うずまきの規則性は？（久留米大学附設中学 2010年）
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１辺の長さが１ｃｍの正六角形があって、
下の図のようにその周りをうず巻き状に正三角形でしきつめていきます。
正三角形①、②、③、④、⑤の１辺の長さは、
１ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍ です。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）⑥、⑦、⑧、⑨、⑩、⑪、⑫の１辺の長さを求めなさい。
（２）何枚目かの正三角形をしきつめたところ、
その正三角形の１辺の長さが２００ｃｍでした。
しきつめた正三角形は何枚目ですか。
（３） （２）で求めた枚数の正三角形までしきつめたとき、
それぞれの正三角形の１辺の長さの和、
つまり、図の青線の長さを求めなさい。
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解答例
（１）それぞれの正三角形の１辺の長さは、
①＝１ｃｍ、②＝２ｃｍ、③＝３ｃｍ、④＝４ｃｍ、⑤＝５ｃｍ、
⑥＝⑤＋１＋①＝７ｃｍ
⑦＝⑥＋②＝９ｃｍ
⑧＝⑦＋③＝１２ｃｍ
⑨＝⑧＋④＝１６ｃｍ
⑩＝⑨＋⑤＝２１ｃｍ
⑪＝⑩＋⑥＝２８ｃｍ
⑫＝⑪＋⑦＝３７ｃｍ
（２）続けて調べ、２００ｃｍになるのが何枚目か調べます。
（１）より、正三角形の１辺の長さの求め方には、次のような
規則があることがわかります。
このことを利用して、１３枚目以降について、正三角形の
１辺の長さを調べていくと、
⑬＝⑫＋⑧＝３７＋１２＝４９ｃｍ
⑭＝⑬＋⑨＝４９＋１６＝６５ｃｍ
⑮＝⑭＋⑩＝６５＋２１＝８６ｃｍ
⑯＝⑮＋⑪＝８６＋２８＝１１４ｃｍ
⑰＝⑯＋⑫＝１１４＋３７＝１５１ｃｍ
⑱＝⑰＋⑬＝１５１＋４９＝２００ｃｍ
このように順次求めることができます。
よって、２００ｃｍの正三角形をしきつめるのは、１８枚目
ということがわかります。
（３）１８枚目までの１辺の長さの和は、
１＋２＋３＋４＋５＋７＋９＋１２＋１６＋２１＋２８
＋３７＋４９＋６５＋８６＋１１４＋１５１＋２００
＝８１０ｃｍ となります。
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