立体の体積と表面積は？（２００８年 桜蔭中学）

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１辺の長さが６ｃｍの立方体があります。

正面から見たとき図１の灰色の部分になるように

四角柱の形の穴を反対側の面まであけます。

次に、ま横から見たとき図２の灰色の部分になるように

側面に垂直に元の立体の反対側の面までくり抜き穴をあけます。

このとき、次の問に答えなさい。図の目盛りは１ｃｍです。

　　　　　　　

（１）できた立体の体積は、もとの立方体の体積より何立方ｃｍ小さいですか。

（２）できた立体の表面積を求めなさい。

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（１）正面からの穴と、ま横からの穴は、図３のように重なります。

重なった黄色い部分の体積は、２ｃｍ×２ｃｍ×１ｃｍ＝４立法ｃｍ

なので、立方体からくり抜かれた体積は、

２×２×６×２－４＝４４立法ｃｍ　なので、できた立体の体積は、

元の立方体の体積より ４４立法ｃｍ小さいことになります。

（２）立方体の内部の面積は、図３のくり抜かれた部分を

前後、左右、上下から見て求めます。すると図４，５，６のようになります。

　　　

青い部分が表面積となりますので、その面積を求めると、

図４：（２×６－２×１）×２＝２０ｃ㎡

図５：（２×６－２×１）×２＝２０ｃ㎡

図６：２×２×５×２＝４０ｃ㎡

それぞれ２面ずつあることに注意して、合計で８０ｃ㎡　です。

立方体の表面は、くり抜かれた面が４面、そのままの面が２面で、

（６×６－２×２）×４＋６×６×２＝１２８＋７２＝２００ｃ㎡

です。

よって、できた立体の表面積は、

８０＋２００＝２８０ｃ㎡　となります。

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