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図のように、二等辺三角形ＡＢＣの中に正方形がぴったり入っています。
二等辺三角形の底辺ＢＣの長さが２６ｃｍ、正方形の1辺の長さが６ｃｍの とき、
二等辺三角形ABCの面積を求めなさい。
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図のように、直角三角形黄と緑は相似になり、
底辺：高さ＝１０：６＝５：３ より、
△緑の高さは、３×３/５＝９/５ｃｍ
△ＡＶＣの面積＝２６×（９/５＋６）×１/２
＝２６×３９/１０
＝１０１．４ｃ㎡
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ある仕事を仕上げるのに、Ａさんだけでは６０分かかり、
Ｂさんだけでは３６分かかります。
この仕事を、Aさんだけで２０分間した後、
残りをＡさんとＢさんの２人で仕上げました。
２人で一緒に仕事をした時間は何分間ですか。
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仕事量を、６０と３６の最小公倍数１８０にしてみると、
Ａは１分間に１８０÷６０＝③ の仕事量、
Ｂは１分間に１８０÷３６＝⑤ の仕事量、
Ａが２０分間で③×２０＝６０ の仕事をしたので、
残りの仕事量は１８０－６０＝１２０、
１２０÷（③＋⑤）＝１５分 で仕上がります。
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図のように，１辺の長さが５ｃｍの立方体の箱を水にうかべると，
一部だけが水面上に出ました。
水面から上の部分の長さを測ると，４ｃｍ，１ｃｍ，３ｃｍでした。
この箱の表面のうち，水面から下の部分の面積を求めなさい。
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12％の食塩水が720gあります。
この食塩水のうち120gをすてて， かわりに120gの水を入れました。
できた食塩水は何％ですか。
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花子さんは１冊のノートを一方からは算数用，
反対側からは国語用に使いました。
ある日ノートを調べると，国語は算数より４ページ分多く使っていて，
まだ使っていないページは全体の３割でした。
さらに，算数用に14ページを使ったら，
ノートの半分は算数用に使ったことになりました，
このノートは何ページありますか。
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３×５×５×５＋４×５×５＋２×５＋１＝
ア×ア×ア＋イ×ア×ア＋ウ×ア＋３
（ア、イ、ウは１～９までの数字です）
ア、イ、ウはいくつですか。
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４個の整数があり、そのうち１個は奇数で３個は異なる偶数です。
これら４個の整数の中から２個を選びます。
すべての選び方について、選んだ２個の整数の和を求めると,
５５， ６２， ６９， ８０， ８７， ９４
となりました。
このとき、最初の４個の整数の中の奇数はいくつですか？
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Ａを奇数として、偶数を小さい順に、Ｂ、Ｃ、Ｄとします。
Ｂ＋Ｃ＝６２
Ｂ＋Ｄ＝８０
Ｃ＋Ｄ＝９４ なので、
Ｄ－Ｃ＝１８ となります。
したがって、Ｃ＝（９４－１８）÷２＝３８
Ａ＋Ｃ＝６９ より、
Ａ＝６９－３８＝３１
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濃度が１３％の食塩水１２０ｇが入った容器Ａと，
７％の食塩水１２０ｇが入った容器Ｂがあります。
容器Ｂから食塩水をいくらか容器Ａに移したところ，
容器Ａの食塩水の濃度が１１％になりました。
（１）容器Ｂから容器Ａに移した食塩水の量は何ｇですか。
そのあと，容器Ａの食塩水から水を蒸発させてから40gを容器Ｂに移したところ
容器Ｂの食塩水の濃度が９％になりました。
（２）容器Ａから蒸発させた水の量は何ｇですか。
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図のような正六角形ＡＢＣＤＥＦがあり、
点Ｐ、Ｑ、Ｒは、それぞれ辺ＡＢ、ＢＣ、ＤＥの真ん中の点です。
２本の直線ＰＲ、ＱＦは点Ｓで 交わっています。
このとき、三角形ＱＲＳの面積は、正六角形 ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍ですか。
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ＦＡとＣＢを延長してその交点をＴとすると、
正六角形ＡＢＣＤＥＦは正三角形ＴＢＡの６倍です。
△ＴＳＦと△ＲＳＱは相似で、相似比は４：３
ＴＳ：ＳＲ＝４：３ です。
正六角形の１辺の長さを②とすると、
△ＱＲＳ：正六角形ＡＢＣＤＥＦ＝（③×③×３/７）：（②×②×６）
＝２７/７：２４
２７/７÷２４＝９/５６倍
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図１のような、直角をはさむ２辺の長さが１０ｃｍの直角二等辺三角形を底面とする、高さ２５ｃｍの三角柱の容器があります。
（１）図１のとき、高さ１６ｃｍまで水を入れました。次に容器を図２のように四角形ＢＣＦＥを底面として置くと、水面までの高さＢＰの長さを求めなさい。
（２）図１のとき、高さ２０ｃｍまで水を入れました。次に容器を辺ＤＥ を床につけて図３のように傾け、水面が頂点Ｂを通るようにして置いたとき、ＦＱの長さを求めなさい。
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次のように、分母が７である分数を、１/７を１番目として、
整数になるものは除き、小さい方から順に並べていきました。
３０番目の分数はいくつでしょうか？
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３０までに、７の倍数は７、１４、２１，２８と４つ入っています。
分子の数字のうち、その４つがないので、
３０番目は、３０＋４＝３４になり、
分数は ３４/７
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秋子さんと弟の春夫君、お父さん、おじいさんの４人がそれぞれの年齢について、次のように話をしています。秋子さんは今何才ですか。
おじいさん「私は８０代です｡」
春夫君「僕の年齢はおじいさんの年齢のちょうど７分の１です｡」
秋子さん「私と春夫とお父さんの年齢を足すと、おじいさんの年齢に等しくなります｡」
お父さん「２年後に，私の年齢は秋子の年齢のちょうど３倍になります｡」
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下図は１辺の差さが７ｃｍの立法体で、この立方体の面ＡＢＣＤにおいて図１斜線部の位置に面ＥＦＧＨまでつきぬける直方体の穴を３つあけます。ただし、図１の点線は等間隔に引いてあります。
さらに、同じように面ＡＥＦＢにおいて、下図斜線部の位置に面ＤＨＧＣまでつきぬける直方体の穴を３つあけます。
（１）この穴のあいた立体の体積を求めなさい。
さらに、同じように面ＢＦＧＣにおいて、下図斜線部の位置に面ＡＥＨＤまでつきぬける直方体の穴を３つあけます。
（２）この立体の体積を求めなさい。
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５の倍数を次のように（ ）のグループに分けていきます。
これについて次の（１）（２）の問いに答えなさい。
(5)，(10，151)，(20，25，30)，(35，40，45，50)，・・・・・
1番目 ２番目 ３番目 ４番目
（1）200は何番目の（ ）に入っていますか。
（2）10番目の（ ）に入っている数の和はいくつですか。
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１辺８ｃｍの立方体があります。
この立方体の上の面の各辺のまん中の点に
下の面の各頂点が重なるような大きさの立方体を置きます。
同じようにして、次々と立方体を図のような塔の形に積み上げていきます。
７個積み上げたとき、
外側から目で見ることのできるこの搭の表面すべての面積の合計は何ｃ㎡ですか。
ただし、塔の底の面積（床についている部分）は含みません。
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図でＢＣとＦＥは平行です。ア、イの角度を求めなさい。
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１辺の長さが１ｃｍの正方形４つを組み合わせてできる，以下の５つの図形があります。
それぞれの図形において，次の条件を満たすような軸のまわりに図形を１回転させてできる立体をすべて考えます。
ア．軸は図形の辺と重なっている。
イ．軸およびその延長は図形の内部を通らない。
円周率を3.14として，次の問いに答えなさい。
(1)立体は全部で何種類できますか。向きを変えて同じになる立体は同じ種類とみなします。
（2）体積が最大の立体，２番目に大きい立体はそれぞれ何立法ｃｍですか。
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平面上に１辺の長さが10cmの正方形Ａがあります。
この平面上で面積2ｃ㎡の正方形Ｂを正方形Ａの周から離れないように動かすとき，
正万形Ｂが通ることのできる部分の面積は何ｃ㎡ですか。
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球を床に置き，この球の真上から電球で球を照らしました。
床から電球までの高さが15cm，床にできた影が直径16cmの円になり，
影の端の１点から電球までの長さは17cmでした。
この球の半径は何cmですか。
ただし，電球の大きさは考えないものとします。
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図のさいころをます目の大きさが，さいころの１つの面と同じ大きさの方眼紙の上をすべらないように，右下のゴールまで最も少ない回数で転がします。
（１）さいころの転がし方は何通りありますか。
（２）右下にゴールしたときの上の面の目の数はいくつになりますか。全ての目の数を求めなさい。
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たての長さが２ｃｍ，横の長さが４ｃｍの長方形のタイルＡと，
1辺の長さが３cmの正方形のタイルＢがそれぞれ何枚かあります。
Ａ，Ｂすべてのタイルの面積の和は172c㎡で，
Ａ，Ｂすべてのタイルの周の長さの和は240cmです。
Ａ，Ｂはそれぞれ何枚ありますか。
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図のように，１辺が４ｃｍの正方形６個と，その中に円があります。
斜線部分の面積を求めなさい。ただし，円周率は3.14とします。
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下の図のように、４つの立方体を組み合わせた立体ア～エがあります。
これらア～エを組み合わせて直方体を作ります。この直方体を前方から見ると下の図のようになりました。
このとき、この直方体を後方から見ると、どのようになっていますか。解答欄にア～エの記号を書いてください。
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上の図は表面が同じ大きさの正五角形１２個からなる立体で正十二面体です。
この立体の辺をカッターで切り、開いて平面にすることを考えます。
そのとき、辺以外は切らないものとし、
切り開いてできたものは２枚以上に分かれていないようにします。
いくつの辺を切ればよいですか？
たとえば、図１の場合、３つの辺を切ると右の２つの形のようになります。
下の図のように４つの辺を切ると２枚に分かれるので条件にあいません。
よって切る辺の数は３です。
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図のように展開します。
立体の１辺を切り開いて平面にすると、展開図上では２辺になるので、
展開図のまわりの辺の数を数え、２で割ったものが切る辺の数になります。
したがって、
３８÷２＝１９
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１辺の長さが６ｃｍの立方体があります。
正面から見たとき図１の灰色の部分になるように
四角柱の形の穴を反対側の面まであけます。
次に、ま横から見たとき図２の灰色の部分になるように
側面に垂直に元の立体の反対側の面までくり抜き穴をあけます。
このとき、次の問に答えなさい。図の目盛りは１ｃｍです。
（１）できた立体の体積は、もとの立方体の体積より何立方ｃｍ小さいですか。
（２）できた立体の表面積を求めなさい。
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（１）正面からの穴と、ま横からの穴は、図３のように重なります。
重なった黄色い部分の体積は、２ｃｍ×２ｃｍ×１ｃｍ＝４立法ｃｍ
なので、立方体からくり抜かれた体積は、
２×２×６×２－４＝４４立法ｃｍ なので、できた立体の体積は、
元の立方体の体積より ４４立法ｃｍ小さいことになります。
（２）立方体の内部の面積は、図３のくり抜かれた部分を
前後、左右、上下から見て求めます。すると図４，５，６のようになります。
青い部分が表面積となりますので、その面積を求めると、
図４：（２×６－２×１）×２＝２０ｃ㎡
図５：（２×６－２×１）×２＝２０ｃ㎡
図６：２×２×５×２＝４０ｃ㎡
それぞれ２面ずつあることに注意して、合計で８０ｃ㎡ です。
立方体の表面は、くり抜かれた面が４面、そのままの面が２面で、
（６×６－２×２）×４＋６×６×２＝１２８＋７２＝２００ｃ㎡
です。
よって、できた立体の表面積は、
８０＋２００＝２８０ｃ㎡ となります。
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図のように１辺が５ｃｍの正方形の中を、
縦２ｃｍ、横３ｃｍの長方形を正方形の辺にそってすべらないように回転させながら、
もとの位置にくるまで１周させました。
このとき、点Ａが動いてできる曲線の長さは何ｃｍですか？
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軌跡は図の赤線部分なので、
（２×２＋３×２）×３．１４÷２＝１５．７ｃｍ
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大きな水槽に、濃度１２％の食塩水が１ｋｇ入っています。
この水槽に、水と濃度１２％の食塩水を、交互に次のように入れていきます。
１回目：水を入れて、
水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の４/５倍の濃度にうすめます。
うすまったら、濃度１２％の食塩水を加えて、水槽の食塩水を２ｋｇにします。
２回目：水を入れて、
水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の４/５倍の濃度にうすめます。
うすまったら、濃度１２％の食塩水を加えて、水槽の食塩水を３ｋｇにします。
以下同様に、
水と食塩水を交互に入れて、水槽の食塩水を１ｋｇずつ増やしていきます。
そして、うすめるために一度に入れる水がちようど１ｋｇになったとき、
その後は、食塩水と水を交互に１ｋｇずつ入れ続けます。
（１）水槽の食塩水が２ｋｇになったとき、濃度は何％ですか。
（２）うすめるために一度に入れる水が、初めてちょうど１ｋｇになったとき、
その１ｋｇの水を入れて、 水槽の食塩水は何ｋｇになりましたか。
（３）水槽の食塩水の濃度が最も低くなるとき、その濃度は何％ですか。
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（１）濃度を４/５倍にするためには、食塩水の重さを５/４倍にすればいいので、
加えた水の量は、１/４ｋｇです。
以下、水と１２％の食塩水の重さを考えます。
水 １２％の食塩水
最初 １ｋｇ
１回目 １/４ｋｇ ３/４ｋｇ ＝２ｋｇ
２回目 ２/４ｋｇ ２/４ｋｇ ＝３ｋｇ
３回目 ３/４ｋｇ １/４ｋｇ ＝４ｋｇ
４回目 ４/４ｋｇ ＝５ｋｇ
２ｋｇのとき、水：１２％の食塩水＝１/４：（１＋３/４）＝１：７
１２％×７/８＝１０．５％
（２）４回目に水を１ｋｇ入れて、食塩水は５ｋｇになりました。
（３）水を１ｋｇ入れた時点で、
水：１２％の食塩水＝（１/４＋２/４＋３/４＋４/４）：（１＋３/４＋２/４＋１/４）
＝１０/４：１０/４＝１０：１０＝１：１
水と１２％の食塩水は１：１、つまり、２．５ｋｇずつなので、
濃度は１２×１/２＝６％ です。
次からは、１２％の食塩水１ｋｇと水１ｋｇが繰り返されるので、
６％の食塩水２ｋｇが入れ続けられる、と考えれば、
最低濃度は、６％です。
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ある年の運動会で
赤組、青組、黄組、緑組から２名ずつの８人が１５００ｍ走に出場 しました。
得点は１位１００点、２位９０点、３位８０点・・・８位３０点のように１０点きざみで、
このレースで同着はありませんでした。
次の３人の証言から黄組 の合計得点として考えられる点数を答えなさい。
Ａ：黄組と赤組の合計得点は等しく同点で優勝しました。
Ｂ：緑組と黄組の合計得点の差は２０点でした。
Ｃ：２位となった選手は黄組でした。
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黄の１人は９０点なので、
黄→１位、２位では同点の組がありえず不適当、
黄→２位、３位では１７０点で、
赤→１位、４位とすると、２０点差、１５０点の組ができず不適当、
黄→２位、４位では１６０点で、
赤→１位、５位とすると、２０点差、１４０点の組ができず不適当、
黄→２位、５位では１５０点で、
赤→３位、４位で１５０点、２０点差の緑は１位、８位で１３０点
青→６位、７位で９０点で矛盾がありません。
黄→２位、６位では１４０点で、
赤→１位、７位とすると、２０点差、１２０点の組ができず不適当、
赤→３位、５位としても、２０点差、１２０点の組ができず不適当、
黄→２位、７位では１３０点で、
赤→１位、８位とすると、緑→５位６位で１１０点ですが、
青→３位、４位で１５０点となり、優勝してしまうので不適当、
赤→３位、６位、赤→４位、５位、としても、
１位１００点をとった組は１３０点以上になるので不適当、
したがって、黄組＝赤組＝１５０点
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