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2016年8月

2016年8月31日 (水)

正六角形の部分面積は?(神戸女学院中等部 2007年)

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図のように面積が42c㎡の正六角形の内部に三角形を作りました。

色のついた部分の面積を求めなさい。

ただし、点Aは正六角形の1辺のまん中の点です。


Bandicam_20160831_075720923

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Bandicam_20160831_075401744

bandicam 2016-08-31 07-54-20-049 bandicam 2016-08-31 07-54-30-757bandicam 2016-08-31 07-53-46-074bandicam 2016-08-31 07-55-18-251 bandicam 2016-08-31 07-55-28-844 bandicam 2016-08-31 07-55-37-886bandicam 2016-08-31 07-55-03-852bandicam 2016-08-31 07-56-18-045 bandicam 2016-08-31 07-56-30-132bandicam 2016-08-31 07-55-57-884bandicam 2016-08-31 07-56-50-357 bandicam 2016-08-31 07-56-55-368 bandicam 2016-08-31 07-57-02-211

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2016年8月30日 (火)

海へ行く人は何人?(工学院大学附属中学 2014年)

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K中学校の1年生の男女比は31:21です。

遠足で海へ行く人と山へ行く人の比が8:5でした。

もし、あと10人山へ行く人が多ければ、

海へ行く人と山へ行く人の比は7:5となります。

(1)海へ行く人は何人ですか。

(2)中学1年生の女子は何人ですか。

Ilm22_bc04025s

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図のように、全体の1/13を①としてみると、

1/12は13/12マルになります。

812

5×13/12マル-5×①=10人 なので、

5×(13/12マル-①)=10人

1/12マル=2人

①=24人 になります。

(1)は、24×8=192人

(2)は、24×13×21/52=126人

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2016年8月29日 (月)

ひもは何cm必要か?(立教女学院中学 2011年)

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図のような1辺12cmの正三角形を点線で折り,立体を作ります。
点A,B,Cはできた立体のそれぞれの辺の真ん中の点です。
この3つの点を通るように立体のまわりにひもをかけて結ぶとき,
結び目に8cm使うとしてひもの長さは最低何cm必要ですか。
Bandicam_20160829_080854154

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Bandicam_20160829_080802122
Bandicam_20160829_080807738
Bandicam_20160829_080820902
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2016年8月25日 (木)

覚えておきたい答えの数字!(2016年 市川中学)

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この図は、正方形ABCDの中に4つの半円をかいたものです。

斜線部分の面積の合計は正方形ABCDの面積の何倍ですか。

Bandicam2016082506

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図のように正方形の1辺を2、円周率を3.14とすると、

8251

緑=2×2×3.14÷4-2×2÷2 =1.14

真ん中の木の葉型面積=1.14×2=2.28 となるので、

正方形の、2.28÷4=0.57 倍

この正方形がいくつでも、

中の木の葉型面積の合計は、0.57倍です。

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2016年8月24日 (水)

長方形の横の長さは?(暁星中学 2009年)

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図のように長方形と2つの円があります。

長方形のたての長さは10cmで、2つの円の半径はともに4cmです。

図のアとイとウとエの部分の面積の和が図のオの部分の面積と等しいとき、

長方形の横の長さは何cmですか?

Bandicam2016082406

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Bandicam_20160824_062920372

Bandicam_20160824_062937761

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2016年8月22日 (月)

切断すると表面積は?(吉祥女子中学 2010年)

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図のように立方体を点線部分で分けて、

同じ形の直方体を3つ作ります。

3つの直方体の表面積の合計は、

もとの立方体の表面積の何倍ですか。

Bandicam2016082209

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Bandicam_20160822_091419562

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2016年8月17日 (水)

重なった立方体の切り口は?(久留米大学附設中学 2012年)

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下の図のように、1辺の長さが 6cmの立方体の上に、1辺の長さが 3cmの立方体を置きます。3点A,B,C を通る平面でこの立体を切ったとき、次のような立体の体積を求めなさい。ただし、点A,B,D は頂点、点C は辺の中点で、点A から点Dまで結ぶ辺は一直線になっています。

     Pic_3462q

(1)小さい方の立方体で、この平面より下側の部分

(2)大きい方の立方体で、この平面より下側の部分

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(1)まず、同一平面上にある点A と点B, 点A と点C を

下の図1のように直線で結ぶと、3点A,B,C を通る平面は

図1の点E,F を通ることがわかります。

     Pic_3463a

ここで、点B と点F を結ぶと、下の図2のように点G を通ることがわかります。

 

     Pic_3464a

 

すると、求める体積は、図2の三角すい台EGP-AFQ となります。

三角すいB-EGP と 三角すいB-AFQ の相似比が 1:2 なので

2つの三角すいの体積比は、1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8 で、

三角すい台 EGP-AFQ の体積は、三角すいB-EGP の7倍で、

1.5×1.5÷2×3÷3×7=63/8(立法cm)

と求められます。

(2)頂点B から、FC と平行に線を引くと、下の図3のように頂点H で交わります。

     Pic_3465a_2

求める体積は、大きい立方体から三角すい台BHR-FCS を除いたものになります。

求め方は(1)と同様にすれば求めることができますが、

また違う方法を考えてみると、三角すい台BHR-FCS が

(1)の三角すい台EGP-AFQ と相似であることに注目して、

相似比が 1:2 より、体積比は、1:8 なので、

三角すい台BHR-FCS の体積は、 63/8 × 8 =63立法cmとなります。

よって、求める体積は、6×6×6 - 63 = 153立法cm です。

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2016年8月16日 (火)

重ねた折り紙(2016年 本郷中学)

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縦が6cm、横が8cmの長方形の折り紙を、

点線で示した部分が同じ大きさの正方形になるように、

下の図のように重ねていきます。

3枚重ねたときの実線で 囲まれた部分の面積が136c㎡になりました。

Bandicam20160816070705501

このとき、

(1) 長方形が重なってできる正方形の1辺の長さは何cmですか。

(2) この長方形の折り紙を同じように15枚重ねたとき、

   実線の部分の周の長さは 何cmですか。


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(1)実線で囲まれた面積は、

正方形の部分が重なっているので、

長方形の面積の和より正方形分だけ面積が少なくなります。

したがって、正方形部分の面積は、

6×8×3-136=8c㎡

1個の面積=8÷2=4c㎡

1辺の長さ=2cm

(2)周りの長さは、2×4=8cmずつ少なくなります。

正方形は14個できるので、実線部分の長さは、

(6+8)×2×15-8×14=308cm

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2016年8月14日 (日)

巻き終わるまでにかかった時間と長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年)

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点O を中心とする半径6cmの円板を3分の1に切った板が あります。

この板を下の図A のように、OPが地面と平行になる ように点Oで壁に固定して、

長さ20cmのひもPQをぶら下げます。

いま、点Oを中心として、毎秒20°の速さで反時計回りにこの板を回転させて、

ひもをたるまないように巻き取っていきます。

円周率を3として、次の問に答えなさい。

    Pic_26021q

(1)ひもを巻き終わるまでにかかった時間を求めなさい。

(2)ひもを巻き終わるまでに点Qが動いた長さを求めなさい。

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円周率が3と指定されていることに注意しましょう。

(1)板の弧の長さは、6×2×3×120/360=12cm です。

板の半径をOPとOR とすると、板が反時計回りに回転すると、

ひもPQは、まず、下の図1のように240°回転してPO、ORの部分に巻き取られ、

     Pic_2603a

残りがRQの部分の8cmになります。

弧PRの長さが12cmなので、

弧の長さの2/3回転すれば完全に巻き取ることができ、

図1の状態から、120°の2/3の80度回転すればよく、

最初の状態から、240+80=320°

回転すれば巻き終わります。

毎秒20°回転するので、かかる時間は、320÷20=16秒

と求められます。

 

(2)まず板が90度回転して、点Qは下の図2の状態になります。

  Pic_2604a

点Qが動いた長さ(赤い点線)は、6×2×3×90/360=9cmで、

次に点Qは、図2から下の図3の状態まで60度回転しても動きません。

 Pic_2605a

図3の状態から、図1の状態まで、下の図4のように点Qが動き、

 Pic_2606a

この移動した長さも、同様に9cmです。

図4からは点Qは上へ8cm動くのみなので、

ひもを巻き終わるまでに点Qが動いた長さは、

  9+9+8=26cm です。

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2016年8月12日 (金)

5つの円にかけた糸の長さは?(灘中学 2014年)

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下の図で点A,B,C,D,Eは正五角形の頂点で,

ACの長さは 5cmです。

また,A,B,C,D,Eを中心とする円の半径はすべて1cmです。

図の太線のように,5個の円にたるまないように糸をかけます。

必要な糸の 長さは何cmですか。

ただし,糸の太さは考えないものとします。

1

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こたえ

図のように円と円を結ぶ長さPQはACと等しくなり5cmです。

2

それが5本あるので、5×5=25cm

次に円を巻く弧の長さですが、中心の星型部分を拡大すると、

3

真ん中に小さな正五角形ができているので、

∠ア=180゜-108゜=72゜

△黄は二等辺三角形となるので、∠イ=36゜

∠ウ=360-(90×2+36)=144゜

∠エ=360-144=216゜

216゜が5つなので、216×5=1080゜

円弧部分の合計=1×2×3.14×1080/360=18.84

合計 25+18.84=43.84cm

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2016年8月11日 (木)

切断された個数は?(2015年 市川中学)

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図のように、同じ大きさの立方体を16個積み重ねて直方体をつくりました。

図の3点A、B、Cを通る平面でこの立体を切ります。

このとき、切断された立方体の個数は何個ですか。

3291

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図のように、切断された立方体と、切断されなかった立方体は同数で、

8個です。

Capture_2015_03_29_08_26_47_62

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2016年8月 9日 (火)

地球儀の緯度・経度は? (海陽中等教育学校 2014年)

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直径60cmの地球儀があります。

北極点は北緯90°、南極点は南緯90°で、

海陽学園は(北緯35°、東経137°)にあることが分かっています。

地球儀が完全な球体として、次の問に答えてください。

(1)海陽学園から真南に経線に沿って 60°移動した先の緯度と経度を答えてください。

(2)海陽学園の地球の裏側の地点A (海陽学園とA を直線で結ぶと地球の中心を通る)の緯度と経度を答えてください。

(3)南極点→(緯度0°、経度0°)→(緯度0°、東経 90°)→北極点 を地球儀の表面を通って移動する場合、下の 図のように、南極点から経度0°の経線に沿って赤道まで北上し、次に赤道に沿って東経90°まで東に向かい、さらに東経90°の経線に沿って北極点まで移 動すると距離が最も短くなります。この移動距離は何cmになりますか。

         Pic_3864q

(4)南極点 → (南緯45°、東経60°) → (北緯45°、西経120°) → 北極点 を地球儀の表面を通って移動するとき、距離を最も短くした場合の移動距離は何cm になりますか。

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こたえ

(1)海陽学園から南に 60°移動すると、下の図1の地点Pになり、

     Pic_3865a_2

地点P は赤道から25°(25+35=60なので) のところで、

南緯25°、東経137°)になります。

 

(2)地点A は下の図2のような位置にあり、緯度が南緯35°ということが分かります。

       Pic_3866a_3

次に、経度について考えます。経度は、下の図3のように

  Pic_3867a

東経0°と西経0°の場所は同じで、東へ進むと東経、西へ進むと西経となります。

地球の中心をはさんで反対側にある2か所、東経☆度と西経★度の位置では、

☆+★=180 となる関係になります。

よって、地点Aの経度は、180-137=43 より、西経43度とわかります。

ゆえに、地点Aは、(南緯35°、西経43°)の位置です。

 

(3)地球儀の直径が 60cmなので、移動した距離は

    60×3.14×90/360×3=141.3cm

となります。

(4)下の図4のように、地点B と地点C は、東経60°と西経120°で、

60+120=180 、緯度が等しいことから、地球の裏側の地点ということがわかります。

  Pic_3868a

よって、移動距離は、南極点から地点Bまでは、45°、B地点からC地点までは180°、

C地点から北極点までは45° の回転移動となるので、

  60×3.14×(45+180+45)/360 = 141.3cm

となります。

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2016年8月 8日 (月)

台形を半分に分けたら・・・(女子学院中学 2013年)

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図のような台形ABCDがあります。

1

(1)Aを通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。

この直線が辺BCと交わる点をEとすると、BEの長さは何cmですか。

(2)Bを通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。

この直線が辺CDと交わる点をFとすると、CFの長さは何cmですか。

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(1)面積が△ABE=台形AECDなので、

BE=AD+EC になります。

2

BE=8+(14-BE)=22-BE

BE=11cm

(2)△ABD:△DBC=8:14 なので、

台形ABCDの面積は8+14=22になるので、

△FBC=22÷2=11です。

すると、△DBF=14-11=3 なので、

3

CDを11:3で分けると

CF=7×11/(11+3)=5.5cm

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2016年8月 4日 (木)

何回巻かれていますか?(2016年 お茶の水女子大学附属中学)

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新しいシングル巻きのトイレットペーパーが1本あります。

このトイレットペーパーは、芯の周りに長さ60mの紙が巻かれています。

このとき、紙は芯の周りにおよそ何回巻かれていますか?

新しいトイレットペーパーの直径が11.5cm、

芯の直径が3.8cmとして答えてください。

Toiletpaper1133884_640

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Blonde160653

芯の周りと、一番外側の周りをたした長さは、
 
両方の平均の長さ×2 になるので、
 
直径の平均は、(11.5+3.8)÷2=7.65cm
 
その円周は、7.65×3.14=24.021cm
 
約24cmと考えると、
 
巻かれた回数は、6000÷24=250回

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2016年8月 3日 (水)

何個の立方体が必要か?(筑波大附属中 2011年)

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次の例は、同じ大きさの立方体を積み重ねて作ったある立体を

正面から見た図、真上から見た図,真横から見た図で表したものです。

これを参考に下の問いに答えなさい。

1_2

(1)次の図のように立方体を最も多く積み重ねるとき、

      何個の立方体が必要ですか。

2

(2)次の図のように立方体を積み重ねるとき、

      最小何個の立方体が必要ですか。

3

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2016年8月 2日 (火)

コインを多く持っているのはどちら?(麻布中学 2013年)

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コインがたくさんあり、そこからA君とB君の2人が交互にコインを取っていきます。

1回目はA君が1枚、2回目はB君が3枚、3回目はA君が5枚、

4回目はB君が7枚、5回目はA君が9枚、・・・・・・というように、

2人は自分が前に取った枚数より4枚多くコインを取ります。

何回か取った後、2人の持っているコインの枚数を比べたところ、差が31枚でした。

コインを多く持っているのはどちらですか。

また、その人が最後に取ったコインは何枚ですか。

42

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    ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

A君  1      5       9     13

B君    3       7      11  

①回目→Aが1枚多い

②回目→Bが2枚多い

③回目→Aが3枚多い

④回目→Bが4枚多い

⑤回目→Aが5枚多い

⑥回目→Bが6枚多い

⑦回目→Aが7枚多い

Aが奇数枚多くなり、Bは偶数枚多くなるので、

31枚多くなるのは、31回目で、A君になります。

コインを取る数は、何回目×2-1 で求められるので、

31回目では、31×2-1=61枚 です。

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2016年8月 1日 (月)

遅れる時計の正しい時刻は?(武蔵中学 2015年)

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1日にある決まった時間だけ遅れる時計があります。

ある日の8時30分には図1、15時10分には図2のようになっていました。

この時計が正しい時刻を指していたのは、この日の何時何分ですか。

12

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長針は1分間に360/60=6°

短針は1分間に30/60=0.5°進むので、その差は5.5°

8時30分の本当の角度は75°、

図1の53°は(30×8-53)/5.5=34分→8時34分を指しています。

15時10分の本当の角度は、30×3-5.5×10=35度、

図2の68°は(90-68)÷5.5=4分より→15時4分を指しています。

8時30分から15時10分までの6時間40分間にこの時計は

15時4分-8時34分=6時間30分 進んだので、

6時間40分で10分遅れることになります。

15時10分時点で、15時4分なので6分遅れているわけで、

□時間で6分遅れたとすると、

6時間40分:□=10:6 より、

□=6時間40分×0.6=400分×0.6=240分→4時間となり、

15時10分-4時間=11時10分 に正しい時間だったことがわかります。

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