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下の図の正六角形の面積は６０ｃ㎡です。
ＡＧとＧＢの長さの比が１：３の時、斜線部の面積は何ｃ㎡ですか？
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次の例は、同じ大きさの立方体を積み重ねて作った
ある立体を正面から見た図、
真上から見た図，
真横から見た図で表したものです。
これを参考に下の問いに答えなさい。
（１）次の図のように立方体を最も多く積み重ねるとき、
何個の立方体が必要ですか。
（２）次の図のように立方体を積み重ねるとき、
最小何個の立方体が必要ですか。
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１辺の長さが１ｃｍの正六角形があって、
下の図のようにその周りをうず巻き状に正三角形でしきつめていきます。
正三角形①、②、③、④、⑤の１辺の長さは、
１ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍ です。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）⑥、⑦、⑧、⑨、⑩、⑪、⑫の１辺の長さを求めなさい。
（２）何枚目かの正三角形をしきつめたところ、
その正三角形の１辺の長さが２００ｃｍでした。
しきつめた正三角形は何枚目ですか。
（３） （２）で求めた枚数の正三角形までしきつめたとき、
それぞれの正三角形の１辺の長さの和、
つまり、図の青線の長さを求めなさい。
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解答例
（１）それぞれの正三角形の１辺の長さは、
①＝１ｃｍ、②＝２ｃｍ、③＝３ｃｍ、④＝４ｃｍ、⑤＝５ｃｍ、
⑥＝⑤＋１＋①＝７ｃｍ
⑦＝⑥＋②＝９ｃｍ
⑧＝⑦＋③＝１２ｃｍ
⑨＝⑧＋④＝１６ｃｍ
⑩＝⑨＋⑤＝２１ｃｍ
⑪＝⑩＋⑥＝２８ｃｍ
⑫＝⑪＋⑦＝３７ｃｍ
（２）続けて調べ、２００ｃｍになるのが何枚目か調べます。
（１）より、正三角形の１辺の長さの求め方には、次のような
規則があることがわかります。
このことを利用して、１３枚目以降について、正三角形の
１辺の長さを調べていくと、
⑬＝⑫＋⑧＝３７＋１２＝４９ｃｍ
⑭＝⑬＋⑨＝４９＋１６＝６５ｃｍ
⑮＝⑭＋⑩＝６５＋２１＝８６ｃｍ
⑯＝⑮＋⑪＝８６＋２８＝１１４ｃｍ
⑰＝⑯＋⑫＝１１４＋３７＝１５１ｃｍ
⑱＝⑰＋⑬＝１５１＋４９＝２００ｃｍ
このように順次求めることができます。
よって、２００ｃｍの正三角形をしきつめるのは、１８枚目
ということがわかります。
（３）１８枚目までの１辺の長さの和は、
１＋２＋３＋４＋５＋７＋９＋１２＋１６＋２１＋２８
＋３７＋４９＋６５＋８６＋１１４＋１５１＋２００
＝８１０ｃｍ となります。
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印をつけた角度を全部たすと何度になりますか。
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分子が１で、分母が整数の分数のことを単位分数ということにします。
いろいろな分数を、分母が異なる単位分数の和で表すことを考えます。
ただし、単位分数の和で表すときは、分母が小さい順に書くこととします。
１/２、２/３、３/４を2つの異なる単位分数の和で表す方法は一通りです。
①～④に入る整数を求めなさい。
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１/２－１/３＝３/６－２/６＝１/６①＝６
２/３－１/２＝４/６－３/６＝１/６
②＝６
３/４＝２/４＋１/４＝１/２＋１/４
③＝２
④＝４
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図のＡＢＣＤ－ＥＦＧＨは１辺の長さ１ｍの立方体で、
Ｉは辺ＡＥの中点、Ｊは辺ＢＦの中点です。
四角すいＢ－ＣＤＩＪの体積を求めなさい。
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三角柱ＡＩＤ－ＢＪＣから三角すいＢ－ＡＩＤを引いて求めます。
１×１/２×１/２×１－１×１/２×１/２×１×１/３＝
１×１/２×１/２×１×（１－１/３）＝
１×１/２×１/２×１×２/３＝
１/６立方ｍ
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点F は頂点Ａを中心とした円と、頂点Ｅを中心とした円の交点で、
点G は頂点Aを中心とした円と、頂点Ｂを中心とした円の交点で、
三角形ＡＢＧ と三角形ＡＥＦは、共に三辺の長さが等しいので、
正三角形ということがわかります。
角ＢＡＧ＝角ＥＡＦ＝６０°、角ＢＡＥ＝１０８°で、
角ＢＡＧと角ＥＡＦの重なりが角あ、なので、
角あ＝６０＋６０－１０８＝１２°
と求められます。
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直径１０ｃｍの円の中に、
同じ大きさの正方形が５つぴったりおさまっています。
この正方形１つの面積は何ｃ㎡ですか。
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下の図６の正方形が１通り、図７が１通りでき、
全部で、９＋４＋１＋４＋２＝２０通り の正方形ができます。
（２）図６の正方形の面積は、６×６－２×４÷２×４個＝２０ｃ㎡
なので、下の図８の直角三角形の面積は、２０÷２＝１０ｃ㎡ で、
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図のような三角すいが水平な床の上にあり、
その内部に１点Ｐがあります。
この三角すい、および点Ｐについて次のことがわかっています。
●面ＡＢＣを床につけると、頂点Ｄは床から１０ｃｍ、
点Ｐは床から３ｃｍのところにあります。
●面ＡＣＤを床につけると、頂点Ｂは床から８ｃｍ、
点Ｐは床から１ｃｍのところにあります。
●面ＡＢＤを床につけると、頂点Ｃは床から１２ｃｍ、
点Ｐは床から５ｃｍのところにあります。
それでは、下図のように面ＢＣＤを床につけたとき、
床から点Ｐまでの長さは、
床から点Ａまでの長さの何倍になりますか。
(ただし､床から点までの長さとは､
点から床に垂直に線を引いたときのその線の長さを表します｡)
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下の図のように，台形と円が重なっています。 --------------------------------------------------- ----------------------------------------------------
図の①と③の部分の面積の和と②の部分の面積が等しいとき，
アの長さを求めなさい。
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下の図のように
直角三角形を１辺１０ｃｍの正方形のタイルでおおいました。
直角をはさむ２辺が３ｍと４ｍの直角三角形を同じようにおおうには、
何枚のタイルが必要でしょうか？
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３ｍ×４ｍの直角三角形は、
３０ｃｍ×４０ｃｍの直角三角形の１０倍の大きさです。
３０ｃｍ×４０ｃｍの直角三角形をおおう正方形のタイルは９枚で、
３ｍ×４ｍの直角三角形は、下の図のように構成されます。
使われるタイルの枚数は、
９×１０＋１２×（１＋２＋３＋・・・＋９）
＝９０＋１２×（１＋９）×９÷２
＝６３０枚 となります。
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１６個の立方体を並べてできる図１のような立体を４つ作りました。
それぞれの立体から
ア～エに示された斜線部分の３個の立方体を抜きとります。
残った立体の表面積が大きい順に、記号を並べ直してください。
図１
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