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2017年1月 5日 (木)

PQの長さは?(中央大学附属横浜中学 2014年)

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下の図において、台形ABCD はADの長さが4cm、

BCの長さが28cmです。

PQはAD と平行で、台形ABCD の面積を二等分しています。

このとき、PQの長さを求めなさい。

 Pic_3962q

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下の図1のように、BA とCD を延ばし、交点をR とすると、

  Pic_3963a

三角形RAD と三角形RBC は相似で、相似比は、1 : 7 です。

相似比が 1 : 7 のとき、面積比は、1×1 : 7×7 = 1 : 49

となるので、三角形RAD の面積を【1】とすると、台形ABCD

の面積は 【48】 となります。

 

PQは台形ABCD の面積を二等分しているので、台形APQD

の面積は 【24】 となり、三角形RPQ の面積は 【25】 です。

 

三角形RAD と三角形RPQ は相似で、面積比が 1 : 25 です。

面積比が 1 : 25(5×5) なので、相似比は 1 : 5 とわかります。

つまり、AD : PQ = 1 : 5 で、AD=4cm より、

 PQ=4×5=20cm

と求められます。

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