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図のような直角三角形ＡＢＣがあります。
黒く色のついた部分の面積は何ｃ㎡ですか。
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△ＡＢＣの高さＡＤは、
１５×（８＋１２）÷（１５＋１０）＝１２ｃｍ
△緑の面積＝１０×１２÷２＝６０ｃ㎡
求める部分の面積＝６０×８/（８＋１２）＝２４ｃ㎡
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図のように、合同な直角三角形を２つ重ねました。
黄色部分の面積は何ｃ㎡ですか？
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図のように、黄色部分は直角三角形の４/５になるので、
面積は、２×３÷２×４/５＝２．４ｃ㎡
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長さ１０ｃｍのろうそくＡと長さ２４ｃｍのろうそくＢに同時に火をつけます。
下のグラフは、火をつけてからの時間とろうそくの長さの関係を表しています。
ろうそくＡ、Ｂの残りの長さが等しくなるのは、火をつけてから何分後ですか？
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正六角形の面積が１０８ｃ㎡とすると、
中の黄色い星形の面積は何ｃ㎡でしょうか？
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赤と青の直角三角形を合わせると、
黄色い小さな正三角形と同じ面積になります。
なので、星形の面積は、
１０８×１２/１８＝７２ｃ㎡
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Ｊさんは家から１０５０ｍ離れた駅で１５分後にＧさんと待ち合わせをしました。
Ｊさんは待ち合わせの１分前に着くように分速（ア） ｍで歩きはじめましたが、
４分後に忘れ物に気づいたので、それからは分速（イ） ｍで走って家に帰り、
ふたたび同じ速さで走って駅に向かったところ、２分遅刻して しまいました。
家で忘れ物をとるのにかかった時問は１分です。
ア＝？ｍ
イ＝？ｍ
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予定では、１０５０ｍを１５－１＝１４分で歩く予定だったので、
ア＝１０５０÷１４＝７５ｍ/分 です。
分速７５ｍで４分歩くと、
７５ｍ×４＝３００ｍ
走ったキョリは ３００＋１０５０＝１３５０ｍ
２分遅刻したので、かかった時間の合計は、１５＋２＝１７分
走った時間は、１７－（４＋１）＝１２分
イ＝１３５０÷１２＝１１２．５ｍ/分
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図のように、正方形と長方形を８１枚しきつめました。
影の部分の面積は何ｃ㎡ですか？
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全体の面積は、
（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）＝
４５×４５＝２０２５ｃ㎡
１段目は、
白→（１＋３＋５＋７＋９）×１＝２５×１＝２５ｃ㎡
影→（２＋４＋６＋８）×１＝２０×１＝２０ｃ㎡
白－影＝５ｃ㎡
２段目は、
影→（１＋３＋５＋７＋９）×２＝２５×２＝５０ｃ㎡
白→（２＋４＋６＋８）×２＝２０×２＝４０ｃ㎡
３段目
白→７５ｃ㎡
影→６０ｃ㎡
２段目と３段目で、
白－影＝５ｃ㎡
４段目と５段目で、
白－影＝５ｃ㎡
６段目と７段目で、
白－影＝５ｃ㎡
８段目と９段目で、
白－影＝５ｃ㎡
１～９段目で、５×５＝２５ｃ㎡ 白が多くなるので、
影部分の面積＝（２０２５－２５）÷２＝１０００ｃ㎡
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下の図１において、サイコロの３つの見える面の数の和は６となっています。
このサイコロ を図２のように右側に転がすと、
３つの見える面の数の和は７になります。
ただし、サイコロの向かい合う面の数の和は７となっています。
下のように、サイコロを図１の状態から手前に２回転がし、
続けて右に２回転がし、また手前に２回転がし、という作業をくり返します。
図１の状態から２９９９回転がした とき、３つの見える面の数の和はいくつですか？
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２回転がすと・・・
和は１４
４回転がすと・・・
和は１０
６回転がすと・・・
和は１２
８回転がすと・・・
元に戻って、和は６
３０００は８の倍数なので、
２９９９は８回の一つ前で、７回だから・・・
和は１１
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図の四角形ABCDは一辺の長さが１０ｃｍの正方形です。
斜線部分の面積の合計は何ｃ㎡ですか。
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４人の生徒Ａ君、 Ｂ君、 Ｃ君、Ｄ君がテストを受けたところ、
得点の低い順にＡ君、Ｂ君 、Ｃ君、Ｄ君となりました。
また、４人から１人をのぞいた３人の平均点は、
それぞれ６０点、６６点、６８点、７６点でした。
４人のそれぞれの得点は何点でしたか？
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得点の高い順に、
D C B A なので、
D＋C＋B＝７６×３＝２２８点
D＋C＋A＝６８×３＝２０４点
D＋B＋A＝６６×３＝１９８点
C＋B＋A＝６０×３＝１８０点
以上より、
D １８点差 C ６点差 B ２４点差 A ・・・・とわかります。
C＋B＋A＝（A＋３０）＋（A＋２４）＋A＝１８０ より、
３×A＝１２６
A＝４２点
B＝４２＋２４＝６６点
C＝６６＋６＝７２点
D＝７２＋１８＝９０点
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ＡＢＣＤ という ４ケタの数を入れたら ＤＣＡＢ という ４ケタの数が出てくる箱があります。
たとえば、１２３４ を箱に入れると４３１２ が出てきます。この数を再び（２回目）箱に入れると、２１４３ が出てきます。
４ケタの数 ９５３６ を箱に２００６回入れたとき、最後に出てくる ４ケタの数はいくつですか？
ＡＢＣＤ→
→ＤＣＡＢ
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規則性を考えるために、ＡＢＣＤ を箱に入れてみましょう。
１回目 ： ＡＢＣＤ → ＤＣＡＢ
２回目 ： ＤＣＡＢ → ＢＡＤＣ
３回目 ： ＢＡＤＣ → ＣＤＢＡ
４回目 ： ＣＤＢＡ → ＡＢＣＤ
このことから、４回で最初の数にもどることがわかりました。
よって、９５３６を２００６回、箱に入れると、
２００６÷４＝５０１あまり２
なので、２回目の操作が終わったＢＡＤＣ の形、
すなわち ５９６３ の形で出てくるということになります。
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図でＢＣとＦＥは平行です。ア、イの角度を求めなさい。
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図のように、１辺が１０ｃｍの正方形ABCDの辺AB上に点EをBE＝７ｃｍ、
辺DC上に点FをCF＝５ｃｍとなるようにとります。
このとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。
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解法例
△黄と△水色は相似で相似比は７：５なので、
△緑と△水色の面積比も７：５になります。
△緑＝１０×５÷２×７/（７＋５）＝１４と７/１２ｃ㎡
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３５人のクラスで１０点満点のテストをしたところ、平均点が５．６点になりました。
下の表はそのときの点数の分布を表したものです。
４点、７点、９点を取った人数を求め、
考えられるすべての場合を次の例のように答えなさい。
【例】
４点、７点、９点を取った人数がそれぞれ１人、２人、３人 の場合 → （１，２，３）
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全員の取った点数の合計は、３５×５．６＝１９６点 です。
それに対し、表にある点数の合計は、
０×１＋１×１＋２×１＋３×４＋５×７＋６×４＋８×３＋１０×２＝１１８点 です。
よって、４点、７点、９点を取った人の合計点は、
１９６－１１８＝７８点
となります。
４点、７点、９点を取った人数を（○、△、□）とすると、
４×○＋７×△＋９×□＝７８
となります。
さらに、
○＋△＋□＝３５－（１＋１＋１＋４＋７＋４＋３＋２）＝１２
となります。
一番数の大きい【９】を基準にすると、□は、０～８ が当てはまります。
□＝８のとき、○＋△＝４ で、４×○＋７×△＝６
△＝０でも○に入る数がないので、条件を満たしません。
□＝７のとき、○＋△＝５ で、４×○＋７×△＝１５
△＝０，１，２でも○に入る数がない。
□＝６のとき、○＋△＝６ で、４×○＋７×△＝２４
△＝０のとき、○＝６ となります。
□＝５のとき、○＋△＝７ で、４×○＋７×△＝３３
△＝０，１，２，３，４ でも○に入る数がない。
□＝４のとき、○＋△＝８ で、４×○＋７×△＝４２
△＝０，２，４，６でも○に入る数がない
（△＝奇数の場合、４×○も奇数にならないと、４２（偶数）にならないが、
４×○が奇数になることはないので、
△＝奇数の場合は最初から除きましょう）
□＝３のとき、○＋△＝９ で、４×○＋７×△＝５１
△＝１のとき、○＝１１（○＋△＝１２となってしまうので不適）
△＝５のとき、○＝４となる。
△＝３，７のときは○に入る数がない。
△＝偶数の場合、４×○＝偶数なので、４×○＋７×△＝偶数
となり、５１（奇数）とならないので、△＝偶数の場合は最初から除きましょう。
□＝２のとき、○＋△＝１０で、４×○＋７×△＝６０
和が偶数（６０）なので、△＝偶数の場合だけを考えます。
△＝４のとき、○＝８ （○＋△＝１０にならないので不適）
△＝８のとき、○＝１ （○＋△＝１０にならないので不適）
△＝２，６の場合は条件に合う○がない
□＝１のとき、○＋△＝１１で、４×○＋７×△＝６９
和が奇数（６９）なので、△＝奇数の場合だけを考えます。
△＝３のとき、○＝１２（不適）
△＝７のとき、○＝５ （不適）
△＝１，５，９の場合は条件に合う○がない
□＝０のとき、○＋△＝１２で、４×○＋７×△＝７８
和が偶数（７８）なので、△＝偶数の場合だけを考えます。
△＝２のとき、○＝１６ （不適）
△＝６のとき、○＝９ （不適）
△＝１０のとき、○＝２ （条件を満たす）
△＝４，８の場合は条件に合う○がない
以上より、考えられる ４点、７点、９点を取った人数は
（２，１０，０）、（４，５，３）、（６，０，６）
の ３通りがあります。
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図のような、下部が直径１０cmの円柱形で、高さが３０ｃｍのびんに、
底から１２cmの高さまで水を入れます。
びんにふたを閉めて逆さに立てたところ、
水面がびんの口から２２cmの高さになりました。
このびんの容積は何立法ｃｍですか？
ただし、円周率は３．１４とします。
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図の水の入っていない部分の容積は、
逆さにしたときの、水のない円柱部分に等しいので、
びんの容積は、
５×５×３．１４×１２＋５×５×３．１４×（３０－２２）＝
５×５×３．１４×（１２＋８）＝
５×５×３．１４×２０＝
５００×３．１４＝１５７０立方ｃｍ
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ボールが3個と箱が5個あります。次の①、②のような条件で、箱にボールを入れるとき、それぞれの場合の入れ方は全部で何通りありますか。ただし、１つの箱にボールは3個まで入れることができるものとします。また、ボールはかならず、いずれかの箱に入れるものとします。
①ボールは、色や形が全て同じで、おたがいに区別できません。箱も、色や形がすべて同じで、おたがいに区別できません。
②ボールは、①と同じように区別できません。箱には、おたがいに区別できるように、下のように、Ａ､Ｂ､Ｃ､Ｄ､Ｅと名前を書いておきます。
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こたえ
①一つの箱に３個入れる場合と、
二つの箱に、２個、１個と入れる場合と、
三つの箱に１つずつ入れる場合の
合計３通りです。
②一つの箱に３個入れる場合は５通り、
二つの箱に、２個、１個と入れる場合は、
４×５＝２０通り
三つの箱にそれぞれ１個ずつ入れる場合は、
５個の中から２個入れない場合の数と同じなので、
（５×４）/（２×１）＝１０通り
合計５＋２０＋１０＝３５通り です。
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２つの直角三角形があり、図のように重なっています。斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。
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こたえ
△黄の底辺：高さ＝（１４＋６）：１０＝２：１
△緑の底辺：高さ＝（１４＋４）：１２＝３：２
両方の高さが等しいので、
△黄の底辺：△緑の底辺＝２：（１×３/２）＝４：３
△黄の底辺＝１４×４/（４＋３）＝８ｃｍ
△黄の高さ＝８×１/２＝４ｃｍ
斜線部分の面積＝１４×４÷２＝２８ｃ㎡
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姉と妹の所持金の比は５：３でしたが、
姉が妹に３５円あげたので、姉と妹の所持金の比が３：２になりました。
姉のはじめの所持金は何円ですか。
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（５×□－３５）：（３×□＋３５）＝３：２
２×（５×□－３５）＝３×（３×□＋３５）
１０×□－７０＝９×□＋１０５
□＝１７５
姉の所持金＝１７５×５＝８７５円
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１０％の食塩水１００ｇに、濃度がわからない食塩水Ａを５０ｇ加えて、
さらに５０ｇの水を加えたところ、食塩水の濃度は６％になりました。
加えた食塩水Ａの濃度は何％ですか。
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５０ｇの食塩水Ａに５０ｇの水を加え、□％の食塩水１００ｇを加えたと考えます。
すると、図のように、重さは１：１なので、
てんびんの長さも１：１になり、
□＝２％ になります。
水５０ｇを加えて２％の食塩水になったと考えると、
重さは１：１なので、てんびんの長さも１：１になり、
△＝４％
食塩水Ａは４％の濃度です。
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いくつかのあめとビスケットを、用意した袋に詰めていきます。
あめ４個と ビスケット３枚をセットにして袋詰めしていくと、
あめが２個、ビスケットが１５枚余りました。
また、あめ３個とビスケット４枚をセットに して袋詰めすると、
あめが１７個余り、ビスケットは１枚も余りませんでした。
あめの個数とビスケットの枚数はそれぞれいくつでしょうか？
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図のように、最初余ったビスケット１５枚を１枚ずつ袋に入れていくと、
ぴったり４枚ずつ入れることができるので、
袋は１５個あることがわかります。
あめは、４×１５＋２＝６２個
ビスケットは、４×１＝６０枚
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２０１６×●＝▲×▲となる最も小さい整数●はいくつですか？
ただし、●と▲は異なる整数で、▲×▲は同じ整数どうしのかけ算です。
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２０１６＝２×２×２×２×２×３×３×７
（２×２×３)×（２×２×３）×２×７ なので、
２０１６×（２×７）＝（２×２×３)×（２×７）×（２×２×３）×（２×７） より、
●＝２×７＝１４
▲×▲＝１６８×１６８＝２８２２４
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図のように、各辺の中点に点が記された正方形を７個つなげた図形があります。
この図形上に示された２点を通る直線を一本引き、
面積をちょうど半分にするように２つの図形にわけます。
どのようにわけたらよいか、２通りかきいれてくださいさい。
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１辺８ｃｍの立方体があります。
この立方体の上の面の各辺のまん中の点に下の面の各頂点が重なるような大きさの立方体を置きます。
同じようにして、次々と立方体を図のような塔の形に積み上げていきます。
７個積み上げたとき、外側から目で見ることのできるこの搭の表面すべての面積の合計は何ｃ㎡ですか。
ただし、塔の底の面積（床についている部分）は含みません。
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図１のように、三角形ABCとABを直径とする半円が２点P、Qで交わっています。辺ACのうちAPの部分の長さは６ｃｍです。
（１）BとPを直線で結んだとき、BPの長さは何ｃｍですか？
（２）半円の面積は何ｃ㎡ですか？
（３）斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか？
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こたえ
（１）半円の中心をOとすると△AOPは直角二等辺三角形なので、
∠AOP＝９０゜、∠BOP＝９０゜
したがって、△OBPも△AOPと合同な直角二等辺三角形になります。
よってBP＝６ｃｍ
（２）△AOP＋△BOPと同じ三角形を赤い点線部分に作ると、正方形になります。
面積は６×６＝３６ｃ㎡
半円の直径が正方形の対角線になるので、
２×半径×２×半径÷２＝３６
半径×半径＝１８
半円の面積＝１８×３．１４÷２＝２８．２６ｃ㎡
（３）QからOBの垂線を下ろしOBとの交点をRとします。
△OBQは二等辺三角形で頂角は３０゜です。
△ORQは３０゜、６０゜、９０゜の直角三角形なので、
QRは１/２×半径です。
したがって△OBQの面積は
半径×１/２×半径÷２＝半径×半径×１/４＝１８÷４＝４．５ｃ㎡
斜線部分＝２８．２６÷６－４．５＝０．２１ｃ㎡
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