道順は何通り？（今年、２０１６年 甲陽学院中学 ２日目）

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同じ長さの竹ひご６本を用いてできる三角すいをたくさん作り、

それを図のように積み重ねて立体を作ります。図は2段と3段の場合です。

（１）３段の場合の頂点Ａから頂点Ｂまで行くのに最短で行く方法は

３本の竹ひごを通る場合で、1通りです。

４本の竹ひごを通ってＡからＢまで行く方法は何通りありますか。

（２）４段積み重ねて作った立体の場合、

（１）のように１つの頂点Ｃから他の頂点Ｄまで５本の竹ひごを通って行く方法は

何通りありますか。

（３）２段の場合、必要な竹ひごの本数は２４本ですが、

１０段積み重ねて立体を作るとき、必要な竹ひごの本数は何本ですか。

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（１）三角すいは１つの頂点から行くことのできる道は３通りあるので、

図のような平面に直して考えます。

赤丸まで３本で来れる道順は６通りです。

また、図のように２つの青丸まで３本で来れる道順も６通りなので。

合計６＋６＝１２通りです。

（２）図のように赤丸まで４本で来れる道順は１２通りなので、

それに青丸と緑丸の４×２＝８通りを加えて、全部で２０通りです。

（３）1つの三角すいに使われる竹ひごは６本、

三角すいは２段目は２個増え、３段目は３個増え、４段目は４個増え・・・

と、１つずつ増える数が増していきます。

１段目→１個

２段目→３個

３段目→６個

４段目→１０個

５段目→１５個

６段目→２１個

７段目→２８個

８段目→３６個

９段目→４５個

１０段目→５５個

１＋３＋６＋１０＋１５＋２１＋２８＋３６＋４５＋５５

＝２０＋３６＋６４＋１００

＝２０＋１００＋１００

＝２２０

２２０×６＝１３２０本

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