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2016年1月 4日 (月)

いくつの辺を切れば?(桜蔭中学 2007年)

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Bandicam_20160104_073957438

上の図は表面が同じ大きさの正五角形12個からなる立体で正十二面体です。

この立体の辺をカッターで切り、開いて平面にすることを考えます。

そのとき、辺以外は切らないものとし、

切り開いてできたものは2枚以上に分かれていないようにします。

いくつの辺を切ればよいですか?

たとえば、図1の場合、3つの辺を切ると右の2つの形のようになります。

Bandicam_20160104_074206183Bandicam_20160104_074446588

下の図のように4つの辺を切ると2枚に分かれるので条件にあいません。

Bandicam_20160104_074458474

よって切る辺の数は3です。

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図のように展開します。

Bandicam_20160104_073905808

立体の1辺を切り開いて平面にすると、展開図上では2辺になるので、

展開図のまわりの辺の数を数え、2で割ったものが切る辺の数になります。

したがって、

38÷2=19

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コメント

どう展開しようと,切断する辺の個数は一定であることを証明する必要はないのでしょうか?


正12面体は,各面が5辺を持ち,
同一辺が2回数えられていることから,辺は5*12/2=30(個)あります.
展開図において,12個の正五角形がくっついていることから,
11個の辺が切断されずに残るので,切断した辺は,30-11=19(個)と分かります.

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