目次

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2016年4月

2016年4月29日 (金)

黒い部分の面積は?(慶應中等部 2013年)

図のような直角三角形ABCがあります。

黒く色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

42911

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△ABCの高さADは、

15×(8+12)÷(15+10)=12cm

△緑の面積=10×12÷2=60c㎡

求める部分の面積=60×8/(8+12)=24c㎡

42912

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黄色部分の面積は?(2016年 開智中学)

図のように、合同な直角三角形を2つ重ねました。

黄色部分の面積は何c㎡ですか?

4292

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図のように、黄色部分は直角三角形の4/5になるので、

面積は、2×3÷2×4/5=2.4c㎡

4295

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2016年4月28日 (木)

長さが等しくなるのは何分後?(2016年 江戸川女子中学)

長さ10cmのろうそくAと長さ24cmのろうそくBに同時に火をつけます。

下のグラフは、火をつけてからの時間とろうそくの長さの関係を表しています。

ろうそくA、Bの残りの長さが等しくなるのは、火をつけてから何分後ですか?

4281

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4283

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2016年4月27日 (水)

星形の面積は何c㎡?(2016年 城西川越中学)

正六角形の面積が108c㎡とすると、

中の黄色い星形の面積は何c㎡でしょうか?

4272

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4273

赤と青の直角三角形を合わせると、

黄色い小さな正三角形と同じ面積になります。

なので、星形の面積は、

108×12/18=72c㎡

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歩く速さは?走った速さは?(2016年 女子学院中学)

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Jさんは家から1050m離れた駅で15分後にGさんと待ち合わせをしました。

Jさんは待ち合わせの1分前に着くように分速(ア) mで歩きはじめましたが、

4分後に忘れ物に気づいたので、それからは分速(イ) mで走って家に帰り、

ふたたび同じ速さで走って駅に向かったところ、2分遅刻して しまいました。

家で忘れ物をとるのにかかった時問は1分です。

ア=?m

イ=?mCartoon

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予定では、1050mを15-1=14分で歩く予定だったので、

ア=1050÷14=75m/分 です。

4271

分速75mで4分歩くと、

75m×4=300m

走ったキョリは 300+1050=1350m

2分遅刻したので、かかった時間の合計は、15+2=17分

走った時間は、17-(4+1)=12分

イ=1350÷12=112.5m/分

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2016年4月25日 (月)

法則を知らなければ時間がかかる分数計算

Bandicam_20121221_124145609

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Bandicam_20121221_124200125

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2016年4月23日 (土)

影の部分の面積は?(2016年 吉祥女子中学)

図のように、正方形と長方形を81枚しきつめました。

影の部分の面積は何c㎡ですか?

Bandicam_20160423_081107321

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全体の面積は、

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=

45×45=2025c㎡

1段目は、

白→(1+3+5+7+9)×1=25×1=25c㎡

影→(2+4+6+8)×1=20×1=20c㎡

白-影=5c㎡

2段目は、

影→(1+3+5+7+9)×2=25×2=50c㎡

白→(2+4+6+8)×2=20×2=40c㎡

3段目

白→75c㎡

影→60c㎡

2段目と3段目で、

白-影=5c㎡

4段目と5段目で、

白-影=5c㎡

6段目と7段目で、

白-影=5c㎡

8段目と9段目で、

白-影=5c㎡

1~9段目で、5×5=25c㎡ 白が多くなるので、

影部分の面積=(2025-25)÷2=1000c㎡

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2016年4月22日 (金)

2999回転がした ときの和は?(2016年 埼玉栄中学)

下の図1において、サイコロの3つの見える面の数の和は6となっています。

このサイコロ を図2のように右側に転がすと、

3つの見える面の数の和は7になります。

ただし、サイコロの向かい合う面の数の和は7となっています。

Bandicam_20160422_070957916


下のように、サイコロを図1の状態から手前に2回転がし、

続けて右に2回転がし、また手前に2回転がし、という作業をくり返します。

図1の状態から2999回転がした とき、3つの見える面の数の和はいくつですか?

Bandicam_20160422_071027530_2

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2回転がすと・・・

4222
和は14

4回転がすと・・・

4224


和は10

6回転がすと・・・

4226

和は12

8回転がすと・・・

4228

元に戻って、和は6

3000は8の倍数なので、

2999は8回の一つ前で、7回だから・・・

4227

和は11







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2016年4月21日 (木)

斜線部分の面積合計(城北中学 2011年)

図の四角形ABCDは一辺の長さが10cmの正方形です。

斜線部分の面積の合計は何c㎡ですか。

719

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Bandicam_20160421_090250687

Bandicam_20160421_090322784

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2016年4月20日 (水)

4人の得点は?(2016年 桐光学園中学 改題)

4人の生徒A君、 B君、 C君、D君がテストを受けたところ、

得点の低い順にA君、B君 、C君、D君となりました。

また、4人から1人をのぞいた3人の平均点は、

それぞれ60点、66点、68点、76点でした。

4人のそれぞれの得点は何点でしたか?

2203

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得点の高い順に、

D   C   B   A   なので、

D+C+B=76×3=228点

D+C+A=68×3=204点

D+B+A=66×3=198点

C+B+A=60×3=180点

以上より、

D 18点差 C 6点差 B 24点差 A ・・・・とわかります。

C+B+A=(A+30)+(A+24)+A=180 より、

3×A=126

A=42点

B=42+24=66点

C=66+6=72点

D=72+18=90点

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2016年4月19日 (火)

不思議な箱(豊島岡女子学園中学 2006年)

ABCD という 4ケタの数を入れたら DCAB という 4ケタの数が出てくる箱があります。

たとえば、1234 を箱に入れると4312 が出てきます。この数を再び(2回目)箱に入れると、2143 が出てきます。

4ケタの数 9536 を箱に2006回入れたとき、最後に出てくる 4ケタの数はいくつですか?

ABCD→Ripo1 →DCAB

考え方と解法例

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規則性を考えるために、ABCD を箱に入れてみましょう。

  1回目 : ABCD → DCAB

  2回目 : DCAB → BADC

  3回目 : BADC → CDBA

  4回目 : CDBA → ABCD

このことから、4回で最初の数にもどることがわかりました。

 

よって、9536を2006回、箱に入れると、

 2006÷4=501あまり2

なので、2回目の操作が終わったBADC の形、

すなわち 5963 の形で出てくるということになります。

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2016年4月18日 (月)

アとイの角度は?(ラ・サール中学 2011年)

図でBCとFEは平行です。ア、イの角度を求めなさい。

1311

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Bandicam_20160418_071536592

Bandicam_20160418_071539459_2 Bandicam_20160418_071544525 Bandicam_20160418_071548174

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2016年4月17日 (日)

この中学ではよく出題される面積比問題(桐光学園中学 2010年)

図のように、1辺が10cmの正方形ABCDの辺AB上に点EをBE=7cm、

辺DC上に点FをCF=5cmとなるようにとります。

このとき、斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

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解法例

2

△黄と△水色は相似で相似比は7:5なので、

△緑と△水色の面積比も7:5になります。

△緑=10×5÷2×7/(7+5)=14と7/12c㎡

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2016年4月15日 (金)

テストの平均点(神戸女学院中学部 2014年)

35人のクラスで10点満点のテストをしたところ、平均点が5.6点になりました。

下の表はそのときの点数の分布を表したものです。

4点、7点、9点を取った人数を求め、

考えられるすべての場合を次の例のように答えなさい。

【例】 

4点、7点、9点を取った人数がそれぞれ1人、2人、3人 の場合 → (1,2,3)

Pic_3811q

Sli068s

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全員の取った点数の合計は、35×5.6=196点 です。

それに対し、表にある点数の合計は、

0×1+1×1+2×1+3×4+5×7+6×4+8×3+10×2=118点 です。

よって、4点、7点、9点を取った人の合計点は、

196-118=78点

となります。

4点、7点、9点を取った人数を(○、△、□)とすると、

4×○+7×△+9×□=78

となります。

さらに、

○+△+□=35-(1+1+1+4+7+4+3+2)=12

となります。

一番数の大きい【9】を基準にすると、□は、0~8 が当てはまります。

□=8のとき、○+△=4 で、4×○+7×△=6

△=0でも○に入る数がないので、条件を満たしません。

□=7のとき、○+△=5 で、4×○+7×△=15

△=0,1,2でも○に入る数がない。

□=6のとき、○+△=6 で、4×○+7×△=24

△=0のとき、○=6 となります。

□=5のとき、○+△=7 で、4×○+7×△=33

△=0,1,2,3,4 でも○に入る数がない。

□=4のとき、○+△=8 で、4×○+7×△=42

△=0,2,4,6でも○に入る数がない

(△=奇数の場合、4×○も奇数にならないと、42(偶数)にならないが、

4×○が奇数になることはないので、

△=奇数の場合は最初から除きましょう)

□=3のとき、○+△=9 で、4×○+7×△=51

△=1のとき、○=11(○+△=12となってしまうので不適)

△=5のとき、○=4となる。

△=3,7のときは○に入る数がない。

△=偶数の場合、4×○=偶数なので、4×○+7×△=偶数

となり、51(奇数)とならないので、△=偶数の場合は最初から除きましょう。

□=2のとき、○+△=10で、4×○+7×△=60

和が偶数(60)なので、△=偶数の場合だけを考えます。

△=4のとき、○=8 (○+△=10にならないので不適)

△=8のとき、○=1 (○+△=10にならないので不適)

△=2,6の場合は条件に合う○がない

□=1のとき、○+△=11で、4×○+7×△=69

和が奇数(69)なので、△=奇数の場合だけを考えます。

△=3のとき、○=12(不適)

△=7のとき、○=5 (不適)

△=1,5,9の場合は条件に合う○がない

□=0のとき、○+△=12で、4×○+7×△=78

和が偶数(78)なので、△=偶数の場合だけを考えます。

△=2のとき、○=16 (不適)

△=6のとき、○=9  (不適)

△=10のとき、○=2 (条件を満たす)

△=4,8の場合は条件に合う○がない

以上より、考えられる 4点、7点、9点を取った人数は

(2,10,0)、(4,5,3)、(6,0,6)

の 3通りがあります。

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2016年4月14日 (木)

このびんの容積は?(2016年 東京都市大学付属中学)

図のような、下部が直径10cmの円柱形で、高さが30cmのびんに、

底から12cmの高さまで水を入れます。

びんにふたを閉めて逆さに立てたところ、

水面がびんの口から22cmの高さになりました。

このびんの容積は何立法cmですか?

ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20160414_083014297

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図の水の入っていない部分の容積は、

逆さにしたときの、水のない円柱部分に等しいので、

びんの容積は、

5×5×3.14×12+5×5×3.14×(30-22)=

5×5×3.14×(12+8)=

5×5×3.14×20=

500×3.14=1570立方cm

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2016年4月13日 (水)

ボールの入れ方は何通り?(渋谷教育学園幕張中学 2013年)

ボールが3個と箱が5個あります。次の①、②のような条件で、箱にボールを入れるとき、それぞれの場合の入れ方は全部で何通りありますか。ただし、1つの箱にボールは3個まで入れることができるものとします。また、ボールはかならず、いずれかの箱に入れるものとします。

①ボールは、色や形が全て同じで、おたがいに区別できません。箱も、色や形がすべて同じで、おたがいに区別できません。

②ボールは、①と同じように区別できません。箱には、おたがいに区別できるように、下のように、A、B、C、D、Eと名前を書いておきます。

1

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こたえ

①一つの箱に3個入れる場合と、

二つの箱に、2個、1個と入れる場合と、

三つの箱に1つずつ入れる場合の

合計3通りです。

②一つの箱に3個入れる場合は5通り、

二つの箱に、2個、1個と入れる場合は、

4×5=20通り

三つの箱にそれぞれ1個ずつ入れる場合は、

5個の中から2個入れない場合の数と同じなので、

(5×4)/(2×1)=10通り

合計5+20+10=35通り です。

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2016年4月12日 (火)

三角形の重なり(本郷中学 2014年)

2つの直角三角形があり、図のように重なっています。斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

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こたえ

2

△黄の底辺:高さ=(14+6):10=2:1

△緑の底辺:高さ=(14+4):12=3:2

両方の高さが等しいので、

△黄の底辺:△緑の底辺=2:(1×3/2)=4:3

△黄の底辺=14×4/(4+3)=8cm

△黄の高さ=8×1/2=4cm

斜線部分の面積=14×4÷2=28c㎡

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2016年4月11日 (月)

姉のはじめの所持金は?(今年、2016年 慶應中等部)

姉と妹の所持金の比は5:3でしたが、

姉が妹に35円あげたので、姉と妹の所持金の比が3:2になりました。

姉のはじめの所持金は何円ですか。

4272

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----------------------------------------------------

3101_2

(5×□-35):(3×□+35)=3:2

2×(5×□-35)=3×(3×□+35)

10×□-70=9×□+105

□=175

姉の所持金=175×5=875円

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2016年4月10日 (日)

食塩水Aの濃度は?(今年、2016年 海城中学)

10%の食塩水100gに、濃度がわからない食塩水Aを50g加えて、

さらに50gの水を加えたところ、食塩水の濃度は6%になりました。

加えた食塩水Aの濃度は何%ですか。

Sst056s

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----------------------------------------------------

50gの食塩水Aに50gの水を加え、□%の食塩水100gを加えたと考えます。

すると、図のように、重さは1:1なので、

てんびんの長さも1:1になり、

□=2% になります。

3051
水50gを加えて2%の食塩水になったと考えると、

重さは1:1なので、てんびんの長さも1:1になり、

△=4%

食塩水Aは4%の濃度です。

3052

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2016年4月 9日 (土)

あめとビスケットはいくつ?(2016年 普連土学園中学)

いくつかのあめとビスケットを、用意した袋に詰めていきます。

あめ4個と ビスケット3枚をセットにして袋詰めしていくと、

あめが2個、ビスケットが15枚余りました。

また、あめ3個とビスケット4枚をセットに して袋詰めすると、

あめが17個余り、ビスケットは1枚も余りませんでした。

あめの個数とビスケットの枚数はそれぞれいくつでしょうか?

Ilm10_ca03001s

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図のように、最初余ったビスケット15枚を1枚ずつ袋に入れていくと、

ぴったり4枚ずつ入れることができるので、

袋は15個あることがわかります。

4094

あめは、4×15+2=62個

ビスケットは、4×1=60枚

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2016年4月 8日 (金)

整数●はいくつ?(2016年 成城学園中学)

2016×●=▲×▲となる最も小さい整数●はいくつですか?

ただし、●と▲は異なる整数で、▲×▲は同じ整数どうしのかけ算です。

Apa0307s

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2016=2×2×2×2×2×3×3×7

(2×2×3)×(2×2×3)×2×7 なので、

2016×(2×7)=(2×2×3)×(2×7)×(2×2×3)×(2×7) より、

●=2×7=14

▲×▲=168×168=28224

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2016年4月 6日 (水)

面積を半分にするには?(2016年 筑波大学附属中学)

図のように、各辺の中点に点が記された正方形を7個つなげた図形があります。

この図形上に示された2点を通る直線を一本引き、

面積をちょうど半分にするように2つの図形にわけます。

どのようにわけたらよいか、2通りかきいれてくださいさい。

Bandicam_20160406_075712655

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4063

4064

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2016年4月 5日 (火)

見える部分の面積は?(第4回 ジュニア算数オリンピック ファイナル問題)

1辺8cmの立方体があります。

この立方体の上の面の各辺のまん中の点に下の面の各頂点が重なるような大きさの立方体を置きます。

同じようにして、次々と立方体を図のような塔の形に積み上げていきます。

7個積み上げたとき、外側から目で見ることのできるこの搭の表面すべての面積の合計は何c㎡ですか。

ただし、塔の底の面積(床についている部分)は含みません。

Bandicam_20160405_084426289

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Bandicam_20160405_084332167

Bandicam_20160405_084358838

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2016年4月 4日 (月)

長さと面積を求める(成蹊中学 2011年)

図1のように、三角形ABCとABを直径とする半円が2点P、Qで交わっています。辺ACのうちAPの部分の長さは6cmです。

(1)BとPを直線で結んだとき、BPの長さは何cmですか?

(2)半円の面積は何c㎡ですか?

(3)斜線部分の面積は何c㎡ですか?

1

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

こたえ

2

(1)半円の中心をOとすると△AOPは直角二等辺三角形なので、

∠AOP=90゜、∠BOP=90゜

したがって、△OBPも△AOPと合同な直角二等辺三角形になります。

よってBP=6cm

(2)△AOP+△BOPと同じ三角形を赤い点線部分に作ると、正方形になります。

面積は6×6=36c㎡

半円の直径が正方形の対角線になるので、

2×半径×2×半径÷2=36

半径×半径=18

半円の面積=18×3.14÷2=28.26c㎡

(3)QからOBの垂線を下ろしOBとの交点をRとします。

△OBQは二等辺三角形で頂角は30゜です。

△ORQは30゜、60゜、90゜の直角三角形なので、

QRは1/2×半径です。

したがって△OBQの面積は

半径×1/2×半径÷2=半径×半径×1/4=18÷4=4.5c㎡

斜線部分=28.26÷6-4.5=0.21c㎡

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