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2016年4月 4日 (月)

長さと面積を求める(成蹊中学 2011年)

図1のように、三角形ABCとABを直径とする半円が2点P、Qで交わっています。辺ACのうちAPの部分の長さは6cmです。

(1)BとPを直線で結んだとき、BPの長さは何cmですか?

(2)半円の面積は何c㎡ですか?

(3)斜線部分の面積は何c㎡ですか?

1

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こたえ

2

(1)半円の中心をOとすると△AOPは直角二等辺三角形なので、

∠AOP=90゜、∠BOP=90゜

したがって、△OBPも△AOPと合同な直角二等辺三角形になります。

よってBP=6cm

(2)△AOP+△BOPと同じ三角形を赤い点線部分に作ると、正方形になります。

面積は6×6=36c㎡

半円の直径が正方形の対角線になるので、

2×半径×2×半径÷2=36

半径×半径=18

半円の面積=18×3.14÷2=28.26c㎡

(3)QからOBの垂線を下ろしOBとの交点をRとします。

△OBQは二等辺三角形で頂角は30゜です。

△ORQは30゜、60゜、90゜の直角三角形なので、

QRは1/2×半径です。

したがって△OBQの面積は

半径×1/2×半径÷2=半径×半径×1/4=18÷4=4.5c㎡

斜線部分=28.26÷6-4.5=0.21c㎡

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