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2016年1月 4日 (月)

立体の体積と表面積は?(2008年 桜蔭中学)

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1辺の長さが6cmの立方体があります。

正面から見たとき図1の灰色の部分になるように

四角柱の形の穴を反対側の面まであけます。

次に、ま横から見たとき図2の灰色の部分になるように

側面に垂直に元の立体の反対側の面までくり抜き穴をあけます。

このとき、次の問に答えなさい。図の目盛りは1cmです。

     Pic_0538_2  

(1)できた立体の体積は、もとの立方体の体積より何立方cm小さいですか。

(2)できた立体の表面積を求めなさい。

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(1)正面からの穴と、ま横からの穴は、図3のように重なります。

Pic_0539_2

重なった黄色い部分の体積は、2cm×2cm×1cm=4立法cm

なので、立方体からくり抜かれた体積は、

2×2×6×2-4=44立法cm なので、できた立体の体積は、

元の立方体の体積より 44立法cm小さいことになります。

(2)立方体の内部の面積は、図3のくり抜かれた部分を

前後、左右、上下から見て求めます。すると図4,5,6のようになります。

   Pic_0540

青い部分が表面積となりますので、その面積を求めると、

図4:(2×6-2×1)×2=20c㎡

図5:(2×6-2×1)×2=20c㎡

図6:2×2×5×2=40c㎡

それぞれ2面ずつあることに注意して、合計で80c㎡ です。

立方体の表面は、くり抜かれた面が4面、そのままの面が2面で、

(6×6-2×2)×4+6×6×2=128+72=200c㎡

です。

よって、できた立体の表面積は、

80+200=280c㎡ となります。

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