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2015年12月

2015年12月29日 (火)

カード取りの論理は?(暁星中学 2011年)

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カードを何枚か用意し積み重ねます。

次の約束のもとで2人が交互にカードを取っていき勝敗を決定します。

① 1回に2枚以上5枚以下のカードを取る

② 一番下のカードを取った人を負けとする

③ 2枚以上カードがあるときは必ず①の約束通りにカードを取る

④ 1枚だけカードが残った場合は次にカードを取る人が負け

このとき、次の問に答えなさい。

(1)カードが全部で8枚のとき、

先手、後手のどちらかがカードをうまく取ると必ず勝つ方法があります。

先手、後手どちらが勝ちますか。その理由は?

(2)カードが全部で54枚のとき、

先手がカードをうまく取ると必ず勝つ方法があります。その方法は?

Smbl148sSmbl152s

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(1)勝つ方法は、最後に1枚残す、または最後に2枚残すという方法があります。

(2枚残っている場合、次の人は2枚以上取らなければならないので、

その人が最後のカードを取ることになる。約束の③より)

先手が最初に取れるカードは2枚以上5枚以下なので、

それぞれの場合にどうなるか考えます。

先手が最初に2枚取ると、

     後手が次に4枚または5枚取れば後手の勝ち

先手が最初に3枚取ると、

     後手が次に3枚または4枚取れば後手の勝ち

先手が最初に4枚取ると、

     後手が次に2枚または3枚取れば後手の勝ち

先手が最初に5枚取ると、

     後手が次に1枚または2枚取れば後手の勝ち

以上のように、最初に先手が何枚のカードを取ろうとも、

後手が最後の1枚または2枚を残すようにカードを取れば、

必ず 後手が勝ちます。

 

(2)2人で1回に2枚以上5枚以下のカードを取ることをくり返すと

2人合計で 2枚+5枚=【7枚】 にすることが可能です。

最後の1枚または2枚を先手が残せば先手の勝ちになるので、

逆から考えると、

【最後の1枚または2枚】+【7枚】×7回

                  +【最初の4枚または3枚】=54枚

となるので、先手が必ず勝つには、

[ 最初に3枚、または4枚を取り、それ以降は

   【後手の枚数】+【先手の枚数】=7枚

   となるようにカードを取り続ける ]

という方法をとればよいことになります。

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2015年12月28日 (月)

思い浮かべた数はいくつ?(浦和明の星女子中学 2013年)

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Aさんに0から63までの数のうち1つを重い浮かべてもらい、

その数についで6つの質問をしたところ、答えは次のようになりました。

Aさんの思い浮かべた数はいくつでしょうか?

(ア)その数を2で割りた余りは1ですか。           「はい」

(イ)その数を4で割った余りは2以上ですか。       「はい」

(ウ)その数を8で割った余りは4以上ですか。      「いいえ」

(エ)その数を16で割った余りは8以上ですか。      「はい」

(オ)その数を32で割った余りは16以上ですか。     「いいえ」

(カ)その数は、32以上ですか。               「はい」

Pfa020s

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アとカより、33~63までの奇数、

オより、33~47までの奇数、

エより、41、43、45、47

ウより、41か43

イより、43

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2015年12月27日 (日)

スキャン画像はどれ?(2016年 海陽中等教育学校)

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病院にあるCTスキャンでは、立体を輪切りにした画像を映すことができます。

球はどの方向からスキャンしても、画像は図のように大きさの異なる円が並びます。

しかし、立体によってはスキャンする方向によって異なる形が現れます。12272

下の図は、同じ太さの円柱を、

それぞれの底面の円の中心を通る中心線が直角に 交わるように重ねた図形です。

重なりの部分だけを2本の中心線を含む平面に平行な平面で断面を見たとき、

画像はア~エのどれになるでしょうか?

Bandicam_20151227_123644379

12273


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周りの長さは何cm?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2014年)

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図のように、

1辺の長さが2cmの正方形Aを対角線が直線「あ」と重なるように置きます。

次に1辺の長さが4cmの正方形Bを、

Bの1つの頂点がAの対角線の交点と重なり、「あ」と重なるようにAの右側に置きます。

さらに、1辺の長さが6cmの正方形Cを、

Bの置き方と同じようにしてBの右側に置きます。

この状態から続いて、1辺の長さが8cm、10cm、12cm の正方形を、

同じように置いていき、Aから数えて30個目までの正方形をすべて置いたとき、

正方形が重なってできる図形の周りの長さ (図の青線の部分)を求めなさい。

12271

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正方形の周りの長さの合計 - 重なった正方形の周りの長さの合計

を計算して求めます。

1辺の長さは、

1個目、1×2=2cm、2個目、2×2=4cm、3個目、3×2=6cm、・・・

と増えていくので、30個目は、30×2=60cm です、

正方形の周りの長さの合計は、

(2+4+6+・・・・・・+60)×4

=(2+60)×30÷2×4

=3720cm

重なった正方形は、30-1=29個 なので、

重なった正方形の周りの長さの合計は、

(1+2+3+・・・・・・+29)×4

=(1+29)×29÷2×4

=1740cm

周りの長さ=3720-1740=1980cm

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2015年12月26日 (土)

円すいの側面積は?(2015年 東京都市大学付属中学)

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底面の半径が3cmの円すいがあります。

この円すいを、図のよう に平らな面の上におき、

頂点0が中心で、半径が母線の長さとなる円の上を、

すべらないよ うに1周ころがしました。

このとき、円すいは、ころがし始めてからもとの位置にもどるま でに、

ちようど5回転しました。この円すいの側面積は何c㎡ですか。

ただし、円周率 を3.14とします。

12261

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円すいの底面の円周は、

3×2×3.14=6×3.14cm

5回転したので、円の円周は、

6×3.14×5=30×3.14cm

円の半径=円すいの母線は、

30×3.14÷3.14÷2=15cm

円すいの側面積は、母線×底面の半径×3.14なので、

15×3×3.14=141.3c㎡

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2015年12月23日 (水)

年の差と年齢順は?(東京農業大学第一高等学校中等部 2009年)

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A、B、C、Dの4人の年齢について、次のことがわかっています。

①AはBより12年上である。

②CとDの年の差は12より大きい。

③BとCの年の差はAとCの年の差の2倍である。

④BとDの年の差はAとDの年の差の3倍である。

このとき、年の差と年齢順をこたえてください。

Mpsd1301cs

 

 

 

 

 

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左が年上とすると、

①より、

A  12年  B ですが、

③より、Cは

C  12年  A  12年  B  ・・・・・・ア

または

A  4年  C  8年  B  ・・・・・・イ

の2通りで、CがBより年下の場合は考えられません。

④より、Dは

D  6年  A  12年  B  ・・・・・・ウ

または

A  3年  D  9年  B  ・・・・・・エ

の2通りで、DがBより年下の場合は考えられません。

②の条件に合う組み合わせは以下の場合だけです。

C  12年  A  3年  D  9年  B

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六角形と重ならない部分の面積は?(2015年 昭和学院秀英中学)

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図のような六角形ABCDEFがあります。

どの辺の長さも2cm以上です。

各頂点を中心とした半径1cmの円を6個かいたとき、

この円のうち、六角形と重ならない部分をすべて足した面積は何c㎡ですか。

12231

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---------------------------------------------------

12232

図の緑部分の中心角の合計は、

360×6-720=1440°

1440÷360=4 より、

半径1cmの円4個分となるので、

1×1×3.14×4=12.56c㎡

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2015年12月22日 (火)

折れ目はどのようになる?(淑徳与野中学 2012年)

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正方形の折り紙を図1のように2回折って元の形に広げると、

図2のように折り 目がつきます。ただし、図の実線は上に折れ曲がった折れ目で、

点線は下に折れ 曲がった折れ目です。

正方形の折り紙を図3のように3回折って元の形に広げたときの折り目を、

図2と 同じように、上に折れ曲がった折れ目は実線で、

下に折れ曲がった折れ目は点線でかいてください。

P1222

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P12221

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四角すいB-CDIJの体積は?(2016年度 海陽中等教育学校)

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図のABCDEFGHは1辺の長さ1mの立方体で、

Iは辺AEの中点、Jは辺BFの中点です。

四角すいB-CDIJの体積を求めなさい。

12221

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三角柱AID-BJCから三角すいB-AIDを引いて求めます。

12222

1×1/2×1/2×1-1×1/2×1/2×1×1/3=

1×1/2×1/2×1×(1-1/3)=

1×1/2×1/2×1×2/3=

1/6立方m

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2015年12月21日 (月)

正三角形は何個ずつできる?(大妻中野中学 2014年)

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図1のような1辺が3cmの正三角形があります。

これを1辺が1cmの正三角形に切り分けると小さな正三角形は9つできます。

それらの小さな正三角形の辺について、元の正三角形の辺を太線で表し、

それ以外の辺を点線で表すと、

図A、図B、図Cの正三角形がそれぞれ3個ずつできます。

1辺が4cmの正三角形を1辺が1cmの正三角形に切り分ける場合は

図A、図B、図Cの正三角形は それぞれ何個ずつできますか。

122112

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1122113

図A→3個、図B→6個、図C→7個

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両方嫌いな人は何人?(東邦大学付属東邦中学 2014年)

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ある小学校の6年生200人に苦手な野菜を聞いたところ、

ピーマンが議いな人 は48%、にんじんが嫌いな人は12%でした。

また、ピーマンを嫌いではなく にんじんも嫌いではない人は46%でした。

では、ピーマンもにんじんも両方嫌いな人は何人いるか求めなさい。

1

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図で表すと下図のようになります。

122111

色のついた、どちらかが嫌いな人は、100-46=54% なので、

重なった、両方嫌いな人は、(48+12)-54=6% です。

その人数は、200×0.06=12人

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2015年12月20日 (日)

1秒後の三角形APDの面積は?(2015年 白百合学園中学)

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図のような台形ABCDがあります。

点Pは毎秒2cmの速さで点Aを出発し、辺上を動きます。

(1)点PがA→B→C→Dの順に動いたとき、

   点 Pが点Aを出発してx秒後の三角形APDの面積をyc㎡ と すると、

   下のグラフのような結果が得られました。

   このときア、イにあてはまる数を求めなさい。

(2)点Pが(1)のように動いたとき、1秒後の三角形APDの面積を求めなさい。

12211

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アはPがBに着いたときなので、

5÷2=2.5秒後です。

△ABDの面積は12c㎡なので、

6×CD÷2=12 より、

CD=4cm

7秒後にCに着いているので、

イ=7+4÷2=9秒後

12212_3

1秒後のPは2cm進んでいるので、AP=2cm

△ABHと△緑は相似なので、

AB:AH=5:4 より、

AI=2×4/5=1.6cm

△APDの面積=6×1.6÷2=4.8c㎡

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2015年12月19日 (土)

アとイに入る数はいくつ?(須磨学園中学 2010年)

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下の方眼紙は、どのマスからも、上に一マス進むといくつか増え、

右に一マス進むといくつか増える規則で数字が書いてあります、

アとイに入る数はいくつでしょうか?

P12201

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上に進むと増える数を□

右に進むと増える数を△とすると、

5+2×□+△=168

2×□+△=163・・・・・①

5+□+2×△=142

□+2×△=137・・・・・②

①と②より、

①×2-②=

4×□-□=189

3×□=189

□=63

2×△=74

△=37

P12202

ア=5+6×63+37-37=383

イ=383+4×37-3×63=342

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横から見るとどう見える?(2015年 栄光学園中学)

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図1のように底面の半径が10cmの円柱状のケーキがあります。

ケーキの上には同じ形の イチゴが6個のっています。

図2はこのイチゴを拡大したもので、

もっともふくらんだ部 分は半径1cmの円になっています。

Bandicam_20151219_075847192

1cm ケーキの中心から5cmの距離にイチゴの中心がくるように、

等間隔にイチゴを置きま す。上から見ると図3のように見えます。

Bandicam_20151219_081214227

このケーキを十分離れたところから見ることにします。

(1)このケーキを図3の右側の矢印の方向の真横から見たとき、

イチゴの位置はどのよう に見えるか、(あ)〜(う)から選びなさい。

Bandicam_20151219_075900838

(2)このケーキを様々な方向の真横から見たとき、

見ることができるものを(え)〜(け)から 2つ選びなさい。

Bandicam_20151219_075921243

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

十分離れたところから見ると、視線はすべて平行線になります。

(1)の6個が3個に見えるところは図のような方向から見た場合です。

12200

両側の重なった2個は、5cmより内側になっていることがわかります。

したがって、(あ)のように見えます。

4個に見える場合は、

下図のような方向から見た場合で、

12201

真ん中がやや開いた4個なので、(か)のように見えます。

その他の見え方は、(あ)と(か)の間の30°を調べればよいことになります。

(え)や(お)のように4個に見える方向はありません。

6個に見える場合、

真ん中の2個が接している場合の見え方は下図のように、

12203

両側の2個は半分ほど重なって見え、(き)のように見えます。

真ん中の2個が重なった方向から見ると、

12204

両側の2個がより重なってしまい、(く)のようには見えません。

さらに真ん中の2個を重ねると、(あ)のように3個に見えてきます。

12202_2

(け)のように6個すべてが接して見える方向もありません。

したがって、(か)と(き)

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2015年12月18日 (金)

太線で囲まれた図形の面積は?(2015年 東洋英和女学院中学)

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1枚の面積が30c㎡の折り紙3枚を、下の図のように重ねて置きました。

3枚重なっている緑部分、2枚重なっている白い部分の面積は、

太線で囲まれた面積のそれぞれ1/9、4/9 です。

太線で囲まれた図形の面積は何c㎡ですか?

12181

----------------------------------------------------

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太線で囲まれた全体を⑨とすると、

黄色部分は、⑨-(①+④)=④

④+④×2+①×3=⑮ が 30×3=90c㎡ なので、

①=90÷⑮=6c㎡

太線で囲まれた面積=6×⑨=54c㎡

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立体は何個?立方体は何個?(渋谷教育学園渋谷中学 2012年)

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図のような、1辺1cmの立方体12個で作られた、

縦2cm、横2cm、高さ3cmの直方体を、3つの●の頂点を通る平面で切ります。

その後で、最初の直方体をばらばらにすると、立体は何個できますか。

また、その立体のうち、立方体は何個ありますか。

Bandicam_20151218_071104129

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図のように青い立方体が切られるので、

立体は、7×2+5=19個

切られない立方体は、5個残ります。

Bandicam_20151218_072641954

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2015年12月17日 (木)

切り口はどんな図形?(2015年 学習院女子中等科)

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図のような1辺が3cmの立方体の真ん中を

1辺が1cmの正方形の穴でくりぬいた立体があります。

真ん中の正方形の各辺は立方体の辺から1cmのところにあります。

この立方体を、アイウエオカを通る平面で切ったとき、

切り口はどんな図形になるでしょうか?

アイウエオカは、立方体の各辺の真ん中の点です。

12173

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図のように正六角形の真ん中がひし形の穴になった図形です。

Bandicam_20151217_095338825

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初めにあった貯金はいくら?(江戸川学園取手中学 2014年)

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Aさんには貯金があります。中学に入学してからは、

その年の4月から毎月決まったお金を親からもらうことになりました。

貯金とあわせて1ヶ月に6000円ずつ使うと5ヶ月 でなくなってしまいます。

また、1ヶ月に4250円ずつ使うと12ヶ月でなくなります。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)親から毎月もらう金額はいくらですか。

(2)初めにあった貯金はいくらですか。

(3)4月から使わずに全部貯金すると、何ヶ月で100000円をこえますか。

Pfa020s

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5ヶ月で、6000×5=30000円がなくなり、

12ヶ月で、4250×12=51000円がなくなったので、

図のように、その差の21000円は7か月分のこづかいということになります。

12171

したがって、毎月のこづかいは 21000÷7=3000円

最初に持っていた貯金は 30000-3000×3=15000円

100000-15000=85000円なので、

85000÷3000=28あまり1000より、

29ヶ月で10万円を超えます。

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2015年12月16日 (水)

この立体の体積は?(西大和学園中学 2010年)

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下の図は1辺が4cmの立方体で、マス目はすべて1辺1cmの正方形です。

青色部分のところを、反対面までまっすぐくり抜いて立体を作りました。

この立体の体積は何立方cmですか?

12164

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各段の残る個数を数えていきます。

12165

1段目→13個

2段目→10個

3段目→11個

4段目→13個

合計47個なので、47立方cm

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重なるのは何分後?(2015年 世田谷学園中学)

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はじめ下の図のように、円周上に3点A、B、Cがあります。

その後、それぞれ一定の速さで矢印の方向に同時に円周上を回り始めます。

Aは8分、Bは 12分、Cは20分で1周します。 このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 2点A、Bが初めて重なるのは、回り始めてから何分後ですか。

(2) 3点A、B、Cが初めて重なるのは、回り始めてから何分後ですか。

12161

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(1)

Aの速さは分速、360÷8=45°

Bの速さは分速、360÷12=30°

Cの速さは分速、360÷20=18°

AがBに追いつくのは、120÷(45-30)=8分後

(2)

Aが次にBに追いつくのは、

360÷(45-30)=24分後なので、

AとBが重なるのは、8分、32分、56分、80分、104分、128分・・・・・・

AがCに追いつくのは、

(360-72)÷(45-18)=10と2/3分後

以下、360÷(45-18)=13と1/3分後とに追いつくので、

2回目が24分後、

5回目が24+13と1/3×3=64分後

8回目が104分後なので、

104分後に3点が重なります。

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2015年12月15日 (火)

畑を出発してから何分後?(2015年 芝中学)

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畑から家まで自転車では36分かかり、トラックでは12分かかり ます。

畑から帰ろうと自転車に乗って出発しましたが、

途中で自転車が故障してしまいトラックで迎えに来てもらいました。

自転車が故障してからトラックが家を出るまでに5分かかり、

トラックに故障した自転車を積むのに4分かかりました。

その結果、畑を出発してから35分後に家に着きました。

自転車が故障したのは、畑を出発してから何分後ですか。

Jitensya_houchi

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

自転車がはしった時間を□分とすると、

故障した地点から家まで、自転車なら36-□分かかります。

12151

トラックが動いた時間は、

35-(4+5+□)=26-□ 分です。

トラックは同じ距離にかかる時間が自転車の1/3なので、

{(36-□)/3}×2=26-□ となり、

2×(36-□)=78-3×□

72-2×□=78-3×□

□=6 より、

6分後です。

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2015年12月14日 (月)

Aはどちらのタイル?(海陽中等教育学校 2012年)

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縦23cm、横23cmの枠を

1辺が1cmの正方形のタイルを使ってすべて埋めるこ とを考えます。

タイルには数字が書かれています。

タイルに書かれている数字が「1」か「2」の場合、次の規則てタイルをはめます。

規則1  枠の左上に、「1」のタイルをはめる。

規則2 「1」のタイルの右と下には「2」のタイルをはめる 。

規則3 「2」のタイルの右と下には「1」 のタイルをはめる。

12141


(1)Aにはめるタイルは「1」、「2」どちら のタイルですか。

(2) 最後まではめたとき、「1」のタイルと「2」 のタイルではどちらが何枚多いてすか。

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

(1)

12142

Aは「2」

(2)

1行目は1が12個で、2が11個

2行目は1が11個で、2が12個 なので、

偶数行目で数が等しくなります。

22行目で等しくなるので、

全体では23行目だけを考えればいいので、1が2より1つ多くなります。

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2015年12月13日 (日)

最初の食塩水の濃度は?(2015年 聖光学院中学)

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ある濃度の食塩水に、水を1秒間に10gの割合で入れていきます。

食塩水の濃度は、水を入れ始めてから5秒後に5%、

それからさらに5秒後に3%になりました。

最初の食塩水の濃度は何%ですか?

Cdm058s

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

最初の食塩水の重さを□g、食塩を△gとすると、

△÷(□+50)=0.05・・・・①

△÷(□+100)=0.03・・・・②

食塩の量は変わらないので、

0.05×(□+50)=0.03×(□+100)

0.05×□+2.5=0.03×□+3

0.02×□=0.5

□=25g

△=75×0.05=3.75g

最初の食塩水の濃度=3.75÷25×100=15%

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最小でいくつ、最大でいくつ?(滝中学 2014年)

同じ大きさの立方体をいくつか積み上げて立体を作ります。

立体を真上から見ると図1のように見え、

図1のア、イの方向から見ると、それぞれ図ア、図イのように見えます。

(1)この立体に使われている立方体の数は最小でいくつですか?

(2)この立体に使われている立方体の数は最大でいくつですか?

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2015年12月12日 (土)

スタート地点から何m?(2015年 頌栄女子学院中学)

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1周4.3kmのコースがあります。

Aさんは自転車で、Bさんは歩いて同じ地点から反対向きにスタートしました。

AさんとBさんが出会ったとき、またはAさんがBさんに追いついたときに、

Aさんは進行方向を逆向きに変えます。

Aさんの速さは分速 340m、Bさんの速さは分速90mです。

2回目にAさんがBさんに追いつくのは、

スタート地点からBさんが進んだ方向に何mの地点ですか。

Bandicam_20151212_083733994

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----------------------------------------------------

最初に出会うのは、4300÷(340+90)=10分後 なので、

Bが、 90×10=900m進んだ地点です。

次にAがBに追いつくのは、

4300÷(340-90)=17.2分後 なので、

Bが、 90×17.2=1548m進んだ地点で、

スタート地点から、900+1548=2448m進んだ地点です。

12121

次に出会うのは、2448+900=3348m地点、

2回目に追いつくのは、3348+1548=4896m地点なので、

スタート地点から、4896-4300=596m 進んだ地点です。

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2015年12月11日 (金)

長さの比は?(武蔵中学 2014年)

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四角形ABCDは長方形で、

四角形BGDEと四角形BFDHはどちらも平行四辺形です。

四角形BQDPの面積は長方形ABCDの面積のちょうど半分で、

BP:PH=4:1です。

AH:HDを求めなさい。

12111

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

12112

BP:PH=DQ:QF=4:1 より、

△黄と△青の面積比は①:⑤ なので、

△緑=△水色=④

平行四辺形BFDH=⑩

△HBD=⑤

長方形ABCD=平行四辺形BQDP×2=⑧×2=⑯

△赤=(長方形ABCD-平行四辺形BFDH)÷2=(⑯-⑩)÷2=③

△赤:△HBD=③:⑤ より、

AH:HD=3:5

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2015年12月10日 (木)

最大何枚まで増やせる?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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カードがたくさんあり、

それぞれのカードに4つの異な るカタカナを記入していきます。

いま、どの2枚を選んでも1つのカタカナだけが一致するようにしようと思います。

ただし、すべてのカードに共通するカタカナがあってはいけません。

このようなカード は最大何枚まで増やすことができますか。

Play072s

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---------------------------------------------------

1枚目のカードを (アイウエ)としてみます。

2枚目は1枚目とアだけ共通にして、その他を違え、

(アオカキ)とします。

3枚目は1枚目の2番目のイ、2枚目の2番目オを共通にして、その他を違え、

(イオクケ) とします。

1枚目と2枚目は「ア」が共通、 2枚目と3枚 目は「オ」が共通、

1枚目と3枚目は「イ」が共通です。

次に4枚目は、1枚目と共通するカタカナが「ア」 となるように考えてみます。

すると、2枚目とも「ア」が共通するので、

3枚目と共通するカタカナは「イ」、「オ」ではなく、「ク」か「ケ」でなくてはなりません。

「ア」と「ク」をとって、その他を違え、4枚目を(アクコサ)とすると、

5枚目は「ア」と「ケ」をとって、その他を違え、(アケシス)になります。

(アイウエ)、(アオカキ)、(イオクケ)、 (アクコサ)、(アケシス)の5枚ができますが、

|このことから、 1枚目と共通するカタカナが 「ア」となるカー ドは

3枚しかないことになり ます(2枚目、 4枚目、5枚目)。

同様に、1枚目と共通するカタカナが 「イ」、「ウ」、「エ」の場合も

それぞれ3枚となります。

したがって、カードは最大で以下の、1+3×4=13枚です。

(アイウエ)、 (アオカキ)、(イオクケ)、(アクコサ)、

(アケシス)、(イカコシ)、(イキサス)、 (ウオコス)、

(ウカケサ)、 (ウキクシ)、(エオサシ)、(エカクス)、 (エキケコ)

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ポンプBは何台?(東大寺学園中学 2006年)

----------------------------------------------------

水が入った大きな水そう①、水そう②、水そう③と、

それぞれ毎分一定の水をくみだすことのできるポンプA、ポンプBがあり ます。

12台のポンプAと3台のポンプBを使って、水そう①から水そう②に水を移し、

同時に 3台のポンプAと9台のポンプBを使って、水そう②から水そう③に水を移し、

さらに同時に9台のポンプAと何台かのポンプBを使って、

水そう③から水そう①に水を移したところ、

それぞれの水そうの水の量は常に一定でした。

水そう③から水そう①につなぐポンプBは何台ですか。

Firehydrant312085_640

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

水そうの量が一定なので、

入った水の量=出た水の量 ということになります。

③から①に移したポンプBの台数を□とすると、

12×A+3×B=3×A+9×B=9×A+□×B なので、

12×A+3×B=3×A+9×B より、

9×A=6×B

A:B=6:9=2:3

12×A+3×B=12×2+3×3=33 なので、

9×2+□×3=33 より、

□×3=15

□=5 となり、

ポンプBは5台です。

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斜線部分アとイの面積比は?(東邦大学付属東邦中学 2014年)

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下の図のように、

AB=3cm、BC=5cm、CA=4cm、ZA=90°の直角三角形ABCと、

直径が辺BC上にある半円があります。

(1)この半円の半径は何cmですか。

(2) 斜線部分アとイの面積の比を求めなさい。

12101

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

白い部分は正方形になり、1辺の長さ=半円の半径 です。

△ABCと△黄と△緑は相似になるので、

半円の半径を□とすると、

(4-□):□=④:③

④×□=③×(4-□)

④×□=⑫-③×□

⑦×□=⑫

□=12/7cm

△ア:△イ=(3-12/7)×12/7÷2 : (4-12/7)×12/7÷2

=(3-12/7) : (4-12/7)7

=9/7 : 16/7

=9 : 16

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2015年12月 9日 (水)

①の面積は?(須磨学園中学 2010年)

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三角形ABCを図のように3つに分けました。

①と②の面積をたすと6c㎡、②と③の面積をたすと7c㎡、

③と①の面積をたすと5c㎡のとき、①の面積は何c㎡ですか?

P12091

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①+②+②+③+③+①=6+7+5=18c㎡ なので、

①+②+③=18÷2=9c㎡

①=9-7=2c㎡

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PとQがはじめて出会う場所は?(栄東中学、東大クラス選抜 2015年 改題)

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下の図のように、直径4cmの半円1つと直径2cmの半円1つと、

直径1cmの半円2つを組み合わせた図形があります。

点P、Qは同時に点Aを出発して、この図形の周上を、点Pは時計回りに、

点Qは点Pが移動する1/2の速さで反時計回りに移動します。

2点P、Qが移動後に初めて重なるときの位置を点Cとしたとき、

点Cの位置を、各半円を15°ずつに区切った下の図に書き入れてください。

12091

12092

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---------------------------------------------------

直径4cmの半円の周の長さは、下の3つの半円の周の長さの和に等しいので、

PがBに着いたとき、QはOにいます。

PがIのとき、QはOから90°進み、

初めて出会う点Cは下の図の位置になります。

12093

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2015年12月 8日 (火)

たてと横の長さは?(東邦大学付属東邦中学 2006年)

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たてと横の長さがそれぞれ等しい同じ大き さの2つの長方形があります。

その長方形は横の長さの方がたての長さより大きいとします。

図1のように、2つの長方形の横をぴっ たり合わせてできる図形の

周 (太線部分) の長さは23cmです。

図2のように2つの長方形のたてと横を合わせてできる図形の

周 (太線部分) の長さは31cmです。

この長方形のたてと横の長さはそれぞれ何cmですか?

P12081

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

横の長さを□cm、たての長さを○cmとすると、

図1は、2×□+4×○=23・・・・①

図2は、4×□+2×○=31・・・・②

②×2-①=8×□+4×○-2×□-4×○=31×2-23=39

6×□=39

□=6.5cm

①より、4×○=10

○=2.5cm

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うめつくすことができな いものは?(東京農業大学第一高等学校中等部 2012年)

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1cm×1cmの正方形2枚をつないでできた図1のようなタイルがたくさんあります。

このとき、同じ正方形でできた図形(ア)〜(オ)を、図1のタイルを何枚か使い、

重ならないように縦、または横に置いてうめつくそうと思います。

ただし、タイルは正方形からはみ出さないものとします。

このとき、(ア)〜(オ)のうち、うめつくすことができな いものをすべて選びなさい。

なお、斜線の部分にはタイルを置かないものとします。

12080

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エは、白い部分が、6×6-3=33c㎡ と奇数の面積なので、

偶数である2c㎡の長方形でうめつくすことは不可能です。

図のように、アとイはうめつくすことができます。

12081

オは右上部分で、どうしても1つ白い正方形が残ってしまうので、不可能です。

問題はウですが、

12082

どう置いても、1×1の正方形が離れて残ってしまうので、できそうもありません、

したがって、うめつくせないのは、ウ、エ、オ

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2015年12月 7日 (月)

 見えない部分の面積は?(渋谷教育学園幕張中学 2013年)

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1辺が 6m の正方形の形をしたシートを教室の床の上に平らに広げ、

シートの上に幅 1m の板を 2枚、シートに垂直になるように立てました。

下の図は、このシートを上から見た図です。

   Pic_3503q

上の図のように正方形の各頂点をA,B,C,D として、

辺ABのまん中の点をP,辺BC 上のBから 1m の点をQ とします。

Pに真一君が立ち、Qに和子さんが立って、それぞれシートを見るとき、

次の問に答えなさい。

ただし、板の高さは真一君と和子さんの身長よりも高く、板の厚さは考えません。

(1)真一君が見ることができないシートの部分の面積は何㎡ですか。

(2)真一君も和子さんも、

ともに見ることができないシートの部分の面積は何㎡ ですか。

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

 (1)真一君が見ることができない部分は下の図1の青い部分で

   Pic_3504a

 (三角形DEP-三角形PRS) + (三角形CFP-三角形PTU)

=(3×3÷2-1×2÷2) + (1×6÷2-1×1÷2)

6㎡

です。

(2)真一君も和子さんも、ともに見ることができない部分は、

下の図2の黄色い部分になります。

   Pic_3505a

まず、上の黄色い三角形について考えます。下の図3のように、

点QからABと平行な線を、点PからADと平行な線を引きます。

   Pic_3506a

図3において、三角形QTV、三角形QXW、三角形QGHは相似で、

   QV=2m、TV=1m、QW=3m、QH=6m なので、

   XW=1.5m、HG=3m です。

よって、DG=2m、XP=2.5m です。

DG と XP が平行なので、三角形DGY と三角形PXY は相似で、

     DG : XP = 2 : 2.5 = 4 : 5

より、 三角形DGY を底辺をDG としたときの高さは、AP を

4:5にわけて、4/3m です。

ゆえに、三角形DGY の面積は、2×4/3÷2=4/3㎡ です。

次に、図2の下の黄色い三角形について考えます。

下の図4のように、S からHQに垂線を下ろし、交点をZ とすると、

点Z は EP上にあることがわかります。

   Pic_3507a

三角形QSZ と三角形QIH は相似で、QZ=4m、QH=6m、

SZ=1m なので、HI=1.5m とわかります。

よって、E I =0.5m で、E I :SZ=1:2 より、

三角形JSZ は、SZ を底辺としたときの高さが、HZ の2/3 で

4/3m となります。

ゆえに、求める三角形JSRの面積は、三角形JSZ から

三角形SRZを除けばよく、

  1×4/3÷2 - 1×1÷2 = 1/6㎡

とわかります。

よって、真一君も和子さんも、ともに見ることができないシートの部分の面積は、

三角形DGY + 三角形JSR = 4/3 + 1/6 = 1.5㎡

です。

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2015年12月 6日 (日)

AとBの速さの比は?(2015年 フェリス女学院中学)

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東西にかかる橋があります。

Aは西から東へ向かって、Bは東から西へ向かって、

それぞれ一定の速さでこの橋を渡ります。

ある日、AとBが同時に橋を渡り始めると、

橋の長さの1/18だけ真ん中より東側のところで2人が出会いました。

翌日、AとBが再び同時に橋を渡り始めました。

このとき、Aは前日より毎分3m おそく進み、

Bは前日の1.2倍の速さで進んだところ、ちょうど橋のまん中で出会いました。

(1)前日のAの速さとBの速さの比を、できるだけかんたんな整数の比で表しなさい 。

(2)前日のAの速さは毎分何mですか。

9221

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

図で表すと下図のようになります。

12061_2

橋の長さを⑱とすると、

前日、Aは⑩進み、Bは⑧進んで出会ったので、

速さの比は、A:B=10:8=5:4 です。

前日のAの速さを分速Am、Bの速さを分速Bmとすると、

A:B=5:4 より、B=4/5×A・・・・・ア

翌日は同じ速さだったので、

A-3=B×1.2

アより、

A-3=0.96×A

0,04×A=3

A=75 

前日のAの速さは毎分75mです。

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2015年12月 5日 (土)

ア~キの7つの角度の和は?(開智未来中学 2012年)

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ア~キ までの7つの角度の和は何度になりますか?

12054


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真ん中の7角形の各内角の角度をそれぞれABCDEFGとすると、

12055

(ア+オ+C)+(ア+エ+F)+(イ+カ+D)+(イ+オ+G)+

(ウ+キ+E)+(ウ+カ+A)+(エ+キ+B)=180×7=1260

A+B+C+D+E+F+G+2×(ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ)=1260

900+2×(ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ)=1260

2×(ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ)=360

ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ=180°

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目の出方は何通り?(2015年 海城中学)

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図のように、四角形ABCDと三角形DEFがあります。

1つのさいころを投げて出た目の数だけ、

Aを出発点として、A→B→C→D→A・・・のようにコマを移動させます。

2回目以降は、止まっている点から出発します。

ただし、Dから出 発する場合は、D→E→F→D→A→・・・の順に

回り道をしなければなりません。

この場合でも、コマが再びDに止まれば同じように回り道をします。

12051

(1)さいころを1回投げたとき、コマがCに止まる目の出方は何通りありますか。

(2)さいころを2回投げたとき、コマがAに止まる目の出方は何通りありますか。

(3)さいころを3回投げたとき、コマがFに止まる目の出方は何通りありますか。

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

(1)2か6なので、2通りです。

(2)

最初が1のとき、2回目は3

最初が2のとき、2回目は2か6

最初が3のとき、2回目は4

最初が4のとき、2回目は4

最初が5のとき、2回目は3

最初が6のとき、2回目は2か6

全部で8通り

(3)

2回目にDに止まった場合、3回目は2に決まるので、

2回目にDに止まる場合を考えます。

最初が1のとき、2回目は2か6

最初が2のとき、2回目は1か5

最初が3のとき、2回目は3

最初が4のとき、2回目は3

最初が5のとき、2回目は2か6

最初が6のとき、2回目は1か5

全部で10通りですが、

最初の目が3のとき、2回目が1で、3回目も1の場合、Fに止まるので、

この場合を加えて、合計11通りになります。

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2015年12月 4日 (金)

正三角形はいくつ?(香蘭女学校中等科 2014年)

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下の図は、正三角形のタイルで作った台形です。

この中に正三角形は大小合わせていくつありますか?

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明子さんは分速何mで歩いた?(浦和明の星女子中学 2012年)

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一周2700mの湖があります。

明子さんとこうじ君は、この湖のほとりにあるA地点から同時に反対方向に出発し、

湖の周りを一周しました。

2人は出発してから20分後にすれ違い、

こう じ君がA地点に戻ってきたのは出発してから36分後でした。

このとき、明子さんは分速何mで歩きましたか。

430

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---------------------------------------------------

こうじ君の速さは、分速、2700÷36=75m

明子さんの速さを、分速□mとすると、

2700÷(75+□)=20 なので、

75+□=135

□=60 となり、

分速60m です。

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2015年12月 3日 (木)

ABCの体重は何kg?(2015年 ラ・サール中学)

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A、B、C 3人の体重の和は164kgです。

また、AとBの体重の和は Cの体重の 4倍より2kg少なく、

Aの体重はCの体重の2倍より5.8kg多いです。

A、B、C の体重はそれぞれ何kgですか?

Kenkoushindan03_taijuu

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A+B=164-C

A+B=4×C-2 なので、

164-C=4×C-2

5×C=166

C=33.2kg

A=33.2×2+5.8=72.2kg

B=164-(33.2+72.2)=58.6kg

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角アは何度?(2015年 ラ・サール中学)

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図のように、長方形を2回折りました。

角アは何度ですか。

12031

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○=(90-54)÷2=18°

∠青=180-(90+18)=72°

12032

△=180-134=46°

□=180-(90+46)=44°

■=72-44=28°

●=180-72×2=36°

∠イ={180-(28+36)}÷2=58°

▲=58-44=14°

∠ア=180-(134+14)=32°

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2015年12月 2日 (水)

立方体の箱の中に入るかな?(女子学院中学 2008年)

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下の図1のような三角柱があります。底面は1つの角が直角の二等辺三角形で、

一番長い辺の長さは20cmです。側面のうち2つの面は正方形です。

Pic_2969q

この三角柱を下の図2のような立方体の箱に入れて、

ふたを しっかり閉めることが、できるかできないか、理由をつけて答えてください。

Pic_2970q

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底面は、対角線が20cmの正方形の半分なので、

底面積は、20×20÷2÷2=100c㎡ です。

正方形の対角線は、図形内では最も長い部分になります。

そこに合わせて、三角柱がもし入るなら、下の図3のように入ります。

(直角二等辺三角形と正方形の半分は相似)

          Pic_2971a

立方体の底面の半分の面積は、

15×15÷2=112.5c㎡ なので、

三角柱の底面積より大きいです。

立方体の底面を対角線で半分にした面積が、

三角柱の底面積よりも大きいので、

図3のように三角柱を入れることができるということがわかります。

三角柱の高さも、側面が正方形なので、図3より15cm以下とわかります。

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2015年12月 1日 (火)

玉が反射する軌跡(大阪星光学院中学 2010年)

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1辺10cmの正方形ABCDの囲いがあり、頂点Bから玉を打ち出すと、

一定の速度で囲いのP→Q→R→S→T→U→・・・の順に反射をくり返しました。

玉がA,B,C,Dのいずれかの頂点にちょうど着いたところで止めます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_1337q

(1)ARの長さは4cmでした。BUの長さを求めなさい。

(2)上の図の青い部分の面積を求めなさい。

(3)玉はどの頂点で動きを止めるか答えなさい。

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(1)【反射するものは延長線を書く】のが解法のコツです。

頂点Bから発射された玉は、点Rの位置に移動するまで、

直線で表すと下の図1のようにBEの長さを移動したことになります。

Pic_1338a_3

ここで、

AEの長さ=BCの長さ+FPの長さ+ARの長さ =10+10+4=24cm です。

同様にして、点Rから点Uまで移動した長さは、

下の図2のようにRHの長さになります。

Pic_1339a_2

すると、RDの長さ+TGの長さ+BUの長さ=24cm になるので、

6+10+BUの長さ=24cm より、

BUの長さ=8cm とわかります。

(2)図3のようにPQとSTの交点を点V、BPとTUの交点を点Wとすると、

三角形BPQ、三角形TVQ、三角形BWTは相似です。 

四角形PVTWの面積は、

三角形BPQの面積-(三角形TVQの面積+三角形BWTの面積)

から求めることにします。

   Pic_1340a

図1の三角形ABEと三角形AQRが相似なことを利用して

AB:AE=AQ:AR より、AQ=5/3cm と求められ、

同様に三角形AQRと三角形BTUが相似ことを使用して、

BT=AQ×2=10/3cm とわかるので、

QT=10-(5/3+10/3)=5cmBQ=25/3cm となります。

よって、BQ:BT:TQ=25/3:10/3:5=5:2:3 より、

三角形BPQ、三角形BWT、三角形TVQの相似比が5:2:3なので、

その面積比は、5×5:2×2:3×3=25:4:9 です。

求める四角形PVTWの面積:三角形BPQの面積の面積比は、

25-(4+9):25=12:25 なので、

四角形PVTWの面積は、三角形BPQの面積の12/25

すなわち、25/3×10÷2×12/25=20c㎡ となります。

(3)三角形ABEにおいて、AE=24cmであることから、

玉は下の図4のように反射をくり返していくので、

玉の動きが止まるのは、

24cm×□=10(正方形の1辺)の倍数となるときです。

Pic_1341a

すると、24×5=120cm なので、

Bから発射された玉が、

辺ADと辺BCに5回目にぶつかるときに移動を止めることがわかります。

5回目というのは、下の図5のように(はね返る場所は適当でよい)

Pic_1342a

辺AD側ということがわかります。

では、頂点A,Dのどちらで動きを止めるか調べると、

図4のように、A→D→A→D→A→・・・の順に並び、

120cm移動するので、1辺10cmの正方形が12個あり、

図5のように数字を書いていけば

12番目=偶数番目なので、頂点Aで動きを止めることがわかります。

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