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2016年11月

2016年11月30日 (水)

ひもの長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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下の図の正六角柱ABCDEF-GHIJKL は底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点H から

辺BC上の点M,辺EF上の点Nを通って頂点Kまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が48c㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。

Pic_3098q

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正六角柱の展開図を描くと下の図1のようになるので、

ひもの長さが最短となるのは、図1のように頂点H と頂点K を

一直線に結んだときです。

  Pic_3099a

 また、正六角形は、6個の正三角形から成るので、下の図2のように、

この展開図は、6個の正方形と12個の正三角形で

できていると考えることができます。

  Pic_3100a

立体の表面積が48c㎡ なので、

正方形1個と正三角形2個の面積の合計が8c㎡

ということがわかります。

 

また、下の図3のように、

  Pic_3101a_2

AD,BE,CF の交点Oは、HK上にあり、ちょうどまん中の点です。

(三角形OBHと三角形OEKが合同なので、OH=OK)

 

HKの長さを求めるには、OHの長さを求めればよいことになります。

 

下の図4のように、三角形OHPに注目します。

三角形OBHは二等辺三角形で、角OBH=150度なので、

角BOH=(180-150)÷2=15度 です。

Pic_3102a

同様に角AOP=15度なので、角HOP=60+15+15=90度

となります。

 

ここで、三角形OBHの面積は下の図5のように等積変形すると、

Pic_3103a

正方形の4分の1の面積に等しいことがわかります。

このことから、三角形OHPの面積は下の図6のように

  Pic_3104a

正方形1個 と 正三角形2個分の面積の和に等しいことがわかり、

面積は8c㎡ です。

 

OHの長さとOPの長さは等しいので、三角形OHPは直角二等辺

三角形で、面積が8c㎡ より、OHの長さを□cmとすると、

   □×□÷2=8

より、□=4cm とわかります。

 

よって、最短となるひもの長さ : HKの長さは、4×2=8cm

ということがわかります。

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2016年11月28日 (月)

受けたテストの回数は?(2015年 逗子開成中学)

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花子さんは算数のテストをN回受けました。

花子さんのとった点数の平均点はちょうど81点でした。

このうち、最高点97点と最低点53点の2回のテストの得点を除いた平均点は

ちょうど83点でした。Nにあてはまる数を求めなさい。

1

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除いた2回分の点数が81×2=162点なら、平均点は81点で変わりません。

ところが、除いた2回分が97+53=150点だったので、

平均点が2点上がったわけで、

図のように、162-150=12点を、残った分に加えたと考えてみます。

516

平均点が2点上がったので、12÷2=6回分です。

除いた2回分を加えて、

テストの回数は、6+2=8回です。

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2016年11月23日 (水)

道のりの比は?(学芸大学附属竹早中学 2010年)

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Bandicam_20161123_092745071

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Bandicam_20161123_092648367
Bandicam_20161123_092652872
Bandicam_20161123_092657247
Bandicam_20161123_092705919
Bandicam_20161123_092722980

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2016年11月22日 (火)

最少何本の線で囲めるかな?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

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1枚の紙の上に何個かの点があるとき、

以下のルールにしたがって点と点をまっすぐな線で結びます。

ルール1)どの点も最低1個のほかの点と結ばれるようにする。

ルール2)線どうしは交わらないようにする。

このとき、線でかこまれた部分を[区域]とよび、

その個数を数えます。

たとえば6個の点があるとき、(図1)や(図2)の場合は3個、

(図3)の場合は4個の区域があることになります。

1

いま、1枚の紙の上に2006個の点があり、

これらの点どうしをルールにしたがって

まっすぐな線で結んで2006個の区域を作るとき、

最少で何本の線を引いたらよいですか。

ただし、どの線も必ず区域をかこんでいるものとします。

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2

3点で1つの区域を囲んでいる△黄を考えます。

この図形にA点を1個加えるとします。

Aと他の2点をそれぞれ線で結ばないと区域ができないので、

区域を1個増やすには2本の線が必要ですが、

点Bのような場所に点をとれば、2本の線を引いた後に点の数を増やさず、

新たに線を1本引くだけで区域をもう1個さらに増やすことができます。

そこで、まず3個の点を3本の線で結び△黄を作ります。

3個の点で1つの区域を囲んでいるこの状態から、

点をA点のように1個ずつ増やしていき、点の数が2006個になるまでを考えます。

このとき、区域の数は1+(2006-3)=2004個となります。

また、線の数は、3+2×(2006-3)=4009本となります。

次に、この状態から点の数を増やさずに、

線の数を増やして区域の数を2006個にする(2個増やす)ことを考えます。

つまり、図のように黄色部分で2004個の点で区域が囲まれているとき、

点Bのような場所に2点加えます。

3

すると、区域を1つ増やすには1本線(赤線)を引けばよいので、

区域を2006個にするには2本の線を引けばよいことになります。

したがって、線の数は、4009+2=4011本 です。

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2016年11月20日 (日)

体積比は?(灘中学 2013年 1日目)

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立方体の形をした容器を傾けて固定し,

水を注いだところ,図1のようになりました。

さらに水を注ぐと図2のようになり,

このときの水の体積は立方体の体積の11/14でした。

図1の水の体積は立方体の体積の何倍ですか。

1120

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図1の図形は三角すいなので、体積は

(1×1÷2)×高さ÷3 となり、

高さが分かればよいことになります。

図のように、底面に平行な赤い面を考えると、

3_2

図1の図形=水色部分=黄色部分 で、

水のある水色部分を水のない黄色部分に移動すると、

図2の上の空白部分の体積=赤い面より上の四角柱

=1-11/14=3/14

高さは図1と同じなので、

高さ=3/14÷(1×1)=3/14

したがって、図1の体積は

(1×1÷2)×3/14÷3=1/28 倍

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2016年11月18日 (金)

水の体積は何立方cm?(2016年 洛星中学)

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0025_35952

上の図のように、1辺の長さが12cmで、

上の口が開いている立方体の容器があり、

●印のついた頂点を結ぶ三角形の形の仕切りが入っています。

この容器に上から水を注ぎ、

水の高さが6cmになるまで入れました。

このとき容器に入っている水の体積は何立方cmですか?

ただし、容器と仕切りの厚さは考えないものとし、
仕切りは水を通さないものとします。

また、三角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求められます。

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0026
上の図1の黄色い部分の体積は、
 
大きい三角すいから小さい三角すいを除けばよいので、
 
 12×12÷2×12÷3 - 6×6÷2×6÷3 = 252c㎥
 
と求められ、入っている水の体積は、
 
 12×12×6-252=612c㎥
 
とわかります。
 

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2016年11月16日 (水)

液体の温度は何度になる?(筑波大学附属中学 2014年)

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温度を上げるときの割合は常に一定で、

温度を下げるときの割合も常に一定に行える装置があります。

この装置にある液体を入れ、

時間とともに液体の温度がどのように変化するかを下のグラフに表しました。

グラフ中の点Aの液体の温度は何度になりますか。

1_2

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温度は、1分で1.5°上がり、1°下がります。

20分から60分の40分で、温度を上げ続ければ、

1.5×40=60°上がるところ、

実際は50-45=5°しか上がらなかったわけです。

1分上げる代わりに1分下げれば、1.5+1=2.5°下がるので、

(60-5)÷2.5=22分下げる時間があったことになります。

22分で22°下がったので、

Aの温度は、45-22=23° です。

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2016年11月15日 (火)

作業は何日かかる?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2014年)

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ある工場現場に 3本のクレーンA,B,C があります。

3本のクレーンをすべて使うと、ちょうど8日間で、

BとCの2本のクレーンだけを使うと、ちょうど12日間で、

Cのクレーンだけを使うと、ちょうど36日間で、

それぞれ全体の作業を終わらせることができます。

工事は毎日行うものとして、次の問に答えなさい。

Ilm2007_04_0008s

(1)

クレーンA だけを使うと、

作業を始めてから何日目で全体の作業を終わらせることができますか。 

(2)

クレーンA だけをちょうど5日間使い、

残りをクレーンBとCの2本だけを使って作業をしました。

作業を始めてから何日目で全体の作業を終わらせることができますか。

(3)

A,B,C のクレーンから1日ごとにどれか1本だけを選んで作業をしたところ、

全部でちょうど21日間で全体の作業を終わらせることができました。

Bを使用した日数がAを使用 した日数の2倍のとき、

Bを使用した日数は何日ですか。

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(1)クレーンA,B,C を使うと、1日で全体の1/8 の作業をすることができます。

 クレーンB,Cを使うと、1日で全体の1/12 の作業をすることができます。

 クレーンC だけを使うと、1日で全体の1/36 の作業をすることができます。

クレーンB だけを使って 1日でできる作業は、

 1/12 - 1/36 = 1/18  です。

クレーンA だけを使って 1日でできる作業は、

 1/8 - 1/12 = 1/24  です。

よって、クレーンA だけを使うと、

24日目で全体の作業を終わらせることができることがわかります。

 

(2)クレーンA が5日でする作業は、5/24 なので、残りは 19/24 です。

残りの作業をクレーンB,C を使ってすると、

  19/24 ÷ 1/12 = 9.5日  かかります。

よって、作業が終わるのは、5+9.5=14.5日 かかるので、15日目です。

 

(3)クレーンA で1日、クレーンB で2日作業をすると、

1/24+2/18=11/72 の作業ができます。

クレーンC は1日で 1/36=2/72 の作業をできるので、

 11×★ + 2×☆ = 72 ・・・ 【式】 

となるような (★、☆)の組み合せを探します。

ただし、★は3日分の作業に当たるので、★×3+☆=21日 を満たす必要があります。

条件を満たす(★、☆)は、(6,3) だけです。

★ 1回につき、クレーンB は2日の作業が含まれるので、

クレーンB が作業をしたのは、6×2=12日間 となります。

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2016年11月13日 (日)

体積の比は?(2015年 國學院大學久我山中学)

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1辺の長さが1㎝の立方体をその1つの面と平行な平面で切り、

2つの直方体A、Bに分けます。

Aの表面積とBの表面積の比が1:2のとき、

Aの体積とBの体積の比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

629

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Aの幅を□cm、Bの幅を△cmとすると、□+△=1cm

Aの表面積は、1×1×2+1×4×□=2+4×□

Bの表面積は、1×1×2+1×4×△=2+4×△

{2×(1+2×□)}:{2×(1+2×△)}=1:2 なので、

2×(1+2×△)=4×(1+2×□)

1+2×△=2+4×□

2×△-4×□=1

△-2×□=1/2

△=1-□ なので、

1-□-2×□=1/2

1-3×□=1/2

3×□=1/2

□=1/6

△=5/6

体積の比は□:△なので、

A:B=1:5

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2016年11月11日 (金)

針金が通る立方体は何個?(2015年 香蘭女学校中等科)

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図のように,立方体をすき間なく積み上げて直方体を作ります。

針金をAからBにまっすぐ突き刺すとき,針金が通過する立方体は何個ですか?

P503

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針金は図のように通っています。

Capture_2015_05_03_07_00_34_234

まず正面から見て、通っていない立方体を消していきます。

Capture_2015_05_03_07_02_02_78

右上1列と、左下1列です。

Capture_2015_05_03_07_04_17_625

次に、上から見て、通っていない立方体を消します。

Capture_2015_05_03_07_04_48_875

Capture_2015_05_03_07_06_55_359

次に、横から見て、通っていない立方体を消します。

Capture_2015_05_03_07_07_28_484

Capture_2015_05_03_07_08_18_328_2

8個の立方体が残りました。

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2016年11月10日 (木)

重なるのは何秒後?(東大寺学園中学 2015年)

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図のような長方形ABCDがあります。

点Pは頂点Aを出発して,長方形の周上を時計と逆回りでA→B→C→D→Aの順に,

点Qは頂点Aを出発して,長方形の周上を時計回りでA→D→C→B→Aの順に,

それぞれ一定の速さで一周するものとします。

2点P,Qが同時に頂点Aを出発してから5.2秒後に,点Pは辺BC上に,

点Qは辺DC上にあり,三角形APQが直角二等辺三角形になりました。

2点P,Qが重なるのはそれから何秒後ですか。
3041

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図のように、△APQにおいて角Pが直角になる場合、

APは常にAB=5cmより長く、PQは常にBC=4cmより短いので、

AP=PQなることはありません。

3042

△APQが直角二等辺三角形になるのは下の図のように、

角Qが直角になるときです。

3043

角○+角□=90°なので、

△黄と△緑は合同な直角三角形になります。

したがって、AD=QC=4cm になるので、

DQ=CP=1cm、PB=3cm になります。

Pは5+3=8cmを5.2秒で進んだので、秒速(8/5.2)cm

Qは4+1=5cmを5.2秒で進んだので、秒速(5/5.2)cm

2点が重なるまでのキョリは4+1=5cm なので、向かい合う旅人算で考えると、

2点が出会うまで、5÷(8/5.2+5/5.2)=2秒 です。

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2016年11月 7日 (月)

アリとキリギリス、仕事したのは何日?(共立女子中学 2014年)

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数匹のアリとキリギリスが食べ物を運びます。

その食べ物を運び終えるのにアリだけでは18日間,

キリギリスだけでは24日間かかります。

最初はアリとギリギリスが一緒に運んでいましたが,

途中の日からキリギリスが休んでしまったので,

その日からはアリだけが運び,

すべての食べ物を運び終えるまでに12日間かかりました。

キリギリスは何日間運びましたか。

Ilm18_bb05012sIlm02_cc04008s

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全体の仕事量を18と24の最小公倍数72としてみます。

アリは1日に 72÷18=4 運び、

キリギリスは1日に 72÷24=3 運び、

一緒だと1日に 4+3=7 運びます。

図のようにつるかめ算で考えると、

1

すべて一緒なら 12日で 7×12=84 運べるので、

緑部分は 84-72=12

たてが 7-4=3 なので、

横は 12÷3=4日 ということになります。

キリギリスが運んだ日は、一緒に働いた 12-4=8日 です。

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2016年11月 3日 (木)

列車の長さは?(1994年算数オリンピック、団体リレー問題より)

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ある列車は、全長82mの鉄橋を渡るのに22秒かかります。

速さを2倍にすると、全長706mの鉄橋を渡るのに50秒かかります。

この列車の長さは何mでしょうか?

Tuka

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こたえ

速さを倍にすると82mの鉄橋を22÷2=11秒で渡ります。

1

706mの鉄橋と比較すると、列車の長さは同じなので、

50-11=39秒は、706-82=624mでついた差になります。

列車の速さは、1秒間に 624÷39=16m です。

11秒では、16×11=176m進むので、

列車の長さは、176-82=94m です。

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