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2016年1月

2016年1月31日 (日)

二等辺三角形ABCの面積は?(2016年 四天王寺中学)

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図のように、二等辺三角形ABCの中に正方形がぴったり入っています。

二等辺三角形の底辺BCの長さが26cm、正方形の1辺の長さが6cmの とき、

二等辺三角形ABCの面積を求めなさい。

1191

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図のように、直角三角形黄と緑は相似になり、

底辺:高さ=10:6=5:3 より、

△緑の高さは、3×3/5=9/5cm

1192

△AVCの面積=26×(9/5+6)×1/2

=26×39/10

=101.4c㎡

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2016年1月26日 (火)

2人で一緒に仕事をした時間は?(今年、2016年 浦和明の星女子中学)

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ある仕事を仕上げるのに、Aさんだけでは60分かかり、

Bさんだけでは36分かかります。

この仕事を、Aさんだけで20分間した後、

残りをAさんとBさんの2人で仕上げました。

2人で一緒に仕事をした時間は何分間ですか。

Clli050s

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仕事量を、60と36の最小公倍数180にしてみると、

Aは1分間に180÷60=③ の仕事量、

Bは1分間に180÷36=⑤ の仕事量、

Aが20分間で③×20=60 の仕事をしたので、

残りの仕事量は180-60=120、

120÷(③+⑤)=15分 で仕上がります。

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2016年1月25日 (月)

水面下の表面積は?(甲陽学院中学 2010年)

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図のように,1辺の長さが5cmの立方体の箱を水にうかべると,

一部だけが水面上に出ました。

水面から上の部分の長さを測ると,4cm,1cm,3cmでした。

この箱の表面のうち,水面から下の部分の面積を求めなさい。

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2016年1月24日 (日)

水の濃度は何%?(法政大学中学 2010年)

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12%の食塩水が720gあります。

この食塩水のうち120gをすてて, かわりに120gの水を入れました。

できた食塩水は何%ですか。

Scl007s

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bandicam 2014-09-06 07-40-09-041 bandicam 2014-09-06 07-40-22-482 bandicam 2014-09-06 07-40-22-549 bandicam 2014-09-06 07-40-31-083 bandicam 2014-09-06 07-40-35-690

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2016年1月23日 (土)

ノートは何ページありますか?(大妻中学 2010年)

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花子さんは1冊のノートを一方からは算数用,

反対側からは国語用に使いました。

ある日ノートを調べると,国語は算数より4ページ分多く使っていて,

まだ使っていないページは全体の3割でした。

さらに,算数用に14ページを使ったら,

ノートの半分は算数用に使ったことになりました,

このノートは何ページありますか。

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2016年1月20日 (水)

当てはまる数は?(桜蔭中学 2009年)

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3×5×5×5+4×5×5+2×5+1=

ア×ア×ア+イ×ア×ア+ウ×ア+3

(ア、イ、ウは1~9までの数字です)

ア、イ、ウはいくつですか。

1212_e

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Bandicam_20160120_095129138

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2016年1月19日 (火)

今年、2016年の東大寺学園中学の問題から(奇数はいくつ?)

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4個の整数があり、そのうち1個は奇数で3個は異なる偶数です。

これら4個の整数の中から2個を選びます。

すべての選び方について、選んだ2個の整数の和を求めると,

55, 62, 69, 80, 87, 94

となりました。

このとき、最初の4個の整数の中の奇数はいくつですか?

Apa0107s

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Aを奇数として、偶数を小さい順に、B、C、Dとします。

B+C=62

B+D=80

C+D=94 なので、

D-C=18 となります。

したがって、C=(94-18)÷2=38

A+C=69 より、

A=69-38=31

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食塩水、移した量と蒸発した量(洛星中学 2010年)

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濃度が13%の食塩水120gが入った容器Aと,

7%の食塩水120gが入った容器Bがあります。

容器Bから食塩水をいくらか容器Aに移したところ,

容器Aの食塩水の濃度が11%になりました。

(1)容器Bから容器Aに移した食塩水の量は何gですか。

そのあと,容器Aの食塩水から水を蒸発させてから40gを容器Bに移したところ

容器Bの食塩水の濃度が9%になりました。

(2)容器Aから蒸発させた水の量は何gですか。

Bandicam_20160119_095831834

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2016年1月18日 (月)

面積比は?(2016年 灘中学)

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図のような正六角形ABCDEFがあり、

点P、Q、Rは、それぞれ辺AB、BC、DEの真ん中の点です。

2本の直線PR、QFは点Sで 交わっています。

このとき、三角形QRSの面積は、正六角形 ABCDEFの面積の何倍ですか。

1181

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FAとCBを延長してその交点をTとすると、

正六角形ABCDEFは正三角形TBAの6倍です。

△TSFと△RSQは相似で、相似比は4:3

TS:SR=4:3 です。

3032

正六角形の1辺の長さを②とすると、

△QRS:正六角形ABCDEF=(③×③×3/7):(②×②×6)

=27/7:24

27/7÷24=9/56倍

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2016年1月17日 (日)

容器と水の高さ(湘南白百合学園中学 2002年)

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図1のような、直角をはさむ2辺の長さが10cmの直角二等辺三角形を底面とする、高さ25cmの三角柱の容器があります。

(1)図1のとき、高さ16cmまで水を入れました。次に容器を図2のように四角形BCFEを底面として置くと、水面までの高さBPの長さを求めなさい。

(2)図1のとき、高さ20cmまで水を入れました。次に容器を辺DE を床につけて図3のように傾け、水面が頂点Bを通るようにして置いたとき、FQの長さを求めなさい。

Pic_0913q

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2016年1月15日 (金)

30番目の分数はいくつ?(今年2016年 浦和明の星女子中学)

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次のように、分母が7である分数を、1/7を1番目として、

整数になるものは除き、小さい方から順に並べていきました。

30番目の分数はいくつでしょうか?

115

1212_e

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30までに、7の倍数は7、14、21,28と4つ入っています。

分子の数字のうち、その4つがないので、

30番目は、30+4=34になり、

分数は 34/7

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2016年1月14日 (木)

秋子さんは今何歳?(浦和明の星女子中学 2012年)

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秋子さんと弟の春夫君、お父さん、おじいさんの4人がそれぞれの年齢について、次のように話をしています。秋子さんは今何才ですか。

おじいさん「私は80代です。」

春夫君「僕の年齢はおじいさんの年齢のちょうど7分の1です。」

秋子さん「私と春夫とお父さんの年齢を足すと、おじいさんの年齢に等しくなります。」

お父さん「2年後に,私の年齢は秋子の年齢のちょうど3倍になります。」

1

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Bandicam_20160114_100517289

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2016年1月13日 (水)

くりぬき立体の体積は?(麻布中学 2012年)

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下図は1辺の差さが7cmの立法体で、この立方体の面ABCDにおいて図1斜線部の位置に面EFGHまでつきぬける直方体の穴を3つあけます。ただし、図1の点線は等間隔に引いてあります。

1

さらに、同じように面AEFBにおいて、下図斜線部の位置に面DHGCまでつきぬける直方体の穴を3つあけます。

2

(1)この穴のあいた立体の体積を求めなさい。

さらに、同じように面BFGCにおいて、下図斜線部の位置に面AEHDまでつきぬける直方体の穴を3つあけます。

3_2 

(2)この立体の体積を求めなさい。

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2016年1月12日 (火)

規則性の基本問題(日本女子大学附属中学 2010年)

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5の倍数を次のように(  )のグループに分けていきます。

これについて次の(1)(2)の問いに答えなさい。

 (5),(10,151),(20,25,30),(35,40,45,50),・・・・・
1番目 2番目   3番目        4番目

(1)200は何番目の( )に入っていますか。

(2)10番目の( )に入っている数の和はいくつですか。

Mpsa1201cs

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見える部分の面積は?(第4回 ジュニア算数オリンピック ファイナル問題)

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1辺8cmの立方体があります。

この立方体の上の面の各辺のまん中の点に

下の面の各頂点が重なるような大きさの立方体を置きます。

同じようにして、次々と立方体を図のような塔の形に積み上げていきます。

7個積み上げたとき、

外側から目で見ることのできるこの搭の表面すべての面積の合計は何c㎡ですか。

ただし、塔の底の面積(床についている部分)は含みません。

Bandicam_20160111_085713291

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Bandicam_20160111_085557884

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2016年1月 9日 (土)

角度は?(ラ・サール中学 2011年)

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図でBCとFEは平行です。ア、イの角度を求めなさい。

1311

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2016年1月 8日 (金)

図形の回転と体積(甲陽学院中学 2010年)

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1辺の長さが1cmの正方形4つを組み合わせてできる,以下の5つの図形があります。

428

それぞれの図形において,次の条件を満たすような軸のまわりに図形を1回転させてできる立体をすべて考えます。
 ア.軸は図形の辺と重なっている。
 イ.軸およびその延長は図形の内部を通らない。
円周率を3.14として,次の問いに答えなさい。

(1)立体は全部で何種類できますか。向きを変えて同じになる立体は同じ種類とみなします。

(2)体積が最大の立体,2番目に大きい立体はそれぞれ何立法cmですか。

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正方形が回ってもその軌跡は(灘中学 2010年)

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平面上に1辺の長さが10cmの正方形Aがあります。

この平面上で面積2c㎡の正方形Bを正方形Aの周から離れないように動かすとき,

正万形Bが通ることのできる部分の面積は何c㎡ですか。

115zu1_2 

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2016年1月 7日 (木)

この球の半径は何cm?(早稲田中学 2010年)

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球を床に置き,この球の真上から電球で球を照らしました。

床から電球までの高さが15cm,床にできた影が直径16cmの円になり,

影の端の1点から電球までの長さは17cmでした。

この球の半径は何cmですか。

ただし,電球の大きさは考えないものとします。

Bandicam_20160107_120231602

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Bandicam_20160107_115911025

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さいころの転がり方(城北埼玉中学 2010年)

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図のさいころをます目の大きさが,さいころの1つの面と同じ大きさの方眼紙の上をすべらないように,右下のゴールまで最も少ない回数で転がします。

(1)さいころの転がし方は何通りありますか。

(2)右下にゴールしたときの上の面の目の数はいくつになりますか。全ての目の数を求めなさい。

611

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2016年1月 6日 (水)

つるかめ算を利用して、(桐朋中学 2011年)

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たての長さが2cm,横の長さが4cmの長方形のタイルAと,

1辺の長さが3cmの正方形のタイルBがそれぞれ何枚かあります。

A,Bすべてのタイルの面積の和は172c㎡で,

A,Bすべてのタイルの周の長さの和は240cmです。

A,Bはそれぞれ何枚ありますか。

Bandicam_20160106_100527964

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木の葉形面積の応用(駒場東邦中学 2008年) 

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図のように,1辺が4cmの正方形6個と,その中に円があります。

斜線部分の面積を求めなさい。ただし,円周率は3.14とします。

1229zu1

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2016年1月 5日 (火)

立体の組み合わせは?(筑波大附属中学 過年度)

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下の図のように、4つの立方体を組み合わせた立体ア~エがあります。

10161

これらア~エを組み合わせて直方体を作ります。この直方体を前方から見ると下の図のようになりました。

10162

このとき、この直方体を後方から見ると、どのようになっていますか。解答欄にア~エの記号を書いてください。

10163

Bandicam_20160105_092158620

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2016年1月 4日 (月)

いくつの辺を切れば?(桜蔭中学 2007年)

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Bandicam_20160104_073957438

上の図は表面が同じ大きさの正五角形12個からなる立体で正十二面体です。

この立体の辺をカッターで切り、開いて平面にすることを考えます。

そのとき、辺以外は切らないものとし、

切り開いてできたものは2枚以上に分かれていないようにします。

いくつの辺を切ればよいですか?

たとえば、図1の場合、3つの辺を切ると右の2つの形のようになります。

Bandicam_20160104_074206183Bandicam_20160104_074446588

下の図のように4つの辺を切ると2枚に分かれるので条件にあいません。

Bandicam_20160104_074458474

よって切る辺の数は3です。

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図のように展開します。

Bandicam_20160104_073905808

立体の1辺を切り開いて平面にすると、展開図上では2辺になるので、

展開図のまわりの辺の数を数え、2で割ったものが切る辺の数になります。

したがって、

38÷2=19

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立体の体積と表面積は?(2008年 桜蔭中学)

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1辺の長さが6cmの立方体があります。

正面から見たとき図1の灰色の部分になるように

四角柱の形の穴を反対側の面まであけます。

次に、ま横から見たとき図2の灰色の部分になるように

側面に垂直に元の立体の反対側の面までくり抜き穴をあけます。

このとき、次の問に答えなさい。図の目盛りは1cmです。

     Pic_0538_2  

(1)できた立体の体積は、もとの立方体の体積より何立方cm小さいですか。

(2)できた立体の表面積を求めなさい。

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(1)正面からの穴と、ま横からの穴は、図3のように重なります。

Pic_0539_2

重なった黄色い部分の体積は、2cm×2cm×1cm=4立法cm

なので、立方体からくり抜かれた体積は、

2×2×6×2-4=44立法cm なので、できた立体の体積は、

元の立方体の体積より 44立法cm小さいことになります。

(2)立方体の内部の面積は、図3のくり抜かれた部分を

前後、左右、上下から見て求めます。すると図4,5,6のようになります。

   Pic_0540

青い部分が表面積となりますので、その面積を求めると、

図4:(2×6-2×1)×2=20c㎡

図5:(2×6-2×1)×2=20c㎡

図6:2×2×5×2=40c㎡

それぞれ2面ずつあることに注意して、合計で80c㎡ です。

立方体の表面は、くり抜かれた面が4面、そのままの面が2面で、

(6×6-2×2)×4+6×6×2=128+72=200c㎡

です。

よって、できた立体の表面積は、

80+200=280c㎡ となります。

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2016年1月 3日 (日)

点Aの軌跡は何cm?(大妻中学 2015年)

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図のように1辺が5cmの正方形の中を、

縦2cm、横3cmの長方形を正方形の辺にそってすべらないように回転させながら、

もとの位置にくるまで1周させました。

このとき、点Aが動いてできる曲線の長さは何cmですか?

131

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軌跡は図の赤線部分なので、

132

(2×2+3×2)×3.14÷2=15.7cm

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食塩水濃度と重さは?(筑波大学附属駒場中学 2014年)

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大きな水槽に、濃度12%の食塩水が1kg入っています。

この水槽に、水と濃度12%の食塩水を、交互に次のように入れていきます。

1回目:水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を2kgにします。

2回目:水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を3kgにします。

以下同様に、

水と食塩水を交互に入れて、水槽の食塩水を1kgずつ増やしていきます。

そして、うすめるために一度に入れる水がちようど1kgになったとき、

その後は、食塩水と水を交互に1kgずつ入れ続けます。

(1)水槽の食塩水が2kgになったとき、濃度は何%ですか。

(2)うすめるために一度に入れる水が、初めてちょうど1kgになったとき、

   その1kgの水を入れて、 水槽の食塩水は何kgになりましたか。

(3)水槽の食塩水の濃度が最も低くなるとき、その濃度は何%ですか。

Ilm05_cb10028s

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(1)濃度を4/5倍にするためには、食塩水の重さを5/4倍にすればいいので、

加えた水の量は、1/4kgです。

以下、水と12%の食塩水の重さを考えます。

          水          12%の食塩水

最初                      1kg

1回目     1/4kg          3/4kg        =2kg

2回目     2/4kg          2/4kg        =3kg

3回目     3/4kg          1/4kg        =4kg

4回目     4/4kg                       =5kg

2kgのとき、水:12%の食塩水=1/4:(1+3/4)=1:7

12%×7/8=10.5%

(2)4回目に水を1kg入れて、食塩水は5kgになりました。

(3)水を1kg入れた時点で、

水:12%の食塩水=(1/4+2/4+3/4+4/4):(1+3/4+2/4+1/4)

=10/4:10/4=10:10=1:1

水と12%の食塩水は1:1、つまり、2.5kgずつなので、

濃度は12×1/2=6% です。

次からは、12%の食塩水1kgと水1kgが繰り返されるので、

6%の食塩水2kgが入れ続けられる、と考えれば、

最低濃度は、6%です。

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2016年1月 2日 (土)

優勝した合計得点は?(2016年 海陽中等教育学校)

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ある年の運動会で

赤組、青組、黄組、緑組から2名ずつの8人が1500m走に出場 しました。

得点は1位100点、2位90点、3位80点・・・8位30点のように10点きざみで、

このレースで同着はありませんでした。

次の3人の証言から黄組 の合計得点として考えられる点数を答えなさい。

A:黄組と赤組の合計得点は等しく同点で優勝しました。

B:緑組と黄組の合計得点の差は20点でした。

C:2位となった選手は黄組でした。

Ilm03_bb01002s

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黄の1人は90点なので、

黄→1位、2位では同点の組がありえず不適当、

黄→2位、3位では170点で、

赤→1位、4位とすると、20点差、150点の組ができず不適当、

黄→2位、4位では160点で、

赤→1位、5位とすると、20点差、140点の組ができず不適当、

黄→2位、5位では150点で、

赤→3位、4位で150点、20点差の緑は1位、8位で130点

青→6位、7位で90点で矛盾がありません。

黄→2位、6位では140点で、

赤→1位、7位とすると、20点差、120点の組ができず不適当、

赤→3位、5位としても、20点差、120点の組ができず不適当、

黄→2位、7位では130点で、

赤→1位、8位とすると、緑→5位6位で110点ですが、

青→3位、4位で150点となり、優勝してしまうので不適当、

赤→3位、6位、赤→4位、5位、としても、

1位100点をとった組は130点以上になるので不適当、

したがって、黄組=赤組=150点

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