中学受験ー算数解き方ポータル

2016年10月31日 (月) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 角度 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2016年10月30日 (日)

面積の大きい順番は？（共立女子中学　２００９年）

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下の図形はすべて周囲が９ｃｍです。

面積の大きい順番を答えてください。

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周囲の長さが等しく、１辺の長さが等しいとき、

角の数が多いほど面積は大きくなります。

円は限りなく角を増やした多角形と考えればよいので、

円が一番面積が大きくなります。

ただし、長方形の場合は、縦、横の長さを変えると、

面積はどんどん小さくできるので、

正三角形との面積比較はできません。

以上より、円→正方形→長方形→正三角形または、

円→正方形→正三角形→長方形のどちらかになります。

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色の着いた立方体はいくつ？（女子学院中学　２０１１年）

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同じ大きさの立方体２３個を図のように積み上げ，

床についている面を除いた表面をすべて緑色のペンキで塗りました。

次の立方体はそれぞれいくつありますか。

2221

①３つの面が緑色で塗られている立方体は？

②２つの面が緑色で塗られている立方体は？

③１つの面が緑色で塗られている立方体は？

④どの面も緑色で塗られていない立方体は？

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2016年10月29日 (土)

６回目の折り目は？（成城学園中学　２０１４年）

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正方形の折り紙を次の手順で折ります。

（操作１）面積が半分になるように，対角線で１回折る

（操作２）折ったままの状態から，直角を半分にするように１回折る

この後，（操作２）を４回くり返し，合計６回折ります。

６回目に折ったときにできる折り目を、下の解答らんに書きなさい。

ただし，５回目までにできた折り目は書かないこと。

（注意）下の図の解答らんを折らないこと。

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青、１回目

濃紺、２回目

緑、３回目

ピンク、４回目

紫、５回目

赤、６回目

６回目は小さい正方形の対角線３２本分になります。

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2016年10月28日 (金)

対角線が通過する形は？（２０１５年　聖光学院中学）

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図１のように、１辺の長さが６ｃｍの正方形ＡＢＣＤと、

１辺の長さが３ｃｍの正方形ＰＱＲＳが、

点Ｓと点Ａが重なり、辺ＡＢ上に点Ｒがあるように置かれています。

図１の状態から図２のように、点Ｑが点Ｂに重なるまで、

正方形ＰＱＲＳが反時まわりにすべらないように回転するとき、

対角線ＱＳが通過する部分を図示し、その部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は３．１４とします。

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Bandicam_20161028_075806498

半径３ｃｍの半円から、

緑部分と黄分を引けばいいわけです。

緑部分２つを合わせると、

対角線の長さが３ｃｍの正方形になります。

３×３÷２＝４．５ｃ㎡

黄色部分のおうぎ形は、中心角９０°で、

半径×半径が４．５になります。

したがって、求める面積は、

３×３×３．１４×１/２－（４．５＋４．５×３．１４×１/４）

＝（４．５－４．５×１/４）×３．１４－４．５

＝６．０９７５ｃ㎡

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2016年10月27日 (木)

Aの高さは何ｃｍ？（２０１６年　洗足学園中学）

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図のような２つの直方体があります。

Ａの高さはＢの高さより２ｃｍ高く、

Ｂの表面積はＡの表面積より３５２ｃ㎡大きいとき、

Ａの高さは何ｃｍですか。

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AとBの上面積と底面積の差は、

B－A＝１６×１２×２－１０×８×２＝２２４ｃ㎡

Bの表面積はさらに、

３５２－２２４＝１２８ｃ㎡　大きいことになります。

その差は図のように、側面を広げてみると、

10271

赤－黄＝１２８ｃ㎡　なので、

Bの高さを□ｃｍとすると、

２０×□－２×３６＝１２８

２０×□－７２＝１２８

２０×□＝２００

□＝１０ｃｍ　となり、

Aの高さは、１０＋２＝１２ｃｍ　です。

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2016年10月26日 (水)

対角線が通過する正方形は何個？（渋谷教育学園幕張中学　２０１２年）

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図のように、正方形のマスをたてに３個、

よこに５個並べて長方形を作作ります。

この長方形の1本の対角線は、斜線のの７個のマスを通過します。

次の各問いに答えなさい。

（１）

正方形のマスをたてに７個、

よこに11個並べた長方形を作るとき、

この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。

（２）

正方形のマスをたてに39個、

よこに51個並べた長方形を作るとき、

この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。

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2016年10月25日 (火)

この立体の展開図はどれ？（慶應義塾普通部　2011年）

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下の図１は立方体で、Ａ，Ｂ，Ｃは各辺のまん中の点です。

Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面で立方体を切断すると、

図２の立体ができます。

図２の立体の展開図として正しいものを、

下の図３のア～エよりすべて選んでください。

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Bandicam_20161025_080222794

Bandicam_20161025_080246575

Bandicam_20161025_080301641

Bandicam_20161025_080334046

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2016年10月24日 (月)

どう工夫しますか？（雙葉中学　２０１０年）

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図は、半円と二等辺三角形を組み合わせたものです。

しるしをつけた角は直角です。

（ア）の部分の面積と（イ）の部分の面積の合計は326.25ｃ㎡です。

（ア）の部分の面積は何ｃ㎡ですか。

円周率は3.14です。

1105

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2016年10月22日 (土)

角アの大きさは何度？（２０１５年早稲田大学高等学院中学部）

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下の図において，ＡＥ＝ＥＢ，AD＝BCのとき，角アの大きさは何度ですか。

ただし，３点Ａ，Ｅ，Ｂと３点C，D，Eはそれぞれ一直線上にあるとします。

3191

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図のように、△黄を△緑の位置までＥを中心に回転させます。

3192

ＡＥはＢＥに重なり、Ｄ’ＥＤは一直線になります。

すると、△Ｄ’ＢＣは二等辺三角形になるので、

角Ｄ’＝角ア＝３６°です。

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2016年10月21日 (金)

見ることができる面は何面？（大阪星光学院中学　２０１４年）

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下の図はテーブルの上にサイコロを下段から９個、５個、１個と

すきまなく積み上げて固定したものです。

サイコロの向かい合う面の合計は７です。

（１）見ることのできる面は全部で何面ありますか。

（２）見ることのできる面の数の和が最小になるときはいくつになりますか。

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(１）

下段の四隅は３面×４＝１２面

辺は１面×４＝４面

中段は４面×４＝１６面

上段は５面

合計、１２＋４＋１６＋５＝３７面

（２）

下段の四隅は１と２と３の面にすれば、

（１＋２＋３）×４＝２４

下段の辺は１になり、

１×４＝４

中段は上と辺が１と２、向かい合う面は７で

（１＋２＋７）×４＝４０

上段は、１＋２＋３＋４＋５＝１５

合計、２４＋４＋４０＋１５＝８３

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2016年10月19日 (水)

生徒の人数は何人？（市川中学　２０１４年）

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市川中学校の１年生全員が長いすに座ります。

1脚の長いすに３人ずつ座ると２５人が座れず、

１脚の長いすに４人ずつ座ると、だれも座わらない長いすが１８脚の残ります。

生徒の人数が５の倍数であるとき、生徒の人数は何人ですか？

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４人がけの状態から３人がけにするには、

１８×３＋２５＝７９人　４人座った長いすから移動しなくてはなりません。

全部のいすに４人が座っていたら、

いすは７９脚ですが７９×４＝３１６人で５の倍数にはなりません。

最後のいすが３人なら、７９×４＋３＝３１９人でこれも５の倍数になりません。

最後のいすが２人なら、このいすにも１人移動しなければならず、

４人がけのいすから移動する人数は７９＋１＝８０人

８０×４＋２＝３２２人でこれも５の倍数になりません。

最後のいすが１人なら、このいすに２人移動しなければならず、

４人がけのいすから移動する人数は７９＋２＝８１人

８１×４＋１＝３２５人で５の倍数になります。

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2016年10月18日 (火)

何本のマッチ棒が必要？（２０１５年　立教女学院中学）

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図のように（矢印の方向に）正方形を作っていく場合を考えます。

（１）１辺の長さがマッテ棒１本分の正方形を２５個作るには，

何本のマッチ棒が必要ですか。？

P3191

（２）マッチ棒が１３４本あるとき、

１辺の長さがマッチ棒１本分の正方形は何個作ることができますか。

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図のように、１辺が１の正方形の場合は、１×４＝４本

１辺が２の正方形の場合は、２×６＝１２本

１辺が３の正方形の場合は、３×８＝２４本

P3192

と、１辺の本数×（１辺の本数×２＋２）のように規則的に増えていきます。

１辺が４本では、４×（４×２＋２）＝４０本

（１）２５個では１辺に５本使われているので、

５×（５×２＋２）＝６０本になります。

（２）１辺に８本で、

８×（８×２＋２）＝１４４本になります。

514

それより、１４４－１３４＝１０本少ないので、

図のように５個正方形は少なくなり、

８×８－５＝５９個　です。

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2016年10月17日 (月)

斜線部分の面積は？（浦和明の星女子中学　2012年）

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図のように，

１辺の長さが3cmの正六角形と直径が3cmの３つの円があります。

図の斜線の部分全体の面積は何ｃ㎡ですか？

ただし，図中の・は円の中心とします。

また，円周率は3.14とします。

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2016年10月15日 (土)

年齢算＋相当算（浦和明の星女子中学　２０１２年）

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秋子さんと弟の春夫君、お父さん、おじいさんの４人が

それぞれの年齢について、次のように話をしています。

秋子さんは今何才ですか。

おじいさん

「私は８０代です｡」

春夫君

「僕の年齢はおじいさんの年齢のちょうど７分の１です｡」

秋子さん

「私と春夫とお父さんの年齢を足すと、おじいさんの年齢に等しくなります｡」

お父さん

「２年後に，私の年齢は秋子の年齢のちょうど３倍になります｡」

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2016年10月14日 (金)

重なっている部分は？（２０１５年　東海大学付属浦安高等学校中等部）

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１辺が８ｃｍの正方形の台紙に、１辺が４ｃｍの正方形の色紙（ア～ク）を

台紙の線に合わせて図のように重ねて貼っていきました。

このとき次の問いに答えなさい。

6271

（１）最初に貼られた色紙はア～クのうちどれですか。

（２）カの色紙と重なっていない色紙は何枚ありますか。

（３）もっとも多くの色紙が重なっている部分の面積をすべてあわせると

　　　何ｃ㎡になりますか。

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（１）ウは左半分が見えないので、イより先、

オは上半分が見えないので、ウより先、

クは上半分が見えないので、オより先、

キは右半分が見えないので、クより先、

カは右半分が見えないので、キより先、

カ→キ→ク→オ→ウ→イ→ア→エ　の順番なので、最初はカ

（２）カと重なっているのは図のように２枚なので、

6272

重なっていないのは、８－２－カ＝５枚

（３）重なっている枚数を調べると、図のようになります。

6273

したがって、３枚重なっている面積の合計は、

２×２×４＝１６ｃ㎡

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2016年10月12日 (水)

三角形ＤＢＥの面積は？（２０１６年　世田谷学園中学）

Bandicam2016101208

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下の図は、直角三角形ＡＢＣに長方形ＤＥＦＧを重ねたものです。

ＢＥ＝ＤＥ＝ＣＦであり、ＤＦとＡＣの交点がI、ＤＧとＡＣの交点がＨです。

また、ＡＩ＝７ｃｍ、ＩＣ＝３ｃｍです。

このとき、三角形ＤＢＥの面積は何ｃ㎡ですか？

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ＢＥ＝ＤＥ＝ＣＦ＝□　とすると、

△DBEと△ABCは相似なので、AC＝BC＝１０ｃｍ

BC＝EF　なので、EF＝１０ｃｍ

△DEFと△ICF　も相似で、

EF：DE＝CF：IC

１０：□＝□：３　となるので、

□×□＝１０×３＝３０

△DBEの面積＝□×□÷２＝３０÷２＝１５ｃ㎡

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2016年10月11日 (火)

砂時計で時間を計るには？（頌栄女子学院中学　2012年）　

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３分を計ることができる砂時計Ａと、

７分を計ることができる砂時計Ｂがあります。

この２つの砂時計を使って、

１１分を計るにはどのようにしたらよいか説明してください。

3_3 3_4

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１１分＝４分＋７分　と考えてみます。

Bandicam_20161011_080953984

Bandicam_20161011_081006294

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2016年10月 8日 (土)

色のついた部分の面積合計は？（早稲田実業学校中等部　２０１２年）

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図のように半径３ｃｍの５つの円が重なっています。

・はそれぞれの円の中心です。

色のついた部分の面積の合計は何ｃ㎡ですか。

（円周率は３．１４とします）

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△青は１辺が３ｃｍの正三角形なので、

図のように等積移動すると、

中心角６０°半径３ｃｍのおうぎ形が５つできます。

したがって、求める面積は、

３×３×３．１４×６０/３６０×５＝２３．５５ｃ㎡

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2016年10月 7日 (金)

この立体図形の体積は？（世田谷学園中学　2014年）

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Pic_4121q

上の図は、１辺の長さが１２ｃｍの立方体です。

（１）４つの頂点Ａ，Ｃ，Ｆ，Ｈを結んでできる立体の体積を求めなさい。

（２）立方体の各面の対角線の交点を頂点とする立体の体積を求めなさい。

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　（１）求める立体は、下の図１のようになり、

　　　　　 Pic_4122a

立方体から、三角すいＡ－ＥＦＨ４個分の体積を除けばよく、

　１２×１２×１２　－　１２×１２÷２×１２÷３×４個

＝１２×１２×（１２－８）＝１４４×４

＝５７６ｃ㎥

となります。

　（２）求める立体は、下の図２の立体ＰＱＲＳＴＵで、

　　　　　　 Pic_4123a

この立体は、面ＱＲＳＴを底面とする２つの四角すい

Ｐ－ＱＲＳＴとＵ－ＱＲＳＴを合わせたもので、

それぞれの高さは、立方体の１辺の長さの半分の６ｃｍ、

四角形ＱＲＳＴの面積は、正方形ＡＢＣＤの半分の７２ｃ㎡

なので、この立体の体積は、

　７２×６÷３×２個＝２８８ｃ㎥

と求められます。

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2016年10月 6日 (木)

積み木は最小でいくつ必要？（２０１６年　筑波大学附属中学）

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1062
立方体の積み木を重ねたところ、

図のように見えました。

積み木は最小でいくつ必要ですか？

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2016年10月 4日 (火)

四角形の面積は？（豊島岡女子学園中学２０１５年）

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図のように、１辺の長さが３ｃｍの正方形ABCDがあります。

点E、F、G、Hは正方形の各辺を３等分する点です。

直線EGと直線AB、CDが交わる点をそれぞれP、Rとし,、

直線FHと直籐BC、ADが交わる点をそれぞれQ、Sとします。

このとき、四角形PQRSの面積は何ｃ㎡ですか。

306

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直角三角形ＡＦＳと直角三角形ＤＨＳは相似で、

ＡＦ：ＤＨ＝２/３：１/３＝２：１より、相似比は２：１なので、

ＡＳ：ＤＳ＝２：１　より、ＡＤ＝ＤＳ＝３ｃｍ

同様に、ＡＦ＝ＢＱ＝ＣＲ＝ＤＳ＝３ｃｍ

△ＦＡＳの面積＝６×３÷２＝９ｃ㎡なので、

四角形ＰＱＲＳの面積＝９×５＝４５ｃ㎡

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2016年10月 2日 (日)

動く歩道の速さは？（２０１６年　青山学院中等部）

Hodo Cartoon

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ある駅には改札からホームへ行く途中に、

図のような反対方向に同じ速さで動く２本の「動く歩道」があります。

太郎くんは改札側から、花子さんはホーム側から、

この「動く歩道」に同時に乗りました。

花子さんは「動く歩道」に立ったままでしたが、

太郎くんは「動く歩道」の上を一定の速さで歩きました。

太郎くんは「動く歩道」を１０８歩進んだところで花子さんとすれ違い、

そこから６０歩進んでホーム側に到着しました。

また、花子さんは太郎くんが到着してから２分後に改札側に到着しました。

太郎くんの１歩の幅は７５ｃｍです。

（１）太郎くんと花子さんの移動している速さの比は何対何ですか？

（２）この「動く歩道」の速さは、分速何ｍですか？

　　また、太郎くんの歩く速さ(「動く歩道」に乗っていないとき)は、

　　分速何ｍですか？

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図のように、

太郎は１０８歩進んだところで花子とすれ違ったので、

全体の９/１４進んでいたことになり、

花子はその同じ時間で全体の５/１４進んでいたことになります。

したがって、２人が移動した速さの比は、

太郎：花子（動く歩道）＝９：５　

太郎の歩く速さは、⑨－⑤＝④　です。

④の速さで、

（１０８＋６０）×７５＝１２６００ｃｍ＝１２６ｍ　歩いたわけですが、

動く歩道の速さは⑤なので、

その間、動く歩道は、１２６ｍ×⑤/④＝１５７．５ｍ　動いています。

合計、１２６＋１５７．５＝２８３．５ｍ　移動しています。

花子は太郎がホームについた時点で、

改札の、２８３．５－１５７．５＝１２６ｍ　手前にいるので、

２分で改札に着いたわけですから、

動く歩道の速さは、分速　１２６÷２＝６３ｍ　です。

これが⑤にあたるので、

太郎の速さは、分速　６３×④/⑤＝５０．４ｍ　です。

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2016年10月 1日 (土)

どの数字を打ちまちがえた？（２０１５年　東京学芸大学附属世田谷中学）

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２から９までの１けたの数を使って電卓でかけ算をしました。

２×３×６×８×９×７×５×２×５を計算しようと思っていましたが、

１つの数字を電卓で打ちまちがえてしまい、積が６８０４００となりました。

どの数字を、２から９までのどの１けたの数字と打ちまちがえましたか。

Calculator168360_640

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２×２×５×５＝１００、

３×６×８×９×７＝９０７２　なので、

９０７２が６８０４の何倍になったのか調べます。

９０７２/６８０４を約分していきますが、

すべての桁の和が９で割り切れるときは９の倍数なので、

分子分母を９で割って、１００８/７５６、

さらに９で割って、１１２/８４、

１４で割って、８/６

４/３倍になっていることがわかります。

３、６、８、９、７のうち４/３で割って整数になるのは８だけなので、

８÷４/３＝６

８を６と打ちまちがえました。

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