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2016年9月

2016年9月29日 (木)

おうぎ形と正方形(慶應中等部 2011年)

9291

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一辺10cmの正方形ABCDがあります。

Cを中心として、半径10cmの円をかき、

対角線ACとの交点をEとし、

ECを直径とする円をかくと図のようになりました。

このとき、斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1_2 

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2

 

図のようにおうぎ形DBCから緑の正方形を引いた部分の半分になります。

(10×10×3.14÷4-10×10÷2)÷2

=(10×10÷2)×(3.14÷2-1)÷2

=50×0.57÷2

=14.25c㎡

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2016年9月28日 (水)

何度の目盛りと重なってる?(青山学院中等部 2013年)

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図1のような分度器が3枚あり、それぞれをア、イ、ウとします。

図2は、アの143度の目盛りとイの96度の目盛りを合わせて重ねた図です。

図3は、さらにこの上にイの18度の目盛りとウの92度の目盛りを

合わせて重ねた図です。

アの0度の目盛りはウの何度の目盛りと重なり合っていますか。

1_2

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イはアより 143-96=47度 右にずれていて、

ウはイより 92-18=74度 左にずれているので、

ウはアより 74-47=27度 左にずれています。

したがって、アの0度はウの27度です。

3

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2016年9月24日 (土)

斜線部分の面積は?(2016年 城北中学)

Bandicam20160924

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図のように正三角形ABCで辺ABを1:2に分ける点をD、

辺ACを1:2に分ける点をG、

辺BCを3等分する点をそれぞれE、Fとします。

正三角形ABCの面積が81c㎡であるとき、

斜線部分の面積は何c㎡ですか?

Bandicam2016092406

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9241

△黄と△赤は相似で、相似比は1:3

したがって、DH:BE=1:3、DH:EF=1:3

9242

△緑と△水色も相似なので、DH:EF~1:3 より、

△緑と△水色の高さの比も1:3になります。

△DBFの面積は、△ABCの4/9なので、

△DBFの面積=81×4/9=36c㎡

△水色の面積は、△DBFの1/2×3/4=3/8なので、

△水色の面積=36×3/8=13.5c㎡

四角形DBEIの面積=36-13.5=22.5c㎡

白い部分の面積合計=22.5×2+9÷3×2+9=60c㎡

斜線部分の面積=81-60=21c㎡

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2016年9月22日 (木)

三角形ABPの面積は?(東大寺学園中学 2014年)

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図の四角ABCDは1辺12cmの正方形で、点Pはその内部の点です。

三角形ABPの面積:三角形DAPの面積=3:4

三角形BCPの面積:三角形CDPの面積=1:3

のとき,三角形ABPの面積を求めなさい。

1

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図のように分割してみると、

2

○+□=[4]・・・・・・ア

○+△=[3]・・・・・・イ

□+×=③・・・・・・ウ

△+×=①・・・・・・エ

ア-イ=□-△=[4]-[3]=[1]

ウ-エ=□-△=③-①=②

[1]=②

正方形ABCD=⑧+⑥+③+①=⑱

△ABP=○+△=[3]=⑥ なので、正方形の1/3

12×12÷3=48c㎡

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2016年9月21日 (水)

材料Aは何kgあったかな?(2015年、灘中学)

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材料Aの1/4の部分にはAの1kgにつき材料Bを2kg、

Aの3/4の部分にはAの2kgにつきBを3kg混ぜて2種類の製品を作る予定でしたが、

間違えてAの3/4の部分にはAの1kgにつきBを2kg、

Aの1/4の部分にはAの2kgにつきBを3kg混ぜてしまいました。

その結果、Bは初めの予定よりも24kg多く必要になりました。

材料Aは何kgありましたか?

Apf0107s

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材料Aを図のように8単位に分けてみると、

1_2

予定では、

1/4の部分に材料Bは②×2=④必要で、

3/4の部分に材料Bは③×3=⑨必要で、

合計 ④+⑨=⑬ 必要でした。

それが間違えたので、

1/4の部分に材料Bは③×1=③必要で、

3/4の部分に材料Bは②×6=⑫必要で、

合計 ③+⑫=⑮ 必要になりました。

その差は、⑮-⑬=②、これが24kgなので①は12kgです。

最初の1/4に材料Bは、12×4=48kg必要だったので、

材料Aは、48÷2=24kg

3/4に材料Bは、12×9=108kg必要だったので、

材料Aは、108÷3×2=72kg

合計 24+72=96kg でした。

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2016年9月18日 (日)

A×B×Cは?(2016年 青山学院中等部)

Bandicam20160918

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2つのさいころが図のように並んでいます。

さいころの向かい合う目の和は7になっています。

AとBとCの目の和が7のとき、 AとBとCの目の積はいくつですか?

Bandicam201609180911

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Aは、5、2、4、3 のいずれかで、

Bは、Aが5か2なら4か3、Aが4か3なら5か2 です。

Cは、1、3、4、6 のいずれかなので、

A   B   C

5   4   1、3、4、6

A   B   C

5   3   1、3、4、6

A   B   C

2   4   1、3、4、6

A   B   C

2   3   1、3、4、6

①~④の組み合わせで、A+B+C=7 になるのは、

③の、2+4+1 の場合だけなので、

A×B×C=2×4×1=8

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2016年9月11日 (日)

全部落ちるまでに何分かかる?(2016年 浅野中学)

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1回で6分よりも長く計れる砂時計があります。

砂が全部落ちている状態から砂時計の上下をひっくり返します。

6分たったらまたひっくり返し、

さらに5分、4分、 3分、2分たったら、それぞれひっくり返します。

最後にひっくり返してから砂が全部落ちるまでに何分かかりますか。

911

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最初、上には6分分の砂⑥と余分の砂□が入っています。

上→⑥+□     下→0

6分後

上→□        下→⑥

ひっくり返して、5分後

上→⑥-⑤=①  下→⑤+□

ひっくり返して、4分後

上→⑤-④=①と□  下→①+④=⑤

ひっくり返して、3分後

上→⑤-③=②  下→①+③+□=④+□

ひっくり返して2分後

上→④-②=②と□  下→②+②=④

ここでひっくり返すと、下の④が上になり、4分で全部落ちます。

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2016年9月 8日 (木)

マラソンコースは1周何m?(2016年 筑波大学附属中学)

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次の図のようなマラソンコースを、

A、B、Cの3人は、同じ場所から同時にスタート し、何周か走ります。

Aは毎分60mで、Bは毎分45mで走ります。

Cが、A、Bと逆の向きにスタートし、

Aと2回目にすれ違ったのは、スタートしてから10分後で、

Bと3回目にすれ違ったのは、スタートしてから18分後でした。

マラソンコースは1周何mですか。

ただし、Cの速さは一定で、Bよりおそいものとします。

Ike2

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1周を□mとすると、

CはAと2人で2周して2回出会ったので、Cの速さは、

(2×□-60×10)÷10

CはBと2人で3周して3回出会ったので、Cの速さは、

(3×□-45×18)÷18

Cの速さは一定なので、

(2×□-60×10)÷10=(3×□-45×18)÷18

(□-300)÷5=(□-270)÷6

6×(□-300)=5×(□-270)

6×□-1800=5×□-1350

□=1800-1350=450

マラソンコースは、450m

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2016年9月 7日 (水)

角度は?面積は?(2015年 サレジオ学院中学)

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図のように,1辺の長さが10cmの正方形ABCDの紙に,

点Bを中心とした半径ABの円の一部をかきます。

さらに,紙を縦と横にそれぞれ半分に折って折り目をつけ,

その折り目と円が交わる点をP,Qとします。

(1)図の角アの大きさを求めなさい。

(2)直線PQと円で囲まれた黄色部分の面積を求めなさい。

ただし,円周率は3.14とします。

314_3

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PからABに垂線をおろし、交点をRとします。

QからBCに垂線をおろし、交点をSとします。

3142

(1)

QS=5cm、BQ=10cmの直角三角形BQSは正三角形の半分なので、

角QBSは30°です。

PR=5cm、BP=10cmの直角三角形BPRは正三角形の半分なので、

角PBRは30°です。

したがって、角ア=90-30-30=30°

△QBCの面積は、10×5÷2=25c㎡

△QBCと△PBQは合同なので、

黄色部分の面積=10×10×3.14×1/12-25=

314/12-300/12=14/12=1と1/6c㎡

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2016年9月 6日 (火)

学校に行く旅人算(高輪中学 2014年)

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太郎君は毎日同じ時刻に家を出て、学校|ご行きます。

72mで歩くと始業の時間に3分遅刻してしまいます。

また分速84mで歩くと始業の時間より2分早く着きます。

家から学校までの道のりは何mですか。

Bandicam_20151026_082714608

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図のように、分速84mで歩いたときに学校についた時刻には、

分速72mで歩いた場合、学校まで5分かかるところにいることになります。

1

この場所は、学校まで、72×5=360mのところです。

速さが84mと72mでは、1分間に84-72=12m 差がつきます。

360mの差は、360÷12=30分でついた差ですから、

学校までは、84×30=2520m です。

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2016年9月 3日 (土)

花子さんの年令はいくつ?(2016年 浦和明の星女子中学)

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現在、花子さんと妹の年令の比は3:2であり、

この2人とお父さんの年令の合計は54才です。

そして、3年後には、花子さんと妹の年令の合計の2倍が

ちょうどお父さんの年令と同じになり ます。

現在の花子さんの年令はいくつですか?

42722

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花子+妹=子 とすると、

現在は、子+父=54

3年後は、

2×(花子+3+妹+3)=父+3

2×(子+6)=父+3

子=54-父 なので、

2×{(54-父)+6}=父+3

2×(60-父)=父+3

120-2×父=父+3

117-2×父=父

117=3×父

父=39

子=54-39=15

花子=15×3/(3+2)=9歳

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2016年9月 2日 (金)

色部分の面積は?(2015年 関西学院中学部)

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図のような長方形ABCDにおいて、色部分の面積は何c㎡になりますか。

5291

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図のように線をひくと、△緑どうし、△水色どうしは合同になり、

△緑と△水色は相似です。

5292

○+□=90°で、EFとGH、EHとFGは平行になるので、

四角形EFGHは長方形になります。

△黄はこの長方形の半分の面積ですから、

{8×10-(2×4+4×8)}÷2=20c㎡

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2016年9月 1日 (木)

4人の順位は?(東京都市大学等々力中学 2014年)

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A君、B君、C君、D君の4人が50m走をし、

その結果について次のように述べています。

A君「僕は3位の人より2秒早くゴールした。」

B君「僕は秒速5mの速さで走った。」

C君「僕の記録は12.5秒だった。」 

D君「僕は4位の人の2倍の速さで走った。」

このとき、4人の順位はどうなっていましたか。

また、2位の人の速さは毎秒何mですか。

Hasiru

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B君のタイムは、50÷5=10秒なので、

順位はC君より上になります。

A君とD君の順位の可能性は下図のように12通りありますが、

825

A君は1位か2位で、D君は4位ではないので、この条件に合うのは、

3、5、6、11の4通りになりますが、

3と11はD君が12.5÷2=6.25秒なので、B君より遅いわけはなく、

5もA君が10-2=8秒なので、D君の6.25秒より速くないので、

6の、

D(6.25秒)、A(8秒)、B(10秒)、C(12.5秒)の順番になります。

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