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2016年12月

2016年12月28日 (水)

斜線部分の面積は?(中央大学横浜山手女子中学 2010年)

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下の図の正六角形の面積は60c㎡です。

AGとGBの長さの比が1:3の時、斜線部の面積は何c㎡ですか?

Bandicam2016

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Bandicam_20161228_081158761

Bandicam_20161228_081215549

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2016年12月26日 (月)

何個の立方体が必要ですか?(筑波大附属中 2011年)

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次の例は、同じ大きさの立方体を積み重ねて作った

ある立体を正面から見た図、

真上から見た図,

真横から見た図で表したものです。

これを参考に下の問いに答えなさい。

1_2 

(1)次の図のように立方体を最も多く積み重ねるとき、

     何個の立方体が必要ですか。

2

(2)次の図のように立方体を積み重ねるとき、

     最小何個の立方体が必要ですか。

3

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Bandicam_20161226_070132831

Bandicam_20161226_070144846

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2016年12月23日 (金)

うずまきの規則性は?(久留米大学附設中学 2010年) 

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1辺の長さが1cmの正六角形があって、

下の図のようにその周りをうず巻き状に正三角形でしきつめていきます。

Pic_1485q_2

正三角形①、②、③、④、⑤の1辺の長さは、

1cm、2cm、3cm、4cm、5cm です。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)⑥、⑦、⑧、⑨、⑩、⑪、⑫の1辺の長さを求めなさい。

(2)何枚目かの正三角形をしきつめたところ、

    その正三角形の1辺の長さが200cmでした。

    しきつめた正三角形は何枚目ですか。

(3) (2)で求めた枚数の正三角形までしきつめたとき、

   それぞれの正三角形の1辺の長さの和、

     つまり、図の青線の長さを求めなさい。

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解答例

 (1)それぞれの正三角形の1辺の長さは、

①=1cm、②=2cm、③=3cm、④=4cm、⑤=5cm、

⑥=⑤+1+①=7cm

⑦=⑥+②=9cm

⑧=⑦+③=12cm

⑨=⑧+④=16cm

⑩=⑨+⑤=21cm

⑪=⑩+⑥=28cm

⑫=⑪+⑦=37cm

 

 (2)続けて調べ、200cmになるのが何枚目か調べます。

(1)より、正三角形の1辺の長さの求め方には、次のような

規則があることがわかります。

     Pic_1486a

このことを利用して、13枚目以降について、正三角形の

1辺の長さを調べていくと、

 ⑬=⑫+⑧=37+12=49cm

 ⑭=⑬+⑨=49+16=65cm

 ⑮=⑭+⑩=65+21=86cm

 ⑯=⑮+⑪=86+28=114cm

 ⑰=⑯+⑫=114+37=151cm

 ⑱=⑰+⑬=151+49=200cm

このように順次求めることができます。

 

よって、200cmの正三角形をしきつめるのは、18枚目

ということがわかります。

 

 (3)18枚目までの1辺の長さの和は、

1+2+3+4+5+7+9+12+16+21+28

 +37+49+65+86+114+151+200

810cm となります。

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2016年12月22日 (木)

角度を全部たすと何度?(大宮開成中学 2010年)

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印をつけた角度を全部たすと何度になりますか。

327

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Bandicam_20161222_081954718

Bandicam_20161222_082010316

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2016年12月19日 (月)

単位分数の和はいくつ?(2017年 海陽中等教育学校)

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分子が1で、分母が整数の分数のことを単位分数ということにします。

いろいろな分数を、分母が異なる単位分数の和で表すことを考えます。

ただし、単位分数の和で表すときは、分母が小さい順に書くこととします。

1/2、2/3、3/4を2つの異なる単位分数の和で表す方法は一通りです。

①~④に入る整数を求めなさい。

12191

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1/2-1/3=3/6-2/6=1/6

①=6

2/3-1/2=4/6-3/6=1/6

②=6

3/4=2/4+1/4=1/2+1/4

③=2

④=4

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2016年12月18日 (日)

四角すいB-CDIJの体積は?(2016年度 海陽中等教育学校)

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図のABCDEFGHは1辺の長さ1mの立方体で、

Iは辺AEの中点、Jは辺BFの中点です。

四角すいB-CDIJの体積を求めなさい。

12221

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三角柱AID-BJCから三角すいB-AIDを引いて求めます。

12222

1×1/2×1/2×1-1×1/2×1/2×1×1/3=

1×1/2×1/2×1×(1-1/3)=

1×1/2×1/2×1×2/3=

1/6立方m

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2016年12月16日 (金)

角「あ」の大きさは?(渋谷教育学園渋谷中学 2016年)   

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  0010_2

 
上の図は、正五角形ABCDEと、

その頂点A,B,Eを中心として円を描いたものです。

図の角あの大きさは何度ですか?

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下の図1のように、

角あを作るAを中心とした円周上の点をF,G とします。
 

  0011_2

点F は頂点Aを中心とした円と、頂点Eを中心とした円の交点で、

点G は頂点Aを中心とした円と、頂点Bを中心とした円の交点で、

三角形ABG と三角形AEFは、共に三辺の長さが等しいので、

正三角形ということがわかります。

角BAG=角EAF=60°、角BAE=108°で、

角BAGと角EAFの重なりが角あ、なので、

    角あ=60+60-108=12°

と求められます。

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2016年12月14日 (水)

円の中の正方形の面積は?(昭和女子大学付属 昭和女子中学 2010年)

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直径10cmの円の中に、

同じ大きさの正方形が5つぴったりおさまっています。

この正方形1つの面積は何c㎡ですか。

3011

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Bandicam_20161214_080645331

Bandicam_20161214_080635863

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2016年12月13日 (火)

図形の形は何通り?(芝中学 2016年)

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0043_2

 
4×4の碁盤の目の上に碁石を置いて、
その碁石を結んでできる図形を考えます。
上の図1は、たて2cm、横4cmの長方形を表しています。
また、碁盤の線と線の間は均等で2cmで、
同じ形でも碁石を置く場所が違うものは区別します。
 
このとき、次の問に答えなさい。
 
(1)碁石を4個置くとき、正方形は何通りできますか。
 
(2)碁石を3個置くとき、面積が10c㎡の直角三角形は何通りできますか。

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解答
 
 (1)下の図2の正方形が9通り、図3の正方形が4通りでき、
 

   0044_2  

下の図4の正方形が1通り、図5が4通りでき、

    0045

下の図6の正方形が1通り、図7が1通りでき、

    0046

全部で、9+4+1+4+2=20通り の正方形ができます。

 

 (2)図6の正方形の面積は、6×6-2×4÷2×4個=20c㎡

なので、下の図8の直角三角形の面積は、20÷2=10c㎡ で、

    0047

図8の直角三角形が4通り、図8から1マス横にずれた図9の
 
直角三角形も4通り できます。
 
同様に、図7についても10c㎡の直角三角形を4+4=8通り
 
できるので、10c㎡の直角三角形は、
 
 4+4+4+4=16通り
 
できます。

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2016年12月 9日 (金)

超発想の立体図形問題(第9回算数オリンピック ファイナル)

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図のような三角すいが水平な床の上にあり、

その内部に1点Pがあります。

この三角すい、および点Pについて次のことがわかっています。

●面ABCを床につけると、頂点Dは床から10cm、

  点Pは床から3cmのところにあります。

●面ACDを床につけると、頂点Bは床から8cm、

  点Pは床から1cmのところにあります。

●面ABDを床につけると、頂点Cは床から12cm、

  点Pは床から5cmのところにあります。

それでは、下図のように面BCDを床につけたとき、

床から点Pまでの長さは、

床から点Aまでの長さの何倍になりますか。

(ただし、床から点までの長さとは、

点から床に垂直に線を引いたときのその線の長さを表します。)

Bandicam_20161209_085422797

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Bandicam_20161209_085330117
Bandicam_20161209_085335048
Bandicam_20161209_085343232
Bandicam_20161209_085347462
Bandicam_20161209_085354963
Bandicam_20161209_085406018

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2016年12月 8日 (木)

台形と円の面積(城北中学 2010年)

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下の図のように,台形と円が重なっています。

図の①と③の部分の面積の和と②の部分の面積が等しいとき,

アの長さを求めなさい。

Bandicam_20161208_083523143


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Bandicam_20161208_083441321

Bandicam_20161208_083452834

Bandicam_20161208_083458018

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2016年12月 5日 (月)

何枚のタイルが必要?(慶應義塾普通部 2002年)

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下の図のように

直角三角形を1辺10cmの正方形のタイルでおおいました。

      

直角をはさむ2辺が3mと4mの直角三角形を同じようにおおうには、

何枚のタイルが必要でしょうか?

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3m×4mの直角三角形は、

30cm×40cmの直角三角形の10倍の大きさです。

30cm×40cmの直角三角形をおおう正方形のタイルは9枚で、

3m×4mの直角三角形は、下の図のように構成されます。

1217      

使われるタイルの枚数は、

9×10+12×(1+2+3+・・・+9)

=90+12×(1+9)×9÷2

=630枚  となります。

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2016年12月 1日 (木)

表面積の差は?(成蹊中学 2010年)

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16個の立方体を並べてできる図1のような立体を4つ作りました。

それぞれの立体から

ア~エに示された斜線部分の3個の立方体を抜きとります。

残った立体の表面積が大きい順に、記号を並べ直してください。

図1

2161

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Bandicam_20161201_073118284

Bandicam_20161201_073125124

Bandicam_20161201_073148498

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