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図のように、直線上に長方形と直角三角形があります。
直角三角形が直線上を矢印の方向に毎秒２cmの速さで移動します。
三角形が動き出してから、
９秒後に２つの図形が重なっている部分の面積は何ｃ㎡ですか？
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９秒後には図のように重なるので、
求める面積は、
６×１０－（２×２÷２＋４×４÷２）＝５０ｃ㎡
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運動会の徒競走で、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆの６人が同じ組で走りました。
６人は、結果について次のように言っています。
Ａ 「Ｆは私より先にゴールしました。」
Ｂ 「Ａに勝つことができました。」
Ｃ「Ｆは３位までに入ることができませんでした。」
Ｄ 「Ｃに勝てると思っていたのに、残念でした。」
Ｅ 「Ｄには最後まで追いつけませんでした。」
Ｆ 「Ｂにはー度ぬかれましたが、ぬき返しそのままゴールしました。」
３位の人と５位の人はだれですか。
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A、B、Fの発言より、
F→B→Aの順番になり、
Cの発言より、
４位F、５位B、６位A が決まります。
D、Eの発言より、
１位C、２位D、３位E とわかるので、
３位はE、５位はB
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同じ大きさの立方体を、
面と面がぴったりと重なるようにいくつか積み重ねて立体を作りました。
その立体を真上から見た図と、正面から見た図は下のようになっています。
（１）この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も少ない場合
立方体は何個必要ですか。
（２）この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も多い場合
立方体は何個必要ですか。
（３）この図のようになる立体は全部で何通りありますか。
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（１）は図のように９個です。
（２）は図のように１４個です。
（３）真ん中の２個にはそれぞれ１個積む場合と、両方積む場合の３通りが考えられます。
右側の３個はまず、それぞれ０個か１個か２個積む場合を考えます。
その場合の数は３×３×３＝２７通りですが、
０００、１００、０１０、００１、１１０、１０１、０１１、１１１の８通りは高さが３個にならないので除きます。
すると、２７－８＝１９通りが考えられるので、
３×１９＝５７通りの立体ができます。
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円周率を３．１４とすると、面積が１５７ｃ㎡になる円形のメダルが５個あります。
まず、４個のメダルをそれぞれ両隣のメダルに接するように配置します。
する と、隣り合う２個のメダルが接する４つの点をすべて通るように
５個目のメダルを配置することができます。
この作業を行うと、下の図のようになります。
このとき、図の斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。
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求める面積は、図のように、（円－赤正方形）×２で求められます。
円の半径を、□とすると、
□×□＝１５７÷３．１４＝５０
正方形の面積は、２×□×２×□÷２＝２×□×□＝１００ｃ㎡
求める面積＝（１５７－１００）×２＝１１４ｃ㎡
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台形ABCDの対角線BD上に、点Eを、ADとECが平行になるようにとりました。三角形「あ」と三角形「い」の面積を求めなさい。
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こたえ
ＣＥの延長とＡＢとの交点をＦとすると、
三角形「あ」の面積は平行四辺形ＡＦＣＤの半分になることがわかります。
したがって、１１×２１÷２＝１１５．５ｃ㎡
また、三角形ＦＢＥと三角形ＣＤＥは相似になので、
ＢＥ：ＥＤ＝（１５－１１）：１１＝４：１１
三角形「い」の高さは１１×４/１５です。
よって、三角形「い」の面積は
２１×１１×４/１５÷２ ＝３０．８ｃ㎡
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すべて同じサイコロを図のように積み上げました。このサイコロのA、B、Cの面と反対側の面のアルファベットはなんでしょうか？
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解法例
問題図の上から１段目と２段目左から、
Ｃの反対側はＥかF
3段目からＡの反対側はＤかＦとわかります。
つまり，Ａ，Ｂ，Ｃの反対側の面の組み合わせは、
Ｄ，Ｅ，ＦかＤ，Ｆ，ＥかＦ，Ｄ，Ｅの３通です。
これをもとに、一段目のサイコロの３通りの展開図を書いてみると，
以下のようになります。
これらを組み立てて問題図２段目右の角度から、
Ｄ，Ｅ，Ｆの３つの面を見た見取り図を書いてみると、
それぞれ上図ようになります。
このうち，問題図２段目右と同じ並びとなっているのは、
まん中のサイコロだけなので，
Ａ，Ｂ，Ｃの反対側の面は、順にＤ，Ｆ，Ｅとわかります。
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８枚の紙を重ねて真ん中をホチキスでとめて作った冊子があります。
この冊子に は１ページから３２ページまでページ番号がふられています。
この冊子のホチキス をはずして１枚ずつバラバラにしたとき、
６ページのとなりは何ページですか？
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２ページのとなりが３１ページ
４ページのとなりが２９ページ
６ページのとなりは２７ページ
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図は三角形ＡＢＣを面積が等しい５つの三角形に分けた図です。
このときＡＤ：ＤＥ：ＥＣを最も簡単な整数の比で表すと□：□：□です。
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面積比が、△緑：△黄＝１：４ なので、
ＡＤ：ＤＣ＝①：④
△水色：△赤＝１：２ なので、
ＤＥ：ＥＣ＝１：２
ＤＥ：ＥＣ＝④/３：⑧/３
ＡＤ＝③/３ なので、
ＡＤ：ＤＥ：ＥＣ＝③：④：⑧＝３：４：８
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３人の職人Ａ、Ｂ、Ｃの１日あたりの賃金は
それぞれ６０００円、９０００円、３００００円です。
ある仕事をＡ１人に頼むと６００日、Ｂ１人に頼むと４００日、
Ｃ１人に頼むと２００日でちよう ど完了します。
職人が２人、あるいは３人で同じ日に作業したとき、
それぞれの能率は１人のときと変わらず、その合計の作業がなされます。
また、最後の日は途中で仕事が完了しても１日と数え、
１日分の賃金を支払います。
（１）どの日もＡ、Ｂ２人だけで作業すると、この仕事は何日で完了しますか。
（２）２１０日以内にこの仕事を完了させるとき、
賃金の合計金額が一番少ないのは、Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれに何日ずつ頼むときですか。
また、そのときの賃金の合計金額はいくらですか。
（３）賃金の合計金額を４２０万円以内とするとき、
この仕事が完了するまでにかかる日数が一番少ないのは、
Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれに何日ずつ頼 むときですか。
また、そのとき何日で仕事は完了しますか。
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（１）全体の仕事量を１２００とすると、
Ａの１日あたりの仕事量は、１２００÷６００＝２
Ｂの１日あたりの仕事量は、１２００÷４００＝３
Ｃの１日あたりの仕事量は、１２００÷２００＝６
Ａ＋Ｂ＝５ なので、
１２００÷５＝２４０日
（２）Ｃの日数を一番少なくするときで、ＡとＢは２１０日、
Ａ＋Ｂで２１０日仕事をすると、仕事量は ５×２１０＝１０５０
残り、１２００－１０５０＝１５０ なので、
Ｃは、１５０÷６＝２５日 仕事をします。
賃金は、（６０００＋９０００）×２１０＋３００００×２５＝３９０万円
（３）Ｃにできるだけ多く仕事をしてもらいます。
Ｃに□日、Ａ＋Ｂに△日 とすると、
６×□＋５×△＝１２００ より、
△＝２４０－１．２×□・・・・・・①
３００００×□＋１５０００×△＝４２０００００ とすると、
３×□＋１．５×△＝４２０
①を△に入れると、
３×□＋１．５×（２４０－１．２×□）＝４２０
１．２×□＝６０
□＝５０日・・・・・Ｃの仕事日数
△＝２４０－６０＝１８０日・・・・・ＡとＢの仕事日数、仕事の完了する日数
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図１のような、たて３ｃｍ、横４ｃｍ、対角線５ｃｍの長方形を１辺 の長さ ７ｃｍの正六角形に沿って、すべらないように転がします。図２の位置から矢印の方向に転がしていったところ、１周して元の位置にもどりました。このとき、 点Ａ の描いた曲線で囲まれた図形から正六角形を除いた部分の面積を求めなさい。
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こたえ
点Ａ の動いた図を描くと、下の図３のようになります。
図３より、同じことが３回くり返されていることがわかります。
図３の青い扇形は、○＋△＝９０°で、正六角形の１つの
角＝１２０°より、中心角は、３６０－（９０＋１２０）＝１５０°
とわかります。
よって、求める面積は、（赤、青、黄の扇形、長方形）×３ で、
（ ３×３×３．１４×９０/３６０＋４×４×３．１４×９０/３６０
＋５×５×３．１４×１５０/３６０ ＋ ３×４） × ３
＝｛（ ９/４＋４＋１２５/１２ ）×３．１４ ＋１２｝×３
＝（２００/１２ ×３．１４ ＋１２）×３
＝１５７＋３６
＝１９３（ｃ㎡）
となります。
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水の出る蛇口と、図のような直方体の形をした容器と空のバケツがあります。バケツにこの容器の１/３の量の水を入れたいのですが、どうしたらいいでしょうか？
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こたえ
まず、図のように直方体の容器を傾けて水を入れます。
この量は直方体の容器の１/２です。
次にこの水をバケツに移し、
図のように容器を、
水面が頂点を通る三角形になるまでバケツの水を入れると、
この容器の６分の１の水が入ります。
バケツに残った水は、
１/２－１/６＝１/３ になります。
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長方形(図1)の面積を2等分する直線ＭＮを折り目にして折り(図2)、さらに図2の図形の真ん中の線(図の点線)を折り目にしてもう一度折ります(図3）。図3の図形全体の面積はもとの長方形の面積の１/３であり、そのうち斜線部分の面積が７ｃ㎡のとき､もとの長方形の面積は何ｃ㎡ですか。
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図のような正六角形ＡＢＣＤＥＦがあります。
辺ＢＣのまん中の点をそれぞれＧとしたとき、
三角形ＡＧＥの面積は正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍ですか。
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図のように、黄と緑を赤に、水色を青に平行移動すると、
（赤＋青）は正六角形の５/１２倍になります。
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図のように、角Ｂが直角である直角三角形ＡＢＣ、直線ＰＲ、直線ＱＳがあります。
ＢＰ：ＰＱ：ＱＣ＝３：２：１であり、
２つの直線ＰＲと直線ＱＳによって三角形ＡＢＣの面積が３等分されています。
このとき、ＢＲ：ＲＳ：ＳＡを、最も簡単な整数の比で答えなさい。
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図のように、ＢＲ＝a、ＲＳ＝b，ＳＡ＝cとします。
２×（③×a）＝（③＋②）×（a＋b) より、
６×a＝５×a＋５×b
a＝５×b
３×（③×５×b）＝（③＋②＋①）×（６×b＋c) より、
４５×b＝３６×b＋６×c
９×b＝６×c
c＝３/２×b
a：b：c＝ＢＲ：ＲＳ：ＳＡ＝５：１：３/２＝１０：２：３
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図のように、１辺の長さが３ｃｍの正方形ABCDがあります。
点E、F、G、Hは正方形の各辺を３等分する点です。
直線EGと直線AB、CDが交わる点をそれぞれP、Rとし,、
直線FHと直籐BC、ADが交わる点をそれぞれQ、Sとします。
このとき、四角形PQRSの面積は何ｃ㎡ですか。
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直角三角形ＡＦＳと直角三角形ＤＨＳは相似で、
ＡＦ：ＤＨ＝２/３：１/３＝２：１より、相似比は２：１なので、
ＡＳ：ＤＳ＝２：１ より、ＡＤ＝ＤＳ＝３ｃｍ
同様に、ＡＦ＝ＢＱ＝ＣＲ＝ＤＳ＝３ｃｍ
△ＦＡＳの面積＝６×３÷２＝９ｃ㎡なので、
四角形ＰＱＲＳの面積＝９×５＝４５ｃ㎡
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図の正五角形は直線?に関して線対称です。
いま、点Ａが正五角形の頂点①、②、③、④、⑤を、
操作１、操作２、操作３のいずれかに従い移動します。
操作１：時計回りに２つ移動する
操作２：時計回りの反対の方向に1つ移動する
操作３：直線?に関して線対称な頂点に移動する
たとえば②からスタートして、操作１、操作２、操作３、操作３、操作１
の
５回の操作による点Ａの移動は、次の例のように表記します。
操作３、操作２、操作３、操作３、操作１による移動も同じ表記になります。
（１）点Ａが②からスタートして
２回の操作の直後にいることができる頂点をすべて書きなさい。
（２）１回の操作の直後に点Ａが④にいられるような頂点をすべて書きなさい。
（３）点Aが②からスタートして
５回の操作の直後に④にいる移動の表記は全部で何通りありますか。
さらに、その表記を上の例にならってすべて書きなさい。
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（１）②から行けるのは、③と⑤、
③からは、①と④、⑤からは、①と②と③
したがって、①、②、③、④
（２）④に来れるのは、①と③しかありません。
（３）１回目
②→③、⑤
２回目
②③→①、④
②⑤→①、②、③
３回目
②③①→①、②、④
②③④→②、③、⑤
②⑤①→①、②、④
②⑤②→③、⑤
②⑤③→①、④
５回目の操作で④になるためには、
４回目の操作で①か③にならなくてはいけません。
４回目
②③①①→①、②、④（②③①①①④）
②③①②→③、⑤（②③①②③④）
②③①④→②、③、⑤（②③①④③④）
②③④②→③、⑤（②③④②③④）
②③④③→①、④（②③④③①④）
②③④⑤→①、②、③（②③④⑤①④）（②③④⑤③④）
②⑤①①→①、②、④（②⑤①①①④）
②⑤①②→③、⑤（②⑤①②③④）
②⑤①④→②、③、⑤（②⑤①④③④）
②⑤②③→①、④（②⑤②③①④）
②⑤②⑤→①、②、③（②⑤②⑤①④）（②⑤②⑤③④）
②⑤③①→①、②、④（②⑤③①①④）
②⑤③④→②、③、⑤（②⑤③④③④）
４回目の操作で太字①か③になる、上記１５通りの組み合わせです。
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毎秒20mで走る長さ100mの普通列車Ａと，
毎秒26mで走る長さ220mの急行列車Ｂが同じ向きに走っています。
ＡとＢがあるトンネルに同時に入り始め，
同時に列車全体がトンネルから出たとすると，
このトンネルの長さは何ｍですか。
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こたえ
ＡとＢの先頭部分で比べると、
トンネルを出たところで１２０ｍの差がついたことになります。
１秒間で ２６－２０＝６ｍ差がつくので、
１２０ｍは １２０÷６＝２０秒間です。
２０秒間でＢは ２６×２０＝５２０ｍ進んだので、
トンネルの長さ＝５２０－２２０＝３００ｍ
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