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2016年6月

2016年6月30日 (木)

点の移動と旅人算(2016年 筑波大学附属駒場中学)

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6301

上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点A,Bあり、

OAとOBは垂直です。

3点P,Q,Rは、次のように円周上を動きます。

PはAを出発して、反時計回りに動き、6分で円を1周します。

QはBを出発して、反時計回りに動き、6分で円を2周します。

RはAを出発して、時計回りに動き、6分で円を3周します。

P,Q,Rは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を動き、

6分後に3点とも止まります。 

PとQ、QとR、RとPをまっすぐな線で結んで作った図形PQRについて、

次の問に答えなさい。 

(1)


P,Q,Rのうちの2点が重なり、

図形PQRが三角形
ならないことが何度もあります。

初めて三角形にならないのは
動き始めてから何秒後ですか?

また、2度目、3度目に三角形
にならないのは、

動き始めてから、それぞれ何秒後ですか?
 
 
(2)

図形PQRが三角形で、その辺上に中心Oがあるのは、

動き
始めてから何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。


(3)

図形PQRが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。


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(1)P、Q、R の速さの比は、1:2:3
 
Pの分速を【1】としたとき、円の長さは、【1】×6=【6】です。
 
図形PQRが初めて三角形にならないのは、QとRが重なるときで
 
最初に、QとRは、【6】の3/4離れているので、2点が出会うのは、
 
【6】×3/4÷(【2】+【3】)=0.9分後=54秒後
 
です。
 
2度目に三角形にならないのは、PとRが重なるときで、
 
【6】÷(【1】+【3】)=1.5分後=90秒後
 
です。(PとRが90秒ごとに重なることがわかります)
 
3度目に三角形にならないのは、QがPに追いついたときか、
 
QとRが2度目に重なるときの、どちらかと考えられます。
 
QがPに追いつくのは、
 
【6】×3/4÷(【2】-【1】)=4.5分後
 
QとRが2度目に重なるのは、
 
0.9+【6】÷(【2】+【3】)=2.1分後
 
なので、
 
3度目に三角形にならないのは、126秒後です。
 
(QとRが1.2分=72秒ごとに重なることがわかります)
 
 
 
(2)図形PQRの辺上に点Oがあるとき、その辺の2点は
 
点Oをはさんで真反対側(【3】離れたところ)にあります。
 
点Pと点Qが【3】離れるのは、最初の位置で【1.5】離れているので、
 
(【3】-【1.5】)÷(【2】-【1】)=1.5分後=90秒後
 
です。(1)より、点Pと点Qが重なるのが4.5分後なので、
 
6分以内に、再び点Pと点Qが【3】離れた位置に来ることはありません
 
また、(1)より、QとRが1.2分=72秒ごと、PとRが90秒ごとに重なるので、
 
重なってから QとRが36秒後、PとRが45秒後に
 
【3】離れた位置になることがわかります。
 
点Pと点Rは、45秒後、135秒後、225秒後、315秒後です。
 
点Qと点Rは、18秒後、90秒後、162秒後、234秒後、306秒後です。
 
ただし、90秒後には三角形にならないので、答えは、
 
18秒後、45秒後、135秒後、162秒後、
 
225秒後、234秒後、306秒後、315秒後
 
です。
 
 
 
(3)正三角形PQRができるとき、3点は【2】ずつ離れた位置にいるので、
 
3点のうちの2点が【2】離れる時間を求め、
 
そのときに残りの1点が【2】離れている条件を満たすか調べます。
 
点Pと点Qが【2】離れる回数が少ないので、これを調べます。
 
最初に点Pと点Qは【1.5】離れているので、【2】になるのは、
 
(【2】-【1.5】)÷(【2】-【1】)=0.5分後
 
です。
 
2回目に【2】離れるのは、点Qが点Pに追いついていったときで
 
最初に【4.5】離れていると見なせるので、
 
(【4.5】-【2】)÷(【2】-【1】)=2.5分後
 
です。
 
3回目に【2】離れるのは、点Qが点Pを追い越して【2】離れたときで、
 
(【4.5】+【2】)÷(【2】-【1】)=6.5分後
 
なので、6分以上かかります。
 
よって、0.5分後と2.5分後の点Rの位置について調べてみると
 
0.5分後は、【3】×0.5=【1.5】
 
2.5分後は、【3】×2.5=【7.5】
 
の位置で、
 
1周【6】なので、2.5分後も点Aから【1.5】の位置とわかります。
 
0.5分後の3点の位置は、
 
点Pは点Aから【0.5】、点Qは点Bから【1】→点Aから【2.5】、
 
点Rは点Aから【1.5】
 
2.5分後の3点の位置は、
 
点Pは点Aから【2.5】、点Qは点Bから【5】→点Aから【0.5】、
 
点Rは点Aから【1.5】
 
なので、共に正三角形になります。(点Rだけ時計回りです)
 
よって、正三角形になるのは、30秒後と150秒後の2回です。
 

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2016年6月29日 (水)

正六角形の性質(中央大学横浜山手女子中学 2010年)

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629-3

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629-4 629-5 629-6

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2016年6月28日 (火)

出発してから何秒後?(2016年 渋谷教育学園幕張中学)

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図1のように、周の長さが60cmの円ばんがあり、

中心の点Oに、時計回りに動く針がついています。

この針の先端の点Pは、円ばんの周上の点Aから動き始めて、

30秒で1周するように、一定の速さで周上を動き続けます。

図2のように、この円ばんを点A(P)が直線と重なるように置き、

点Pが点Aを出発するのと同時に、直線上を図2の右方向に、

秒速8cmの速さですべらないように転がします。

そして、点Aと点Pが再び同時に直線と重なったとき、円ばんを止めます。

円ばんが転がるときも、針は円ばん上を30秒で1周する速さで動きます。

6283

(1)点Pが再び直線と重なるのは、点Aを出発してから何秒後ですか?

(2)円ばんが止まるのは、転がり始めてから何秒後ですか?

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6284

(1)円ばんが1秒間に8cm移動すると、

直線の赤い部分と円周の赤い部分は長さが同じなので、

A点は最初の位置から図のように8cm回転しています。

点Pは円周上を秒速、60÷30=2cmの速さで移動するので、

1秒間では2cm、点Aから青い部分だけ進んでいます。

1秒間では、8+2=10cm回転したことになるので、

60÷10=6秒で、最初の直線上に来ることになります。

(2)6秒後に点AはPの、2×6=12cm後ろにあります。

点Aがちょうど1周遅れになり、点Pと重なるのは、

60÷12=5より、

6×5=30秒後です。

 

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2016年6月25日 (土)

何ケタの整数でしょうか?(2016年 栄光学園中学)

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6251

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36=2×2×3×3 なので、

2+2+3+3=10より、

一番ケタ数が多くなるのは、

2233の次に1が 26個続く数で、4+26=30ケタになります。

4×3×3=36

4+3+3=10より、

433の次に1が 26個続く数は、3+26=29ケタになります。

2×3×6=36

2+3+6=11より、

236の次に1が 25個続く数は、3+25=28ケタになります。

6×6=36

6+6=12より、

66の次に1が 24個続く数は、2+24=26ケタになります。

4×9=36

4+9=13より、

49の次に1が 23個続く数は、2+23=25ケタになります。

したがって、25、26、28、29、30ケタの5つです。

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2016年6月23日 (木)

水の深さは何cmになる?(2016年 灘中学)

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6231

図のように、深さ15cmの直方体の形をした水槽が水平な床の上にあります。

この水槽の中には、同じ形をした高さ15cmの四角柱が5本入っていて、

この水槽に深さが9cmになるまで水を入れても、

四角柱の底面は水槽の底面に接していまし た。

この状態から四角柱を2本取り除くと、水の深さは7cmになりました。

さらに残りの四角柱を3本取り除くと、水の深さは何cmになりますか?

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水の量は変わらないので、水の高さが9cm→7cmになると、

底面積は逆比の⑦→⑨になります。

1245

四角柱の底面積は(⑨-⑦)÷2=① とわかるので、

残り3本取り除くと、③増えて⑫になります。

1247

□=7×9÷12=63/12=21/4cm

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2016年6月22日 (水)

重なっている部分の面積は?(2016年 神戸女学院中学部)

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6220

図形Bを固定したまま、図形Aを図の位置から

毎秒1cmの速さで直線に沿って矢印の方向に動かします。

動かし始めてから13秒後に、

2つの図形が重なっている部分の面積は何c㎡ですか?

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13秒後の重なった部分は図のようになります。

6221

その面積は、

3×3×2+1×2×2+3×4= 34c㎡

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2016年6月21日 (火)

為替レートの計算(2016年 慶應義塾湘南藤沢中等部)

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6211

AさんとBさんは、 同じ額のお金を持って銀行に行きました。

2人がそれぞれお金の一部を

ポンド (イギリスのお金) に両替してもらったところ、

Aさんは20ポンドと22000円、

Bさんは70ポンドと12800円になりました。

2人ははじめに何円持っていましたか?

ただし、 両替してもらうための手数料は考えないものとします。

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円とポンドの交換比率を、1ポンド=□円、

Aさんが交換した円をA円、

Bさんが交換した円をB円、としてみましょう。

20×□+22000=70×□+12800 なので、

50×□=22000-12800=9200

□=184円

最初、2人はそれぞれ、

20×184+22000=70×184+12800=25680円

持っていたことになります。

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2016年6月20日 (月)

切断された個数は?(2015年 市川中学)

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図のように、同じ大きさの立方体を16個積み重ねて直方体をつくりました。

図の3点A、B、Cを通る平面でこの立体を切ります。

このとき、切断された立方体の個数は何個ですか。

6201

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図のように、切断された立方体と、切断されなかった立方体は同数で、

8個です。

Capture_2015_03_29_08_26_47_62

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2016年6月19日 (日)

三角形BEFの面積は? (2016年 慶應義塾中等部)

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6191

図のような、面積が50c㎡の長方形ABCDがあります。

点Eは辺ABの延長上にある点で、BCとEDが交わる点をFとします。

三角形DBFの面積が10c㎡であるとき、

三角形BEFの面積は何c㎡ですか?

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6192

△DBC=50÷2=25c㎡ なので、

△DBF:△DFC=⑩:⑮

BF:FC=⑩:⑮=2:3

△緑と△赤は相似なので、

面積比は、△緑:△赤=3×3:2×2=9:4

△BEFの面積=△赤=15×4/9=6と2/3c㎡

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2016年6月17日 (金)

切り口の図形は?(2016年 東海大学付属相模高等学校中等部)

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6171_2

この立方体を、3点A、B、Cを通る平面で切ったとき、

切り口の図形はどれでしょう?

ア ひし形

イ 台形

ウ 五角形 

エ 二等辺三角形  

オ 六角形

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ウの五角形ですね。

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2016年6月16日 (木)

行き方は何通り?(2015年 東邦大学付属東邦中学)

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6167_2

図のように、東西方向に5本、南北方向に4本の道があります。

これらの道を通って、遠回りしないでA地点からB地点へ行きます。

このとき、×印のついた道を通らない行き方は何通りありますか?

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図のように、各交点に行く道順の数をたしていきます。

5122

B地点へは26通りの行き方があります。

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2016年6月14日 (火)

角アの大きさは(2016年 豊島岡女子学園中学)

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6141
2つの直角三角形を図のように重ねました。

角イの大きさが角アの大きさの4倍のとき、角アの大きさは何度ですか?

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6142

A=30°、B=45°-ア

ア×4=イ=A+B =30+(45-ア)

ア×4=75-ア

ア×5=75

ア=15°

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2016年6月13日 (月)

軌跡の長さと面積は?(2016年 洛星中学)

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6131

点Bを中心として、ひし形ABCDを180°時計回りに回転させるとき、

点Dの動く道のりは何cmですか。

また、△ACD の通過する部分の面積は何c㎡ですか。


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2016年6月12日 (日)

2つの立体の体積は?(久留米大学附設中学 2014年)

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図のような1辺の長さが6cmの立方体から、

3つの三角すいを切り取った立体があります。

この立体を下から3cmの高さで、底面と平行な面で切り、2つの立体に分けます。

分けられた2つの立体の体積はそれぞれ何立方cmですか。

6121

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2016年6月10日 (金)

図形並べの規則性は?(函館ラ・サール中学 2009年)

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たて1cm、横2cmの長方形の紙を

下の図のように規則的にならべていきます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_1663q

(1)6番目の図形の周囲の長さ(図の太線部分)を求めなさい。

(2)図形の周囲の長さが150cmになるのは何番目の図形ですか。

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こたえ

(1)太線の長さは、下の図1のように、

図形がぴったり入る長方形の周りの長さに等しいことがわかります。

 Pic_16641a

 1番目は、1cm×2cmの長方形の周りの長さ

 2番目は、3cm×4cmの長方形の周りの長さ

 3番目は、5cm×6cmの長方形の周りの長さ

 4番目は、7cm×8cmの長方形の周りの長さ

として、規則的に測ることができるので、

 6番目は、11cm×12cmの長方形の周りの長さと等しく、

       (11+12)×2=46cm となります。

 

(2)□番目の長方形が、(たて+横)×2=150cm

となるので、たて+横=75cm とわかります。

さらに、たてと横の差は1cmなので、たて=37cm、横=38cm

となります。

番号と横の長さは、2倍の関係になっているので、

太線の長さが150cmになるのは、38÷2=19番目 です。

 

<別解>

 (1)1番目の長方形の周囲の長さは、6cmです。

2番目以降の図形の周囲の長さは、下の図2のように、図形を

青線部分と黄色線部分に分けて考えると、

Pic_16632a

黄色い線の長さは6cmで、青線部分の長さはそれぞれ

 2番目・・・2×4

 3番目・・・4×4

 4番目・・・6×4

となるので、6番目の図形の青線部分に当たる長さは、

 10×4=40cm となります。

よって、6番目の図形の周囲の長さは、

 青線部分+黄色線部分=40+6=46cm です。

 

(2)□番目の図形の周囲の長さは、(□-1)×2×4+6

として求めることができるので、

 (□-1)×2×4+6=150cm となるのは、

 □=19 より、19番目です。

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2016年6月 9日 (木)

点Aが移動した距離は?(2016年 江戸川女子中学)

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2016年6月 8日 (水)

何回出会ったかな?(2016年 市川中学)

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下の図のように、1周400mのトラックに160m離れた2地点P、Qがあり、

このトラックを市川君と大野さんの2人が走ります。

市川君は点Pを出発し、時計回りに毎秒5mでちょうど10周走りました。

大野さんは、市川君と同時に点Qを出発し、

時計と反対回りにちょうど6周走ったところ、

市川君と同時に走り終わりました。

(1)大野さんは毎秒何mで走りましたか。

(2)市川君と大野さんは何回出会いましたか。

Bandicam_20160608_073945778

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市川君は400×10=4000mを毎秒5mの速さで走ったので、

4000÷5=800秒かかりました。

同じ時間で、大野さんは400×6=2400m走ったので、

その速さは毎秒、2400÷800=3m

最初に出会ったのは、(400-160)÷(5+3)=30秒後

以後、400÷8=50秒ごとに出会います。

最初に出会ってから、ゴールするまで、800-30=770秒なので、

770÷50=15.4 より、

1+15=16回 出会います。

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2016年6月 7日 (火)

1列に並ぶ並び方は何通り?(2016年 昭和学院秀英中学)

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A、B、C、D、E、Fの6人がいます。

AとBが隣り合わないように6人が1列に並ぶ並び方は

何通りありますか?

Maehe_narae

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6人が 1列に並ぶ並び方は、

6×5×4×3×2×1=720通り、

これから、ABが隣りどうしになる並び方を引きます。

ABが隣りどうしになる並び方は、

AB CDEF

C AB DEF

CD AB EF

CDE AB F

CDEF AB

それぞれ、4×3×2×1=24通りですが、

ABが→BAとなる逆の場合を考えると、

それぞれ、24×2=48通りになるので、

48×5=240通りになります。

したがって、ABが隣り合わない並び方は、

720-240=480通りです。

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2016年6月 6日 (月)

もっとも大きくするには?(2016年 東京学芸大学附属竹早中学)

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図1のように、下の段から順に、となリどうしの数の和をすぐ上の口に書きます。

この操作を一番上の段まで繰り返していきます。

6062

図2のー番下の段に、1、2、3、5の4つの数を書いて、

ー番上の段の数がもっとも大きくなるようにしたいのですが、

このときの4つの数の書き方は何通りありますか?

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6063

このように、2段目の真ん中を8にする場合が一番上を最大にできます。

3と5の並び方は2通り、

1と2の並び方も2通りなので、

2×2=4通りの並び方があります。

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2016年6月 5日 (日)

パズルのような虫食い算!(本郷中学 2009年)

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6042

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式はすべて「かけ算」でできているので、

2009が何の倍数なのかを考えます。

 

2009は・・・

奇数なので2の倍数ではない。

2+0+0+9=11なので、3の倍数ではない。

(3の倍数の見分け方は → こちら

奇数なので4の倍数ではない。

1の位が「9」なので、5の倍数ではない。

奇数なので6の倍数ではない。

2009÷7=287 となるので、7の倍数です。

次に、287は何の倍数なのかを調べます。

2009が2~6の倍数ではなかったので

287も2~6の倍数ではありません

287÷7=41 となり、41は素数(1と41以外では割り切れない)

なので、2009=7×7×41 だとわかります。

 

□×□×{(□-1)×(□+1)-□}=2009

□=7とすると、

(2個の□がある時点で、もう □=7 ですが)

確かめてみましょう。

7×7×{(7-1)×(7+1)-7}=7×7×41=2009

となり、式を満たすので、□=7です。

ちなみに、受験年度の数字の約数は事前に調べておいたほうがいいですね。

多くの中学で、その年度の数字を使った問題が出題されています。来年は2014!

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2016年6月 2日 (木)

三角形OBCの面積は(2016年 洗足学園中学)

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6021

図のように四角形ABCDの2本の対角線が交わる点をOとします。

三角形ABC、三角形CDA、三角形DABの面積がそれぞれ

16c㎡、 8c㎡、9c㎡であるとき、三角形OBCの面積は何c㎡になりますか。

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6022

△ABC:△CDA=16:8=2:1 なので、

図のように、BOの中点Eをとると、

OはBDを2:1に分ける点になることがわかります。

したがって、△ABO:△ADO=2:1 になるので、

△ABO=9×2/3=6c㎡

△ADO=9×1/3=3c㎡

△CDO=8-3=5c㎡

△OBC=(16+8)-(9+5)=10c㎡

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2016年6月 1日 (水)

キに入る数は?(2016年 豊島岡女子学園中学)

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6011
上の図のように、3つの円によってできるア〜キの7つの場所に
 
0、1、2、3、4、5、6の7つの数をそれぞれ1回ずつ使って入れます。
 
オに6、カに1を入れ、
 
それぞれの円に入っている数の合計がすべて同じになるようにします。
 
このとき、キに入る数として考えられるものをすべて答えなさい。

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6012
AとBの円はアとイが共通なので、

ウとエの差は、6-1=5 

これに該当する組み合わせは、5と0

エ=5、ウ=0 が決まります。

残るのは、2、3、4

キ=4なら 円の合計は11になるので、

ア=2、イ=3

キ=3なら 円の合計は12になるので、

ア=4、イ=2

キ=2なら 円の合計は13になるので、

アとイに該当する数はありません。

したがって、キは3か4

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