ＰＱの長さは？（中央大学附属横浜中学 2014年）

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下の図において、台形ＡＢＣＤ はＡＤの長さが４ｃｍ、

ＢＣの長さが２８ｃｍです。

ＰＱはＡＤ と平行で、台形ＡＢＣＤ の面積を二等分しています。

このとき、ＰＱの長さを求めなさい。

　

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下の図１のように、ＢＡ とＣＤ を延ばし、交点をＲ とすると、

　　

三角形ＲＡＤ と三角形ＲＢＣ は相似で、相似比は、１ ： ７ です。

相似比が １ ： ７ のとき、面積比は、１×１ ： ７×７ ＝ １ ： ４９

となるので、三角形ＲＡＤ の面積を【１】とすると、台形ＡＢＣＤ

の面積は 【４８】 となります。

ＰＱは台形ＡＢＣＤ の面積を二等分しているので、台形ＡＰＱＤ

の面積は 【２４】 となり、三角形ＲＰＱ の面積は 【２５】 です。

三角形ＲＡＤ と三角形ＲＰＱ は相似で、面積比が １ ： ２５ です。

面積比が １ ： ２５（５×５） なので、相似比は １ ： ５ とわかります。

つまり、ＡＤ ： ＰＱ ＝ １ ： ５ で、ＡＤ＝４ｃｍ より、

　ＰＱ＝４×５＝２０ｃｍ

と求められます。

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