５つの円にかけた糸の長さは？（灘中学 ２０１４年）

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下の図で点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅは正五角形の頂点で，

ＡＣの長さは 5cmです。

また，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅを中心とする円の半径はすべて１cmです。

図の太線のように，５個の円にたるまないように糸をかけます。

必要な糸の 長さは何ｃｍですか。

ただし，糸の太さは考えないものとします。

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こたえ

図のように円と円を結ぶ長さＰＱはＡＣと等しくなり５ｃｍです。

それが５本あるので、５×５＝２５ｃｍ

次に円を巻く弧の長さですが、中心の星型部分を拡大すると、

真ん中に小さな正五角形ができているので、

∠ア＝１８０゜－１０８゜＝７２゜

△黄は二等辺三角形となるので、∠イ＝３６゜

∠ウ＝３６０－（９０×２＋３６）＝１４４゜

∠エ＝３６０－１４４＝２１６゜

２１６゜が５つなので、２１６×５＝１０８０゜

円弧部分の合計＝1×２×３．１４×１０８０/３６０＝１８．８４

合計　２５＋１８．８４＝４３．８４ｃｍ

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