最大何枚まで増やせる？（２００６年算数オリンピック、ファイナル問題より）

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カードがたくさんあり、

それぞれのカードに４つの異な るカタカナを記入していきます。

いま、どの２枚を選んでも１つのカタカナだけが一致するようにしようと思います。

ただし、すべてのカードに共通するカタカナがあってはいけません。

このようなカード は最大何枚まで増やすことができますか。

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１枚目のカードを (アイウエ)としてみます。

２枚目は１枚目とアだけ共通にして、その他を違え、

(アオカキ)とします。

３枚目は１枚目の２番目のイ、２枚目の２番目オを共通にして、その他を違え、

(イオクケ) とします。

１枚目と２枚目は「ア」が共通、 ２枚目と３枚 目は「オ」が共通、

１枚目と３枚目は「イ」が共通です。

次に４枚目は、１枚目と共通するカタカナが「ア」 となるように考えてみます。

すると、２枚目とも「ア」が共通するので、

３枚目と共通するカタカナは「イ」、「オ」ではなく、「ク」か「ケ」でなくてはなりません。

「ア」と「ク」をとって、その他を違え、４枚目を(アクコサ)とすると、

５枚目は「ア」と「ケ」をとって、その他を違え、(アケシス)になります。

(アイウエ)、(アオカキ)、(イオクケ)、 (アクコサ)、(アケシス)の５枚ができますが、

|このことから、 １枚目と共通するカタカナが 「ア」となるカー ドは

３枚しかないことになり ます(２枚目、 ４枚目、５枚目)。

同様に、１枚目と共通するカタカナが 「イ」、「ウ」、「エ」の場合も

それぞれ３枚となります。

したがって、カードは最大で以下の、１＋３×４＝１３枚です。

(アイウエ)、 (アオカキ)、(イオクケ)、(アクコサ)、

(アケシス)、(イカコシ)、(イキサス)、 (ウオコス)、

(ウカケサ)、 (ウキクシ)、(エオサシ)、(エカクス)、 (エキケコ)

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