ひもの長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)
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下の図の正六角柱ABCDEF-GHIJKL は底面が正六角形で
側面は正方形でできています。
図のように、この正六角柱の頂点H から
辺BC上の点M,辺EF上の点Nを通って頂点Kまで
長さが最も短くなるようにひもを張ります。
この正六角柱の表面積が48c㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。
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正六角柱の展開図を描くと下の図1のようになるので、
ひもの長さが最短となるのは、図1のように頂点H と頂点K を
一直線に結んだときです。
また、正六角形は、6個の正三角形から成るので、下の図2のように、
この展開図は、6個の正方形と12個の正三角形で
できていると考えることができます。
立体の表面積が48c㎡ なので、
正方形1個と正三角形2個の面積の合計が8c㎡
ということがわかります。
また、下の図3のように、
AD,BE,CF の交点Oは、HK上にあり、ちょうどまん中の点です。
(三角形OBHと三角形OEKが合同なので、OH=OK)
HKの長さを求めるには、OHの長さを求めればよいことになります。
下の図4のように、三角形OHPに注目します。
三角形OBHは二等辺三角形で、角OBH=150度なので、
角BOH=(180-150)÷2=15度 です。
同様に角AOP=15度なので、角HOP=60+15+15=90度
となります。
ここで、三角形OBHの面積は下の図5のように等積変形すると、
正方形の4分の1の面積に等しいことがわかります。
このことから、三角形OHPの面積は下の図6のように
正方形1個 と 正三角形2個分の面積の和に等しいことがわかり、
面積は8c㎡ です。
OHの長さとOPの長さは等しいので、三角形OHPは直角二等辺
三角形で、面積が8c㎡ より、OHの長さを□cmとすると、
□×□÷2=8
より、□=4cm とわかります。
よって、最短となるひもの長さ : HKの長さは、4×2=8cm
ということがわかります。
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