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2016年11月10日 (木)

重なるのは何秒後?(東大寺学園中学 2015年)

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図のような長方形ABCDがあります。

点Pは頂点Aを出発して,長方形の周上を時計と逆回りでA→B→C→D→Aの順に,

点Qは頂点Aを出発して,長方形の周上を時計回りでA→D→C→B→Aの順に,

それぞれ一定の速さで一周するものとします。

2点P,Qが同時に頂点Aを出発してから5.2秒後に,点Pは辺BC上に,

点Qは辺DC上にあり,三角形APQが直角二等辺三角形になりました。

2点P,Qが重なるのはそれから何秒後ですか。
3041

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図のように、△APQにおいて角Pが直角になる場合、

APは常にAB=5cmより長く、PQは常にBC=4cmより短いので、

AP=PQなることはありません。

3042

△APQが直角二等辺三角形になるのは下の図のように、

角Qが直角になるときです。

3043

角○+角□=90°なので、

△黄と△緑は合同な直角三角形になります。

したがって、AD=QC=4cm になるので、

DQ=CP=1cm、PB=3cm になります。

Pは5+3=8cmを5.2秒で進んだので、秒速(8/5.2)cm

Qは4+1=5cmを5.2秒で進んだので、秒速(5/5.2)cm

2点が重なるまでのキョリは4+1=5cm なので、向かい合う旅人算で考えると、

2点が出会うまで、5÷(8/5.2+5/5.2)=2秒 です。

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