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2016年11月22日 (火)

最少何本の線で囲めるかな?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

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1枚の紙の上に何個かの点があるとき、

以下のルールにしたがって点と点をまっすぐな線で結びます。

ルール1)どの点も最低1個のほかの点と結ばれるようにする。

ルール2)線どうしは交わらないようにする。

このとき、線でかこまれた部分を[区域]とよび、

その個数を数えます。

たとえば6個の点があるとき、(図1)や(図2)の場合は3個、

(図3)の場合は4個の区域があることになります。

1

いま、1枚の紙の上に2006個の点があり、

これらの点どうしをルールにしたがって

まっすぐな線で結んで2006個の区域を作るとき、

最少で何本の線を引いたらよいですか。

ただし、どの線も必ず区域をかこんでいるものとします。

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2

3点で1つの区域を囲んでいる△黄を考えます。

この図形にA点を1個加えるとします。

Aと他の2点をそれぞれ線で結ばないと区域ができないので、

区域を1個増やすには2本の線が必要ですが、

点Bのような場所に点をとれば、2本の線を引いた後に点の数を増やさず、

新たに線を1本引くだけで区域をもう1個さらに増やすことができます。

そこで、まず3個の点を3本の線で結び△黄を作ります。

3個の点で1つの区域を囲んでいるこの状態から、

点をA点のように1個ずつ増やしていき、点の数が2006個になるまでを考えます。

このとき、区域の数は1+(2006-3)=2004個となります。

また、線の数は、3+2×(2006-3)=4009本となります。

次に、この状態から点の数を増やさずに、

線の数を増やして区域の数を2006個にする(2個増やす)ことを考えます。

つまり、図のように黄色部分で2004個の点で区域が囲まれているとき、

点Bのような場所に2点加えます。

3

すると、区域を1つ増やすには1本線(赤線)を引けばよいので、

区域を2006個にするには2本の線を引けばよいことになります。

したがって、線の数は、4009+2=4011本 です。

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コメント

あるべき条件「図形全体が連結」が欠落しているような気がします.

この条件があるならば,全体の外部も「面」と数えるものとして,
多面体定理より,(頂点数)-(線分数)+(面の数)=2.
よって,頂点数2006,面の数2007なら,線分数は4011に確定します.
(「最少の場合」に少し違和感があります.)

この条件がなく,「最少」の場合を問う問題なので,図形全体を連結させず,
より少ない線分で条件を満たす場合を考えるべきではないかと思います.
例えば,三角形(3点3線分1区域)を元に,
操作「1つの三角形の内部に1点をとって3頂点と結ぶ」で1点3線分2区域ずつ
増やすことを803回繰り返し,806点2412線分1607区画の図を作り,
残った1200点で398個の三角形と1個の六角形を作ると,
「どの線分も必ず区域を囲む」も含め,すべての条件を満たして,
「2006点3612線分2006区域」の実例が得られているのではないでしょうか.

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