ひもの長さは？（慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年）
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下の図の正六角柱ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬ は底面が正六角形で
側面は正方形でできています。
図のように、この正六角柱の頂点Ｈ から
辺ＢＣ上の点Ｍ，辺ＥＦ上の点Ｎを通って頂点Ｋまで
長さが最も短くなるようにひもを張ります。
この正六角柱の表面積が４８ｃ㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。
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正六角柱の展開図を描くと下の図１のようになるので、
ひもの長さが最短となるのは、図１のように頂点Ｈ と頂点Ｋ を
一直線に結んだときです。
また、正六角形は、６個の正三角形から成るので、下の図２のように、
この展開図は、６個の正方形と１２個の正三角形で
できていると考えることができます。
立体の表面積が４８ｃ㎡ なので、
正方形１個と正三角形２個の面積の合計が８ｃ㎡
ということがわかります。
また、下の図３のように、
ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ の交点Ｏは、ＨＫ上にあり、ちょうどまん中の点です。
（三角形ＯＢＨと三角形ＯＥＫが合同なので、ＯＨ＝ＯＫ）
ＨＫの長さを求めるには、ＯＨの長さを求めればよいことになります。
下の図４のように、三角形ＯＨＰに注目します。
三角形ＯＢＨは二等辺三角形で、角ＯＢＨ＝１５０度なので、
角ＢＯＨ＝（１８０－１５０）÷２＝１５度 です。
同様に角ＡＯＰ＝１５度なので、角ＨＯＰ＝６０＋１５＋１５＝９０度
となります。
ここで、三角形ＯＢＨの面積は下の図５のように等積変形すると、
正方形の４分の１の面積に等しいことがわかります。
このことから、三角形ＯＨＰの面積は下の図６のように
正方形１個 と 正三角形２個分の面積の和に等しいことがわかり、
面積は８ｃ㎡ です。
ＯＨの長さとＯＰの長さは等しいので、三角形ＯＨＰは直角二等辺
三角形で、面積が８ｃ㎡ より、ＯＨの長さを□ｃｍとすると、
□×□÷２＝８
より、□＝４ｃｍ とわかります。
よって、最短となるひもの長さ ： ＨＫの長さは、４×２＝８ｃｍ
ということがわかります。
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