長さと面積を求める（成蹊中学 ２０１１年）

図１のように、三角形ABCとABを直径とする半円が２点P、Qで交わっています。辺ACのうちAPの部分の長さは６ｃｍです。

（１）BとPを直線で結んだとき、BPの長さは何ｃｍですか？

（２）半円の面積は何ｃ㎡ですか？

（３）斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか？

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こたえ

（１）半円の中心をOとすると△AOPは直角二等辺三角形なので、

∠AOP＝９０゜、∠BOP＝９０゜

したがって、△OBPも△AOPと合同な直角二等辺三角形になります。

よってBP＝６ｃｍ

（２）△AOP＋△BOPと同じ三角形を赤い点線部分に作ると、正方形になります。

面積は６×６＝３６ｃ㎡

半円の直径が正方形の対角線になるので、

２×半径×２×半径÷２＝３６

半径×半径＝１８

半円の面積＝１８×３．１４÷２＝２８．２６ｃ㎡

（３）QからOBの垂線を下ろしOBとの交点をRとします。

△OBQは二等辺三角形で頂角は３０゜です。

△ORQは３０゜、６０゜、９０゜の直角三角形なので、

QRは１/２×半径です。

したがって△OBQの面積は

半径×１/２×半径÷２＝半径×半径×１/４＝１８÷４＝４．５ｃ㎡

斜線部分＝２８．２６÷６－４．５＝０．２１ｃ㎡

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