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2016年5月11日 (水)

テストの平均点(神戸女学院中学部 2014年)

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5111

35人のクラスで10点満点のテストをしたところ、平均点が5.6点になりました。

上の表はそのときの点数の分布を表したものです。

4点、7点、9点を取った人数を求め、

考えられるすべての場合を次の例のように答えなさい。

【例】 

4点、7点、9点を取った人数がそれぞれ1人、2人、3人 の場合 

→ (1,2,3)

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解法例

全員の取った点数の合計は、35×5.6=196点 です。

それに対し、表にある点数の合計は、

0×1+1×1+2×1+3×4+5×7+6×4+8×3+10×2

=118点 です。

よって、4点、7点、9点を取った人の合計点は、

196-118=78点

となります。

4点、7点、9点を取った人数を(○、△、□)とすると、

4×○+7×△+9×□=78

となります。さらに、

○+△+□=35-(1+1+1+4+7+4+3+2)=12

となります。

一番数の大きい【9】を基準にすると、□は、0~8 が当てはまります。

□=8のとき、○+△=4 で、4×○+7×△=6

  △=0でも○に入る数がないので、条件を満たしません。

□=7のとき、○+△=5 で、4×○+7×△=15

  △=0,1,2でも○に入る数がない。

□=6のとき、○+△=6 で、4×○+7×△=24

  △=0のとき、○=6 となります。

□=5のとき、○+△=7 で、4×○+7×△=33

  △=0,1,2,3,4 でも○に入る数がない。

□=4のとき、○+△=8 で、4×○+7×△=42

  △=0,2,4,6でも○に入る数がない。

 (△=奇数の場合、4×○も奇数にならないと、42(偶数)にならないが、

 4×○が奇数になることはないので、△=奇数の場合は最初から除きましょう)

□=3のとき、○+△=9 で、4×○+7×△=51

 △=1のとき、○=11(○+△=12となってしまうので不適)

 △=5のとき、○=4となる。

 △=3,7のときは○に入る数がない。

 △=偶数の場合、4×○=偶数なので、4×○+7×△=偶数となり、

51(奇数)とならないので、△=偶数の場合は最初から除きましょう。

□=2のとき、○+△=10で、4×○+7×△=60

 和が偶数(60)なので、△=偶数の場合だけを考えます。

 △=4のとき、○=8 (○+△=10にならないので不適)

 △=8のとき、○=1 (○+△=10にならないので不適)

 △=2,6の場合は条件に合う○がない

□=1のとき、○+△=11で、4×○+7×△=69

 和が奇数(69)なので、△=奇数の場合だけを考えます。

 △=3のとき、○=12(不適)

 △=7のとき、○=5 (不適)

 △=1,5,9の場合は条件に合う○がない

□=0のとき、○+△=12で、4×○+7×△=78

 和が偶数(78)なので、△=偶数の場合だけを考えます。

 △=2のとき、○=16 (不適)

 △=6のとき、○=9  (不適)

 △=10のとき、○=2 (条件を満たす)

 △=4,8の場合は条件に合う○がない

以上より、考えられる 4点、7点、9点を取った人数は

 (2,10,0)、(4,5,3)、(6,0,6)

の 3通りがあります。

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