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2016年10月

2016年10月31日 (月)

角アの大きさは何度?(早稲田大学高等学院中学部 2015年)

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下の図において,AE=EB,AD=BCのとき,角アの大きさは何度ですか。

ただし,3点A,E,Bと3点C,D,Eはそれぞれ一直線上にあるとします。

3191

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図のように、△黄を△緑の位置までEを中心に回転させます。

3192

AEはBEに重なり、D’EDは一直線になります。

すると、△D’BCは二等辺三角形になるので、

角D’=角ア=36°です。

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2016年10月30日 (日)

面積の大きい順番は?(共立女子中学 2009年)

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下の図形はすべて周囲が9cmです。

面積の大きい順番を答えてください。

 

1

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周囲の長さが等しく、1辺の長さが等しいとき、

角の数が多いほど面積は大きくなります。

円は限りなく角を増やした多角形と考えればよいので、

円が一番面積が大きくなります。

ただし、長方形の場合は、縦、横の長さを変えると、

面積はどんどん小さくできるので、

正三角形との面積比較はできません。

以上より、円→正方形→長方形→正三角形または、

円→正方形→正三角形→長方形のどちらかになります。

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色の着いた立方体はいくつ?(女子学院中学 2011年)

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同じ大きさの立方体23個を図のように積み上げ,

床についている面を除いた表面をすべて緑色のペンキで塗りました。

次の立方体はそれぞれいくつありますか。

2221

①3つの面が緑色で塗られている立方体は?

②2つの面が緑色で塗られている立方体は?

③1つの面が緑色で塗られている立方体は?

④どの面も緑色で塗られていない立方体は?

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Bandicam_20161030_102840162

Bandicam_20161030_102821555

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2016年10月29日 (土)

6回目の折り目は?(成城学園中学 2014年)

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正方形の折り紙を次の手順で折ります。

(操作1)面積が半分になるように,対角線で1回折る

(操作2)折ったままの状態から,直角を半分にするように1回折る

この後,(操作2)を4回くり返し,合計6回折ります。

6回目に折ったときにできる折り目を、下の解答らんに書きなさい。

ただし,5回目までにできた折り目は書かないこと。

(注意)下の図の解答らんを折らないこと。

1

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青、1回目

濃紺、2回目

緑、3回目

ピンク、4回目

紫、5回目

赤、6回目

7

6回目は小さい正方形の対角線32本分になります。

8

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2016年10月28日 (金)

対角線が通過する形は?(2015年 聖光学院中学)

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図1のように、1辺の長さが6cmの正方形ABCDと、

1辺の長さが3cmの正方形PQRSが、

点Sと点Aが重なり、辺AB上に点Rがあるように置かれています。

図1の状態から図2のように、点Qが点Bに重なるまで、

正方形PQRSが反時まわりにすべらないように回転するとき、

対角線QSが通過する部分を図示し、その部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20151011_085315049

Bandicam_20151011_085335380

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Bandicam_20161028_075806498

半径3cmの半円から、

緑部分と黄分を引けばいいわけです。

緑部分2つを合わせると、

対角線の長さが3cmの正方形になります。

3×3÷2=4.5c㎡

黄色部分のおうぎ形は、中心角90°で、

半径×半径が4.5になります。

したがって、求める面積は、

3×3×3.14×1/2-(4.5+4.5×3.14×1/4)

=(4.5-4.5×1/4)×3.14-4.5

=6.0975c㎡

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2016年10月27日 (木)

Aの高さは何cm?(2016年 洗足学園中学)

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Bandicam20161027

図のような2つの直方体があります。

Aの高さはBの高さより2cm高く、

Bの表面積はAの表面積より352c㎡大きいとき、

Aの高さは何cmですか。

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AとBの上面積と底面積の差は、

B-A=16×12×2-10×8×2=224c㎡

Bの表面積はさらに、

352-224=128c㎡ 大きいことになります。

その差は図のように、側面を広げてみると、

10271

赤-黄=128c㎡ なので、

Bの高さを□cmとすると、

20×□-2×36=128

20×□-72=128

20×□=200

□=10cm となり、

Aの高さは、10+2=12cm です。

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2016年10月26日 (水)

対角線が通過する正方形は何個?(渋谷教育学園幕張中学 2012年)

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図のように、正方形のマスをたてに3個、

よこに5個並べて長方形を作作ります。

この長方形の1本の対角線は、斜線のの7個のマスを通過します。

次の各問いに答えなさい。

13

(1)

正方形のマスをたてに7個、

よこに11個並べた長方形を作るとき、

この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。

 

(2)

正方形のマスをたてに39個、

よこに51個並べた長方形を作るとき、

この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。

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bandicam-2016-10-26-07-21-15-827 bandicam-2016-10-26-07-21-30-296 bandicam-2016-10-26-07-22-03-846 bandicam-2016-10-26-07-22-34-163 bandicam-2016-10-26-07-22-46-147 bandicam-2016-10-26-07-22-58-580

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2016年10月25日 (火)

この立体の展開図はどれ?(慶應義塾普通部 2011年)

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下の図1は立方体で、A,B,C は各辺のまん中の点です。

A,B,C を通る平面で立方体を切断すると、

図2の立体ができます。

1

図2の立体の展開図として正しいものを、

下の図3のア~エよりすべて選んでください。

2

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Bandicam_20161025_080222794

Bandicam_20161025_080246575

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2016年10月24日 (月)

どう工夫しますか?(雙葉中学 2010年)

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図は、半円と二等辺三角形を組み合わせたものです。

しるしをつけた角は直角です。

(ア)の部分の面積と(イ)の部分の面積の合計は326.25c㎡です。

(ア)の部分の面積は何c㎡ですか。

円周率は3.14です。

11053

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Bandicam_20161024_081241218

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2016年10月22日 (土)

角アの大きさは何度?(2015年 早稲田大学高等学院中学部)

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下の図において,AE=EB,AD=BCのとき,角アの大きさは何度ですか。

ただし,3点A,E,Bと3点C,D,Eはそれぞれ一直線上にあるとします。

3191

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図のように、△黄を△緑の位置までEを中心に回転させます。

3192

AEはBEに重なり、D’EDは一直線になります。

すると、△D’BCは二等辺三角形になるので、

角D’=角ア=36°です。

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2016年10月21日 (金)

見ることができる面は何面?(大阪星光学院中学 2014年)

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下の図はテーブルの上にサイコロを下段から9個、5個、1個と

すきまなく積み上げて固定したものです。

サイコロの向かい合う面の合計は7です。

(1)見ることのできる面は全部で何面ありますか。

(2)見ることのできる面の数の和が最小になるときはいくつになりますか。

Capture_2014_08_08_07_47_52_156

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(1)

下段の四隅は3面×4=12面

辺は1面×4=4面

中段は4面×4=16面

上段は5面

合計、12+4+16+5=37面

(2)

下段の四隅は1と2と3の面にすれば、

(1+2+3)×4=24

下段の辺は1になり、

1×4=4

中段は上と辺が1と2、向かい合う面は7で

(1+2+7)×4=40

上段は、1+2+3+4+5=15

合計、24+4+40+15=83

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2016年10月19日 (水)

生徒の人数は何人?(市川中学 2014年)

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市川中学校の1年生全員が長いすに座ります。

1脚の長いすに3人ずつ座ると25人が座れず、

1脚の長いすに4人ずつ座ると、だれも座わらない長いすが18脚の残ります。

生徒の人数が5の倍数であるとき、生徒の人数は何人ですか?

Cb003cs

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1

4人がけの状態から3人がけにするには、

18×3+25=79人 4人座った長いすから移動しなくてはなりません。

全部のいすに4人が座っていたら、

いすは79脚ですが79×4=316人で5の倍数にはなりません。

最後のいすが3人なら、79×4+3=319人でこれも5の倍数になりません。

最後のいすが2人なら、このいすにも1人移動しなければならず、

4人がけのいすから移動する人数は79+1=80人

80×4+2=322人でこれも5の倍数になりません。

最後のいすが1人なら、このいすに2人移動しなければならず、

4人がけのいすから移動する人数は79+2=81人

81×4+1=325人で5の倍数になります。

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2016年10月18日 (火)

何本のマッチ棒が必要?(2015年 立教女学院中学)

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図のように(矢印の方向に)正方形を作っていく場合を考えます。

(1)1辺の長さがマッテ棒1本分の正方形を25個作るには,

何本のマッチ棒が必要ですか。?

P3191

(2)マッチ棒が134本あるとき、

1辺の長さがマッチ棒1本分の正方形は何個作ることができますか。

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図のように、1辺が1の正方形の場合は、1×4=4本

1辺が2の正方形の場合は、2×6=12本

1辺が3の正方形の場合は、3×8=24本

P3192

と、1辺の本数×(1辺の本数×2+2)のように規則的に増えていきます。

1辺が4本では、4×(4×2+2)=40本

(1)25個では1辺に5本使われているので、

5×(5×2+2)=60本になります。

(2)1辺に8本で、

8×(8×2+2)=144本になります。

514

それより、144-134=10本少ないので、

図のように5個正方形は少なくなり、

8×8-5=59個 です。

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2016年10月17日 (月)

斜線部分の面積は?(浦和明の星女子中学 2012年)

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図のように,

1辺の長さが3cmの正六角形と直径が3cmの3つの円があります。

図の斜線の部分全体の面積は何c㎡ですか?

ただし,図中の・は円の中心とします。

また,円周率は3.14とします。

1

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Bandicam_20161017_071156973

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2016年10月15日 (土)

年齢算+相当算(浦和明の星女子中学 2012年)

Bandicam_20161015_072917631

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秋子さんと弟の春夫君、お父さん、おじいさんの4人が

それぞれの年齢について、次のように話をしています。

秋子さんは今何才ですか。

おじいさん

「私は80代です。」

春夫君

「僕の年齢はおじいさんの年齢のちょうど7分の1です。」

秋子さん

「私と春夫とお父さんの年齢を足すと、おじいさんの年齢に等しくなります。」

お父さん

「2年後に,私の年齢は秋子の年齢のちょうど3倍になります。」

Moe200

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Bandicam_20161015_072854938

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2016年10月14日 (金)

重なっている部分は?(2015年 東海大学付属浦安高等学校中等部)

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1辺が8cmの正方形の台紙に、1辺が4cmの正方形の色紙(ア~ク)を

台紙の線に合わせて図のように重ねて貼っていきました。

このとき次の問いに答えなさい。

6271


(1)最初に貼られた色紙はア~クのうちどれですか。

(2)カの色紙と重なっていない色紙は何枚ありますか。

(3)もっとも多くの色紙が重なっている部分の面積をすべてあわせると

   何c㎡になりますか。

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(1)ウは左半分が見えないので、イより先、

オは上半分が見えないので、ウより先、

クは上半分が見えないので、オより先、

キは右半分が見えないので、クより先、

カは右半分が見えないので、キより先、

カ→キ→ク→オ→ウ→イ→ア→エ の順番なので、最初はカ

(2)カと重なっているのは図のように2枚なので、

6272

重なっていないのは、8-2-カ=5枚

(3)重なっている枚数を調べると、図のようになります。

6273

したがって、3枚重なっている面積の合計は、

2×2×4=16c㎡

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2016年10月12日 (水)

三角形DBEの面積は?(2016年 世田谷学園中学)

Bandicam2016101208

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下の図は、直角三角形ABCに長方形DEFGを重ねたものです。

BE=DE=CFであり、 DFとACの交点がI、DGとACの交点がHです。

また、AI=7cm、IC=3cmです。

このとき、三角形DBEの面積は何c㎡ですか?

Bandicam_20161012_080014450

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BE=DE=CF=□ とすると、

△DBEと△ABCは相似なので、AC=BC=10cm

BC=EF なので、EF=10cm

△DEFと△ICF も相似で、

EF:DE=CF:IC

10:□=□:3 となるので、

□×□=10×3=30

△DBEの面積=□×□÷2=30÷2=15c㎡

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2016年10月11日 (火)

砂時計で時間を計るには?(頌栄女子学院中学 2012年) 

Gif912 5

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3分を計ることができる砂時計A と 、

7分を計ることができる砂時計B があります。

この2つの砂時計を使って、

11分を計るにはどのようにしたらよいか説明してください。

3_3 3_4

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11分=4分+7分 と考えてみます。

Bandicam_20161011_080953984

Bandicam_20161011_081006294

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2016年10月 8日 (土)

色のついた部分の面積合計は?(早稲田実業学校中等部 2012年)

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図のように半径3cmの5つの円が重なっています。

・はそれぞれの円の中心です。

色のついた部分の面積の合計は何c㎡ですか。

(円周率は3.14とします)

1

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△青は1辺が3cmの正三角形なので、

図のように等積移動すると、

中心角60°半径3cmのおうぎ形が5つできます。

2

したがって、求める面積は、

3×3×3.14×60/360×5=23.55c㎡

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2016年10月 7日 (金)

この立体図形の体積は?(世田谷学園中学 2014年)

Pic_4121q

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Pic_4121q

上の図は、1辺の長さが12cmの立方体です。

(1)4つの頂点A,C,F,H を結んでできる立体の体積を求めなさい。

(2)立方体の各面の対角線の交点を頂点とする立体の体積を求めなさい。

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 (1)求める立体は、下の図1のようになり、

     Pic_4122a

立方体から、三角すいA-EFH 4個分の体積を除けばよく、

 12×12×12 - 12×12÷2×12÷3×4個

=12×12×(12-8)=144×4

576c㎥

となります。

 

 (2)求める立体は、下の図2の立体PQRSTU で、

      Pic_4123a

この立体は、面QRST を底面とする 2つの四角すい

P-QRST と U-QRST を合わせたもので、

それぞれの高さは、立方体の1辺の長さの半分の 6cm、

四角形QRST の面積は、正方形ABCD の半分の 72c㎡

なので、この立体の体積は、

 72×6÷3×2個=288c㎥

と求められます。

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2016年10月 6日 (木)

積み木は最小でいくつ必要?(2016年 筑波大学附属中学)

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1062
立方体の積み木を重ねたところ、

図のように見えました。

積み木は最小でいくつ必要ですか?


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2016年10月 4日 (火)

四角形の面積は?(豊島岡女子学園中学 2015年 )

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図のように、1辺の長さが3cmの正方形ABCDがあります。

点E、F、G、Hは正方形の各辺を3等分する点です。

直線EGと直線AB、CDが交わる点をそれぞれP、Rとし,、

直線FHと直籐BC、ADが交わる点をそれぞれQ、Sとします。

このとき、四角形PQRSの面積は何c㎡ですか。

306

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直角三角形AFSと直角三角形DHSは相似で、

AF:DH=2/3:1/3=2:1より、相似比は2:1なので、

AS:DS=2:1 より、AD=DS=3cm

同様に、AF=BQ=CR=DS=3cm

△FASの面積=6×3÷2=9c㎡なので、

四角形PQRSの面積=9×5=45c㎡

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2016年10月 2日 (日)

動く歩道の速さは?(2016年 青山学院中等部)

HodoCartoon

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ある駅には改札からホームへ行く途中に、

図のような反対方向に同じ速さで動く2本の「動く歩道」 があります。

太郎くんは改札側から、花子さんはホーム側から、

この「動く歩道」に同時に乗りました。

花子さんは「動く歩道」に立ったままでしたが、

太郎くんは「動く歩道」の上を一定の速さで歩きました。

太郎くんは「動く歩道」を108歩進んだところで花子さんとすれ違い、

そこから60歩進んでホー ム側に到着しました。

また、花子さんは太郎くんが到着してから2分後に改札側に到着しました。

太郎くんの1歩の幅は75cmです。

Bandicam_20161002_091733973

(1)太郎くんと花子さんの移動している速さの比は何対何ですか?

(2)この「動く歩道」の速さは、分速何mですか?

  また、太郎くんの歩く速さ(「動く歩道」に乗っていないとき)は、

  分速何mですか?

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1021

図のように、

太郎は108歩進んだところで花子とすれ違ったので、

全体の9/14進んでいたことになり、

花子はその同じ時間で全体の5/14進んでいたことになります。

したがって、2人が移動した速さの比は、

太郎:花子(動く歩道)=9:5 

太郎の歩く速さは、⑨-⑤=④ です。

④の速さで、

(108+60)×75=12600cm=126m 歩いたわけですが、

動く歩道の速さは⑤なので、

その間、動く歩道は、126m×⑤/④=157.5m 動いています。

合計、126+157.5=283.5m 移動しています。

花子は太郎がホームについた時点で、

改札の、283.5-157.5=126m 手前にいるので、

2分で改札に着いたわけですから、

動く歩道の速さは、分速 126÷2=63m です。

これが⑤にあたるので、

太郎の速さは、分速 63×④/⑤=50.4m です。

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2016年10月 1日 (土)

どの数字を打ちまちがえた?(2015年 東京学芸大学附属世田谷中学)

Lpsa1105csjpg

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2から9までの1けたの数を使って電卓でかけ算をしました。

2×3×6×8×9×7×5×2×5を計算しようと思っていましたが、

1つの数字を電卓で打ちまちがえてしまい、積が680400となりました。

どの数字を、2から9までのどの1けたの数字と打ちまちがえましたか。

Calculator168360_640

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2×2×5×5=100、

3×6×8×9×7=9072 なので、

9072が6804の何倍になったのか調べます。

9072/6804を約分していきますが、

すべての桁の和が9で割り切れるときは9の倍数なので、

分子分母を9で割って、1008/756、

さらに9で割って、112/84、

14で割って、8/6

4/3倍になっていることがわかります。

3、6、8、9、7のうち4/3で割って整数になるのは8だけなので、

8÷4/3=6

8を6と打ちまちがえました。

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