのは、５１と求められます。

（２）９８に最も近い平方数は、１０×１０＝１００で、

１００が１０段の１列にあり、そこから２個戻れば９８なので、

９８は、１０段の３列にあります。

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